一类圆的问题的根

在苏教版《必修2》教材中，有这样一个问题：“已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为12，那么点M的坐标满足什么关系？画出满足条件的点M所形成的曲线”。通过计算M的轨迹方程为：(x+1)2+y2=4，轨迹为圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。也就是说，到两个定点的距离之比为常数（常数不为1）的动点的轨迹为阿氏圆，它取决于两个定点和一个比值。在高考题和模拟题中，有不少以它为根据的问题。

类型1：利用轨迹为阿氏圆求最值

【例1】 已知ABM中，AB=2，且AM=2MB，求SABM的最大值．

解法一 如图建立直角坐标系，则A(-1,0)，B(1,0)，设M(x,y)，则有(x+1)2+y2=2(x－1)2+y2，

两边平方整理得x2+y2－6x+1=0，即(x－6)2+y2=8．点M(x,y)在圆上，SABC≤12×2×

点拨 由于ABM的边AB为定值，而AM=2MB，所以M的轨迹为一个圆，利用它可以得到ABM的面积的最值。当然我们可以利用解三角形的相关知识求到该三角形的最大值，但不如解法一来得简单快捷。

类型2：已知轨迹为阿氏圆求定点和常数

【例2】 在直角坐标系xOy中，A为椭圆x29+y24=1的左顶点，圆O的方程为x2+y2=4．是否存在不同于点A的定点B，对于圆O上任意一点M，都有MBMA为常数，若存在，求所有满足条件的点B的坐标及该常数；若不存

三个特殊的点，通过构建关于a,b,λ的方程解出它们的值，而这体现了方程的思想。

类型3：已知阿氏圆求轨迹

【例3】 已知圆x2+y2=9，M为直线l:x=4上的点，若Q（异于点M）满足对圆上任意一点N，总有MNNQ为常数λM，求证：当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．

解析 设点M(4,t)，N(x,y)，Q(a,b)，则MNNQ=(x-4)2+(y-t)2(x-a)2+(y-b)2=λM，整理得到(x-4)2+(y-t)2=λM(x-a)2+(y-b)2，利用x2+y2=9可以得到25+t2－8x－2yt=λM(9－2ax－2by+a2+b2)，化简得到25+t2－8x－2yt=－2aλMx－2bλMy+9λM+λMa2+λMb2，因为该式对任意的动点N恒成立，所以4=aλM,t=bλM，9λM+λMa2+λMb2=25+t2,消去a,b得到(9λM－16)(λM－1)=t2(λM－1)，若λM=1，则MN=NQ，与N的轨迹为圆矛盾，所以9λM－16=t2，再用λM=4a,t=4ba代入得到a2+b2－94a=0，所以点Q在定圆上．

点拨 题设给出了一个圆和一个在定直线变化的动点M，要求确定另一个点Q，使得由它们确定的圆就是题设中给定的圆。根据线段比值恒为常数，我们得到三组关系式，若直接消去λM,t，我们会得到一个三次的关系式，与问题中圆的要求相距甚远，所以我们先消去a,b得到λM和t必须满足的一个关系式，再反代就得到点Q在一个定圆上。

类型4:利用阿氏圆求比值

【例4】 设A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)在直线l:x－y+4=0，则MAMB的取值范围是 .

解析 令MAMB=λ(λ>0,λ≠1)，则(x+2)2+y2(x-2)2+y2=λ，两边平方得到(x+2)2+y2=λ(x-2)2+y2，整理得到圆C:x+2λ+21－λ2+y2=16λ(1－λ)2，又圆C与直线l始终相交，所以－2λ+21－λ+42≤16λ(1－λ)2，化简得到9λ2－14λ+1≤0，解得7－2109≤λ≤7+2109即5－23≤λ≤5+23，所以MAMB的取值范围为5－23,5+23．

点拨 MAMB的大小可以通过构建目标函数来求，但计算过程较为繁琐。从几何角度看，如果MAMB为定值，那么M的轨迹为阿氏圆，而点在直线上运动，说明直线和阿氏圆是相交或相切，通过圆心到直线的距离构建不等式得到比值的范围，几何的方法比函数的方法简单快捷。

生活就是战斗。――柯罗连科

牛刀小试

1. 设抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且满足AK=2AF，求AFK的面积．

2. 设A(-1,0)，B(1,0)，动点M(x,y)满足MA=2MB，求u=2x+y+2x－y+3的取值范围．

3. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(2,2)，设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为455．

（1） 椭圆E的方程及圆O的方程；

（2） 若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有MNNQ为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．

【参考答案】

1. 由题设有K(－2,0)，F(2,0)，设A(x,y)，因为AK=2AF，所以(x+2)2+y2=2(x-2)2+y2，化简得到x2+y2－12x+4=0，联立方程组x2+y2－12x+4=0,y2=8x,得到x=2,y=±4,即A(2,±4)，AFK的面积为8.

16=t2，再用λM=4a,t=4ba代入得到a2+b2－a=0，所以点Q在定圆上．

(作者：卢玉才，江苏省太仓高级中学)