做好解题后的反思培养学生解决问题的才能

在教学过程中，我们往往只重视问题的解决而忽视问题的发现，其实发现问题与解决问题是思维的两个互逆的过程，两者缺一不可。著名科学家爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有创造性的想象力。”因此，在做题时，不仅要多动脑筋、勤于思考，不仅要懂得如何处理问题、解决问题，还要懂得如何发现新问题、提出新问题。那么如何去培养学生发现新问题、提出新问题呢？我们不妨从解题后的反思开始做起。

所谓解题后的反思实际是解题学习的信息反馈调控阶段，是一个解题学习的强化过程，一个增加解题的可供联想储备信息的过程。通过反思，有利于学生进行深层次的建构。我们在课堂教学中让学生对例题、习题进行反思，目的就是给他们以总结、探索、发现、发展的空间。因此，这就需要我们创设问题情境，让学生大胆地发现问题，培养学生反思的习惯，这样不仅能加深概念、定理、公式等基础知识的理解与掌握，更重要的是能开发学生的智力，培养学生发现问题的才能。

一、反思解题方法，培养思维的全面性

解完一道题后，引导学生能否根据该题的基本特点与条件，进行多角度、全方位的观察、思考，寻求更多的解题方法，这有助于培养学生思维的全面性。

例1 已知二次函数的图像经过点（0，0），（2，0），且函数的最大值为1，求这个二次函数的关系式。

解：二次函数图像经过原点，可设其函数的关系式为y=ax2+bx（a≠0），

则依题意有4a+2b=0

=1，解之，得a=-1

b=2。

这个函数的关系式为y=x2+2x。

反思：上面的解法是设二次函数的一般式，我们知道二次函数有三种形式，能否用另外两种形式来求出此函数的解析式呢？

由图像经过点（0，0），（2，0）知二次函数的图像的对称轴为x=1，又因为函数的最大值为1，所以得知图像的顶点坐标为（1，1），可得出a的值。

另解1：设y=a（x-1）2+1=-x2+2x，则由图像过点（2，0）得0=a（2-1）2+1解之，得a=-1。

函数的关系式为y=-（x-1）2+1=-x2+2x。

再进一步分析由图像经过点（0，0），（2，0）知，二次函数的图像与x轴有两个交点。

另解2：设y=ax（x-2）=ax2（a≠0），又函数的最大值为1，=1。解之，得a=-1。

函数个关系式为y=-x2+2x。

二、反思解题过程，培养思维的概括性

解完一道题后，引导学生认真分析解题过程有没有思维回路，哪些过程可以合并或转换，能否从其他的角度重新审视题目，得出更加简捷漂亮的解法，这样的反思，有助于培养学生思维的概括性。

例2 已知 x1，x2是方程2x2-3x+1=0的两根，求（x1+1）（x2+1）的值。

在解此题时，不少学生是利用求根公式法求解，然后代入计算，解法如下：

解： a=2，b=-3，c=1，b2-4ac

=9-8=1，x==， x1=1，x2 =，（x1+1）（x2+1）=（1+1）（+1）=3。

反思：上面的求解过程中，实质上是先解出方程，再代入计算，较麻烦，若我们根据题意，利用根与系数关系，则可得如下的较优的解法。

解：x1+x2=-=，x1×x2=，（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=++1=3。

三、反思题目特征，培养思维的深刻性

解完一道题后，引导学生通过反思题目特征，加深对题目特征的本质领悟，从而获得一系列的思维成果，这有助于培养学生思维的深刻性。

例3 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是（ ）。

A.平行四边形 B.矩形

C.菱形 D.正方形

解：通过图形观察，利用三角形中位线的性质：“三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半” ，得出平行四边形。再根据平行线的性质，得出有一个角是直角，从而得出有一个角是直角的平行四边形是矩形，答案是B。

反思：在本题中，三角形中位线的性质对答案起着重要的作用，因此无论怎样改变题目条件，都可以用三角形中位线的性质来解决，如：

①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是（ ）。

②顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 （ ）。

③顺次连接菱形各边中点所得的四边形是 （ ）。

④顺次连接正方形各边中点所得的四边形是（ ）。

⑤顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是（ ）。

四、反思题目结论，培养思维的创造性

在解完一道题后，教师可让学生与已有的结论进行对比分析，引导他们对数学命题进行变形或深化推广以及引申创新，进行多角度、多方面的发散思考，这样的反思有助于培养学生思维的创造性。

例4 如图1，平行四边形ABCD中，∠BAD、∠BCD的平分线分别交BC、AD于点E、F。求证：四边形AFCE是平行四边形。

分析：要证明四边形AFCE是平行四边形，由于AF、CE是平行四边形ABCD边AD、BC上的一部分，它们的对边平行，因此，只要证明另一组对边平行即可。

证明：四边形ABCD是平行四边形，

∠BAD=∠BCD，AD∥BC，即AF∥EC，

∠BCF=∠CFD（两直线平行，内错角相等）。

又AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD， ∠FAE=∠BAD，∠BCF=∠BCD，∠FAE=∠BCF，∠FAE =∠CFD，CF∥AE（同位角相等，两直线平行）。

四边形AFCE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。

反思：此题的证法很多，我们还可以通过证明“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”等。不管选用那一种证法，一定要认真分析已知条件，弄清已经知道了什么？还需要什么？这样才能确定解题的思路和方向。

变形1：如图2，在平行四边形ABCD中， AE、CF分别是∠MAD、∠BCN的平分线。求证：四边形AFCE是平行四边形。

变形2：如图3，在平行四边形ABCD中， AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且分别交BA、DC的延长线于点M、N。求证：四边形AFCE是平行四边形。

变形3：如图4，在平行四边形ABCD中，AD=BC

=6cm，动点E由C向B以2cm/s的速度移动，动点F由D向A以1cm/s的速度移动，E、F分别由C、D同时出发，问几秒钟后，四边形AFCE是平行四边形？

分析：尽管E、F在不断移动，且四边形AFCE的形状也在不断变化，但其中也有不变因素，那就是CE∥FA。在此基础上，只需CE=FA即可，而这与E、F移动的时间有关，这样就将四边形AFCE的形状与时间联系起来了。

解：设x秒钟后四边形AFCE是平行四边形。在平行四边形ABCD中，AD∥BC，即CE∥FA，当CE=FA时，四边形AFCE是平行四边形。由题意得：6-x=2x，解得x=2。故经过2秒钟后四边形AFCE是平行四边形。

总之，教师引导学生进行解题后的反思，能培养学生的思维品质。这就要求教师在教学中要认真反思教材，把蕴藏其中的那些隐含的问题挖掘出来，并积极注意学生的发问，有计划、有目的、有意识地引导学生进行解题后的反思，从而提高学生发现问题、分析问题及解决问题的能力。

（江苏省邳州市八义集初中）