时间：2022-05-27 10:31:55
高质量的数学教学必须有高质量的练习作保证。常见单一的练习题通常可以解决某个知识点的巩固或完成某项技能的训练。若是把一些相关的练习题编成一组，要求学生按组进行练习，除了能达到这些练习题原有的功能外，还能形成题组特有的组合功能，实现1+1＞2乃至更多的目标。
所谓数学练习题组，就是把几道相关联的数学题目组在一起形成一种新的题型，可以是同一题材的题目编成一组，或者是把具有同一数量关系（结构）的题目编成一组，也可以按从一题发展到多题的要求编成一组，还可以按互逆或转化的关系编成一组等。这样就在题与题之间形成了一种组合，而这种题与题之间（包括条件、结论、方法等）往往会有着递进、并列、逆反等某种关系，这些关系使得题组产生了许多特有的作用和功能。因此在数学教学中，教师要很好地把握这些数学题组的组合功能，要指导学生在解答单题的基础上，重点关注和比较题组中各道题之间条件的异同、结果的异同和解题方法的异同，从中获得或感悟到题组所具备的特有练习和教学功能，更好地巩固知识、熟练技能和训练思维。这也要求教师在使用练习题组实施教学时，要力求将“比较”作为教学的重点环节，努力通过“比较”实现题组的组合功能。本文借助我们课题组教师的几个案例介绍我们的思考与关注。
一、注重比较，突出强化功能
学生学过的知识，需要通过有针对性的练习进行强化，达到熟练，形成技能、技巧。学习是一个循序渐进、由浅入深、由易到难、逐步积累的过程，而某个知识点的巩固与深化，某一项技能的完善与熟练，都需要进行一定程度的强化训练，数学练习题组中的递进和并列关系往往可以帮助我们实现这种强化训练效果。因此在题组教学中一定要突出用好“比较”这个教学环节，让学生“会做”与“悟理”兼得。
比如在三年级教“商中间有0的除法”时，为了强化学生的认识，老师们往往习惯于通过大量的重复练习，使学生达到熟能生巧的地步，却忽略了强化学生对“为什么要商0”“商中间的0有什么作用”的思考。这样的训练虽然短期之内有效，但随着时间的流逝，不少学生显然遗忘了这个要求，计算频频出错。怎样才能更好地解决这个问题呢，我们课题组的老师设计了如下练习题组并进行了教学实践。
1.填空：计算416÷4时，用4去除十位上的1，不够商（ ），就在十位上商（ ），最后得到的商是（ ）。
2.填空：商中间的0具有（ ）和（ ）的作用。
3.计算：535÷5。
4.把735平均分成7份，每份是（ ）。
5.想一想：商中间的0可以不写吗？为什么？
教学简要过程：
教师采用了逐题解答的方式，即学生做完一道题后再进入下一道题的解答。这个题组的前4题各有侧重，第1题强调基本算法的理解和巩固，第2题强调对算理的思考，第3、4题则是进一步巩固和掌握算理和算法。而本题组实施的关键在第5题，学生要回答好第5题，就必须对前面4道题的结论有个重新思考和整理的过程，这样就把前面4道看似零散的问题串在一起进行比较。学生通过比较可以发现，当除数去除被除数中的某一位不够商1时，就必须在该数位上商0。这种发现来自学生对自我认知的重新审视，将会在学生的脑海中留下难以磨灭的印记，产生极有效的强化作用。
显然在这个教学片段中，教师运用题组教学时，通过引导学生适时进行比较，既突出了练习的重点（完善和熟练方法），又很好地突破了练习的难点（明白算理），达到了强化巩固之效果。
二、借助比较，发挥辨析功能
波利亚把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。学生在学习过程中，面对知识间貌似质异的问题时，容易出现错误甚至是同种错误反复出现。究其原因，很多时候是学生对题目的条件、结构辨析不清所致，因此借助练习题组，将练习与比较相结合是解决这一问题的有效手段。一道练习题有时可以解决某一个问题，而一个练习题组则可以把一些容易混淆的问题混合编排，学生通过对比练习，从中能更准确地辨析相关数学概念，顺利解决问题。
比如六年级“解决问题”的教学中，分数问题始终是一个难点，学生容易产生错误的主要原因是对单位“1”的判断不准或对具体量对应的分率计算出错。而教材在编写这部分内容时，从学生的年龄特征和心理特征考虑，将几种分数问题放在不同的章节里面教学，这虽然对学生掌握其中单种类型的题目比较有利，但也因缺乏联系和比较，导致学生对这几种题型的结构特征始终辨析不清。为了提高学生在解决稍复杂的分数问题中的辨析能力，我们设计了如下题组。
1.甲线段长60米，乙线段的长是甲线段的，乙线段长多少米？
2.甲线段长60米，是乙线段的，乙线段长多少米？
3.甲线段长60米，乙线段的长比甲线段少，乙线段长多少米？
4.甲线段长60米，比乙线段少，乙线段长多少米？
在这个练习题组的教学过程中，教师采用了分小题组对比的形式进行。第一小题组由第1、2题组成。学生通过解答和比较这两道题，发现虽然条件中甲线段的长度没有改变，问题都是求乙线段的长度，但由于核心条件的变化导致了单位“1”的变化，所以在解答时需要用不同的方法计算，得到的结果也不同。接下来教师再呈现第二小题组的练习（第3、4题）。有了前面的经验，学生能很快找出这两道题各自的单位“1”，同时通过这两题的对比，明白解决分数问题除了要判断准单位“1”外，还要找准具体量所对应的分率，才能得到正确结果。
学生完成了前两个环节后，教师提出了第三个要求：保持条件“甲线段长60米”和问题“乙线段长多少米？”不变，在另一条件中用上“……比……多”的语句，自编两道不同的数学问题，并列式解答。有了前面扎实的基础，学生很快编出了如下两道题并顺利解答：
5.甲线段长60米，乙线段的长比甲线段多，乙线段长多少米？
6.甲线段长60米，比乙线段多，乙线段长多少米？
最后，教师再次引导学生观察并比较这6道题的解答分析过程，再说说自己有什么收获。
在这个题组的教学过程中，练（习）、比（较）、编（题）、说（明）几个环节帮助学生不断地加深对解答分数问题的认识，教师精心设计与本课题相近、相似、相关、相逆知识的几道练习题进行比较和练习，取得了极佳的效果。正像浙江省教研员斯苗儿老师说的那样：“名师与普通老师最大的区别就在于普通老师把题目讲完了就进入了下一个环节，而名师往往会设计一个问题或者变换题目的情境，追问几个问题等形式，把练习题的功能发挥到最大化。”这样的练习实施过程，能促使学生的辨析能力不断得到提高。
三、运用比较，发挥探索功能
现代教学论认为，数学教学要将学生“练”的过程变为引发学生“思”的过程。因此，在练习过程中，教师要使学生通过练习，不仅巩固、掌握基本知识，形成技能、技巧等，还要在练习中培养学生的思考能力，增强探索意识，发展创新能力和解决问题的能力。如果练习题组设计得巧妙，可以让学生从中发现一些新的数学规律（技巧），并用新的规律（技巧）解决他们觉得困难的问题。
分数大小的比较是五、六年级的一个重要内容，学生需要掌握比较的技能。教材除了介绍“比分子（分母）”的方法外，重点讲述了通分的方法。但这两种方法在解决分子、分母都不相同的分数大小比较时显得不够灵活，特别是一旦数比较大时，比较的速度也慢。
如何才能使学生比得准、比得巧、比得快呢？我们课题组的老师在练习课中设计了以下一个练习题组进行教学，并对学生明确提出练习要求。
第一，先观察下面两个分数列中每个分数的大小，特别注意有的分数的数值大小在分数列里的位置。
第二，完成第3、4题的解答，并交流你们的想法。
由于在第1题中，每个分数的分子都相同，所以后面的分数都比前面的分数要小，但是有的分数的数值是，所以学生就可以发现前面的分数都大于，后面的分数都小于这样一个特点（第2题结论类似）。学生从而在解答第3、4题时，就可以运用这个特点求解。比如：因为＞，而＜，所以＞（第4题的解答类似）。
在这个题组的解答和比较过程中，成为了重要的参照标记，学生正是通过探索（比较）发现了这样一个特点，并使之成了比较分数大小的一种重要的技巧。练习不应是让学生简单地重复学习，还应包括努力提高他们学习的水平和效率，帮助他们从“学会”到“会学”。
四、引领比较，实现提升功能
练习的重要目的是让学生在完成典型练习题（组）的过程中，达成对知识的深刻理解，积累相关的数学活动经验，整体提升学生的数学素养。因此在教学中，教师要精心选择内容和时机，帮助学生在解决问题的过程中学会思考、发展思维，提升学生的综合素养。
工程问题是以往六年级解决问题教学中的重点和难点内容，虽然现行的教材不再将该部分内容纳入新授课教学，但这种题目对于学生数学素养的培养和能力的提升有着至关重要的作用，所以在对学有余力的学生培训中仍有举足轻重的地位。由于这一内容的地位和特点决定了我们不可能在课堂上花太多的时间去研究它，教师就应当精选习题，精讲练习，才能体现工程问题的价值。
在学生掌握工程问题的基本模型和解题方法后，我们的老师设计了如下练习题组。
1.一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，甲乙两人合做这项工程，几天可以完成？
2.从A地到B地，客车需行驶3小时才能到达，货车需行驶6小时才能到达。如果客车和货车分别从A地和B地同时出发，相向而行，它们经过几小时相遇？
3.有一个水池，安装了甲、乙两根进水管。在水池没水的情况下，单开甲管10小时可将水池注满，单开乙管15小时可将水池注满。如果两根水管同时打开，几小时可将该水池注满？
4.李老师带了一些钱去买球，如果他将这些钱全用来买篮球，正好可买到3个。如果他将这些钱全用来买足球，正好可买到6个。如果他将这些钱全用了且买回的篮球、足球一样多，那么李老师买了篮球、足球各几个？
该题组所选择的数据不是（也不需要）很大，当学生解答完这组练习题后，教师指导学生对这些问题开展比较。学生发现这几道题虽然叙述的情景和题材各有不同，但它们有一个核心不变――都是将总数当做单位“1”，把工效、行车速度、注水速度和单价都看做分率进行计算。这种比较引导学生对已知的表面现象进行深入的比较，在变中发现不变，从而破除思维定势，懂得将不同的问题化归成同一种模型，实现思维的整体提升。这种提升，正好符合数学教学中很重要的一个内容，就是规律的教学，包括发现规律，总结规律和应用规律解决问题等。像这样引导学生在练习与比较中，善于整合所学到的新知识，能有效地促进学生数学素养的提升。
综上所述，我们认为教师在运用练习题组的教学过程中，要善于在“比较”这个环节上下足工夫，指导学生在比较中解题，在解题中比较。这种从单一的题到数学题组、从解题到比较解题的练习过程，不仅有效地促使学生系统地掌握知识结构，全面、灵活地进行数学思考，还能克服数学教学中“一课、一例、一题、一练”这种较为单调的教学程式，真正发挥出数学题组的强化功能、辨析功能、探索功能和提升功能。
（作者单位：广州市教育局教学研究室、广州市荔湾区沙面小学）