比较法在空间解析几何教学中的运用

摘要：空间解析几何与平面解析几何的基本概念和基本方法有很多相似处，在空间解析几何的教学中合理运用比较法，可以温故知新，培养学生的思维能力。

关键词：空间解析几何 数学方法 思维能力

【中图分类号】G633.63【文献标识码】A【文章编号】1004-1079（2008）10-0110-01

空间解析几何是平面解析几何的延伸，基本概念和基本方法都很类似。在空间解析几何的教学中，将其与平面解析几何的相关内容进行比较，并加以分析、综合，可以快捷准确地理解知识，培养学生的思维能力。

一、空间直角坐标系与平面直角坐标系

空间直角坐标系是由三条数轴所构成的（过空间一点O两两垂直），其中又包含了三个平面直角坐标系。通过比较看到，坐标系由一维到二维再到三维的发展过程，这对建立空间直角坐标系是很重要的。

二、空间平面与平面直线

空间直角坐标系中“平面”的方程Ax+By+Cz+D=0与平面直角坐标系中“直线”的方程Ax+By+C=0。分别是三元一次方程和二元一次方程。它们的基本性质非常相似：

(1)过原点的“平面”Ax+By+Cz=0，缺常数项；而过原点的“直线”Ax+By=0，也缺常数项。

(2)平行于轴的“平面”By+Cz+D=0，缺x项(A=0)；而平行与x轴的“直线”By+C=0，也缺x项(A=0)；并可以推广得，平行与xoy坐标面的“平面”Cz+D=0，缺x和y项(A=0，B=0)。

(3)空间直角坐标系中的“直线”Ax+Bx+Cz+D=0,Ax+Bx+Cz+D=0,或==，是两个平面的交线；类似与平面直角坐标系中的两条直线的交“点”Ax+Bx+Cz=0,Ax+Bx+Cz=0.

通过以上的对比，可以温故知新，并帮助学生很快地接受新知识。

三、空间二次曲面与平面二次曲线

空间直角坐标系中“曲面”与平面直角坐标系中“曲线”都是“动点轨迹”。“二次曲面”的方程与平面“二次曲线”的方程相比，基本特征相似甚至完全相同。如：

(1)“柱面”x2+y2=R2；而平面直角坐标系中“圆”x2+y2=R2。虽然它们的方程完全相同，但是它们的图形却截然不同。前者是空间直角坐标系中的“柱面”，缺z项，说明z可以取任意实数，当z=0时，即柱面与平面的交线才是圆。

(2)“椭球面”++=1；而平面“椭圆”+=1，仅少竖坐标。

(3)“旋转面”f(x,±)=0等；“圆锥面”+-=0；“椭圆抛物面”+=2z；“双曲抛物面”-=2z；“双曲面”+-=±1等，与平面直角坐标系中的相关“曲线”（“圆”、“椭圆”、“抛物线”、“双曲线”等）有密不可分的联系。通过平面截曲面得交线的方法就能帮助我们很好地理解这些“曲面”。

通过以上分析可以看出，新概念与旧概念之间有相似的一面。这对理解新概念的外延会有很大帮助；而另一方面，必须对新旧概念之间的差异进行分析、综合，从而完整准确地把握新概念的内涵。

四、对培养学生思维能力的思考

传统数学教学多注重知识的传授。现代数学教学观则把素质（数学能力）的培养放在重要位置。

数学科学的内容，包括数学知识和数学方法两个组成部分。知识是形成能力的基础，能力是成功运用知识的表现。能力的大小取决于知识的多少、掌握方法的程度。所以，在传授知识的过程中不可忽视对数学方法的教学。

实践证明，在空间解析几何中，合理运用“分析、综合、比较、归纳、作图”等数学方法，可以使学生快捷准确地理解知识，并提高学生的逻辑思维能力。

参考文献

[1] 同济大学应用数学系，《高等数学》。北京：高等教育出版社，2003。

[2] 李元中，《数学教学系统方法概论》。陕西：人民教育出版社，1988。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文