超声速飞行器外形优化

超声速机翼厚度分布对激波阻力系数的影响十分显著。在超声速飞行器设计过程中，机翼的厚度分布需要进行十分详细的设计和优化。传统的气动外形参数化方法通常需要大量的设计参数来表示重要气动特征，如翼型的前、后缘形状。Kufan和Bussoletti提出用类别形状函数变换(ClassShapeTransformation，CST)来表示飞行器的几何外形。这种参数化表示方法参数少，精度高，并且在处理一些重要的设计参数(如翼型前缘半径、尾锥角和后缘厚度等)时十分直观方便。远场组元(Far-fieldCompositeElement，FCE)激波阻力优化方法是基于CST参数化方法发展出的一种超声速飞行器气动外形优化方法。这种方法使用超声速面积率进行激波阻力计算，结合拉格朗日乘子法进行优化参数的计算，无需迭代且计算速度快，是超声速飞行器概念设计阶段降低激波阻力的一种十分有用的气动外形优化方法。本文采用CST参数化方法对超声速机翼进行几何外形的参数化，并以机翼容积和局部相对厚度为约束条件，使用FCE方法对其厚度分布进行以激波阻力最小为目标的快速优化，大幅降低了机翼的激波阻力系数。本文的研究对超声速机翼设计具有一定的指导和参考价值。

1超声速机翼参数化

1.1CST参数化方法的基本原理(ψ)S(ψ)(1)式中ζ=z/c，ψ=x/c，c为翼型弦长。若翼型后缘不封闭，则在(1)式的基础上添加一个后缘厚度项，得后缘不封闭的翼型公式N1和N2定义了所表示的几何外形的类别。NACA系列圆头尖尾翼型类别函数取N1=0.5，N2=1.0;双圆弧翼型，则N1=1.0，N2=1.0;N1=0.75，N2=0.75时，类别函数曲线就定义了一个Sears-Haack旋成体，如图1所示。图1不同类别函数代表的几何外形CST参数化方法的形状函数S(ψ)可以使用多方法进行定义［1］。通常用ni阶Bernstein多项式加权和作为S(ψ)的表达式，如(4)式所示是引进的权重因子，组成几何形的ni+1阶参数向量b，当b=I时，由Bernstein项式的性质可以得到S(ψ)=1，称为单位形状函，相应的翼型为单位翼型(UnitAirfoil)，即类别函表示的基本翼型。研究表明，以Bernstein多项式作为CST参数化法的形状函数时，6到9阶的多项式就可以在几形状、斜率、二阶导数、压强和气动力分布等方面翼型进行十分精确的表示。对于一般的设计优化程来说，4到6阶的Bernstein多项式的表示精度已经可以满足要求［2-4］。使用太高阶的Bernstein项式可能导致参数化过程趋于病态［5］。.2机翼的CST参数化分解不计机翼的扭转时，任意后缘闭合的对称翼型上表面形状函数可以用公式(4)进行参数化表。在不同的展向位置上应用Bernstein多项式加和的形状函数描述不同的翼型，就可以确定一个析形状函数面，从而确定整个机翼。把公式(4)的设计参数bnj(η)表示由弦向第i个Bernstein多项式和展向第j个Bernstein多项式所确定的分机翼表面，bi，j为各个分机翼的权重值。所以整块对称机翼可以使用nt=(ni+1)•(nj公式(7)中的单下标t与双下标(i，j)的转换关系可以由下式确定t=j•(nj+1)+(i+1)(8)如图2所示，弦向和展向都使用3阶Bernstein多项式对机翼进行CST参数化，可以将机翼分解为16个分机翼的加权和的形式，调整分机翼的权重bt，就可以得到不同厚度分布的机翼。图2机翼的CST参数化分解

2超声速机翼厚度分布优化在以激波阻力最小为目标的超声速机翼厚度分布优化过程中，用超声速面积率对机翼的激波阻力进行计算［6，7］。优化方法则采用基于CST参数化方法的远场组元(Far-fieldCompositeElement，FCE)激波阻力优化法［8］。

2.1超声速机翼厚度分布优化的算法

2.1.1基于CST参数化分解的超声速面积率超声速面积律的表达式为－x2|dx1dx2CDW(θ)是子午角为θ时计算得到当量旋成体的零升激波阻力系数。Sref为参考面积，A(x，θ)为站位x处，子午角为θ的马赫斜面所切割的飞机截面在垂直于x轴方向上的投影面积，A″(x，θ)是A(x，θ)的二阶导数。由公式(9)可以看出，超声速时飞机的零升激波阻力与该马赫数下所有子午角θ方向的当量旋成体零升波阻的平均值相等。由于机翼是由nt个分机翼的加权和表示的，所以切面积可以表示成分机翼切面积加权和的形式(θ)的计算公式得到－x2|dx1dx2积分号与累加符号交换位置，上式的值不变。和bs写在积分号外，子午角θ下机翼的激(θ)是第t个分机翼的在子午角θ下的激波阻力系数;当s和t不相等(θ)是第s个分机翼与第t个分机翼之间的干扰激波阻力系数。公式(11)对任意子午角都成立，带入公式(9)得，则整块机翼的激波阻力系数公式可以改写为公式(12)即为基于机翼CST参数化分解的机翼超声速激波阻力计算公式。

2.1.2机翼容积约束在公式(7)中，机翼平面形状不改变的情况下，优化后的第t个分机翼的厚度及相应的容积随bt成线性变化。优化后的机翼容积可以表示为Vbase是初始机翼的容积，VR是优化后机翼与初始机翼的容积比，Vt为第t个初始分机翼的容积。为处理体积约束比较方便，引入初始分机翼在初始机翼中所占的容积分数vt(16)式和(17)式带入激波阻力系数公式(12)可以得到这样，以激波阻力最小为目标的超声速机翼厚度分布优化问题定义为求解未知量kt，使得其值满足容积约束(18)式的情况下，(19)式的取值最小。

2.1.3机翼局部厚度约束仅仅以机翼容积为约束进行激波阻力优化时，机翼的一些区域可能会出现厚度很薄，甚至负厚度的情况。因此为了防止负厚度的出现，有必要在机翼的局部预期出现负厚度的地方(如翼尖)添加适当的厚度约束。为了添加局部厚度约束，引入在某展向位置ηC处，在需添加厚度约束的局部一段翼弦长度Δx/c的范围内的平均相对厚度。计算平均厚度的弦向范围定义为(24)(24)式为机翼优化中，要满足的相对厚度约束。

2.1.4添加容积和厚度约束的机翼厚度分布优化容积约束(18)式可以写成线性约束方程26)式的优化设计参数可以通过求解由公式(27)导出的如下线性系统得到(29)从而优化后的机翼厚度分布与相应的激波阻力系数可以由(7)式和(12)式得到。

3超声速机翼厚度分布优化结果本文使用的机翼模型平面形状如图3所示，采用双后掠机翼，这是目前认为超声速客机比较可能采用的机翼平面构型。初始翼型采用类别函数C1.0•(1－ψ)1.0所表示的双圆弧对称翼型，相对厚度设定为5%。取优化后机翼与初始机翼的容积比约束为VRstein多项式进行机翼参数化，有利于优化后的激波阻力系数降低。5阶Bernstein多项式的优化结果可以使机翼的激波阻力系数降低达61%。但把3阶、4阶、5阶Bernstein多项式优化结果相对比，激波阻力系数降低量逐渐变小，优化的效果越来越不明显，4阶、5阶多项式的优化结果只有0.00015的差别。可以预见，若继续使用更高阶的多项式，优化参数继续增加，而优化效果的改进量将变得更小。在弦向和展向都采用5阶Bernstein多项式进行机翼参数化时，优化机翼与初始机翼在不同子午角θ下的激波阻力系数分布如图4所示。图4优化机翼与初始机翼激波阻力系数分布对比使用ni=5，nj=5的Bernstein多项式进行优化后，优化机翼和初始机翼在各个展向位置的翼型对比如图5所示。从图中可以看出，在内翼(0＜η＜0.4)部分后掠角78°，马赫数2.0的情况下是亚声速前缘。优化后的翼型的厚度增加，最大厚度位置提前，翼型靠近后缘位置的厚度也加厚，以补偿外翼变薄后机翼减少的容积。机翼的亚声速前缘加厚并不会产生较大的激波阻力。外翼(0.4＜η＜1.0)后掠角为45°，属于超声速前缘。优化后的外翼翼型比原机翼翼型更薄，并且越靠近机翼外侧，翼型越薄。这是因为在超声速条件下，薄翼型可以产生较小的激波阻力。

事实上，在不添加厚度约束的情况下，由于原机翼外翼将会产生较大的激波阻力，优化后的外翼会出现负厚度。经过以上初步设计的超声速机翼如图6所示，其在Ma=2.0状态下的超声速激波阻力已经显著降低。这样优化设计后的机翼模型可以作为更详细设计过程的初始模型，进入进一步的优化迭代过程，图5优化机翼与初始机翼的翼型对比从而得到性能更加优良的结果。图6优化后的机翼三维模型

4结论

1)在飞行器初始概念设计阶段，结合CST参数化方法，对机翼使用FCE激波阻力优化方法进行快速优化，可以在很大程度上降低机翼的超声速激波阻力。

2)使用基于CST参数化方法的FCE激波阻力优化法进行机翼的超声速激波阻力优化过程中，表示形状函数时，4到5阶的Bernstein多项式就可以达到要求。过高阶的多项式不仅可能带来病态问题，增加设计参数与计算量，而且不会使优化结果有大幅改善。从FCE优化方法的计算过程可以看出，该方法的应用并不仅仅局限于机翼厚度分布的优化计算。任何可以用超声速面积率来计算超声速激波阻力的细长体外形，如超声速飞行器的机身和翼身组合体等，都可以使用该方法进行修形，以达到降低激波阻力的目的。使用FCE方法对机身和翼身组合体进行激波阻力优化的方法，还有待进一步研究。