动力学中的叠加系统

在动力学中常会遇到两个或两个以上物体叠放在一起的问题，这类问题具有知识容量大、研究对象不单一、物理过程比较复杂、几何条件隐蔽等特点，以致许多考生甚至教师对其求解感到困惑.下面就针对这类问题的求解思路作一总结.

一、无相对运动的叠加问题

这类问题因物体之间无相对运动，所以一般用整体法与隔离体求解，若系统内力已知，则用隔离法求加速度，再用整体法求外力；若系统外力为已知，则用整体法求加速度，再用隔离法求内力.

【例1】如图1所示，在光滑水平桌面上放着质量为3kg的小车A,小车 上又放着质量为2kg的物体B,现施加一水平推力F在物体B上，当F逐渐增大到4N时B恰好在小车A上相对于小车滑动；如果将水平推力作用在A上，且不使B在A上有相对滑动，则施加的最大推力Fmax是多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）.

【解析】当推力F小于4N时，作用在A上的静摩擦力使A和B一起加速运动；当F增大到4N以后，因最大静摩擦力不足以提供A的加速度，故B和A之间将发生相对滑动.设A、B间的最大静摩擦力为fmax，当F作用于B时可用整体法求加速度，再用隔离法求内力fmax.由牛顿第二定律可列出：F=（mA+mB）a1①fmax=mAa1②

当外力F作用在A上时，则用隔离法求加速度，再用整体法求最大推力fmax，故由牛顿第二定律可列出：fmax=mAa1③fmax=（mA+mB）④联立①②③④得：fmax=6N

【例2】如图2所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，质量为m的物块A叠放在物体B上，B的上表面水平;当A随B一起沿斜面下滑时，A、B保持相对静止，求B对A的支持力和摩擦力.

【解析】 当A随B一起沿斜面下滑时，A受竖直向下的重力mg、B对A竖直向上的支持力N和水平向左的摩擦力f而加速运动，如图3所示.

设B的质量为M，以A、B整体为研究对象，根据牛顿第二定律有:（M+m）gsinθ=（M+m）a，解得:a=gsinθ.

再将A隔离出来作为研究对象，将加速度沿水平方向和竖直方向进行分解如图3所示，则有：

ax=acosθ=gsinθcosθ，ay=asinθ=gsin2θ

所以有：f=max=mgsinθcosθ

又mg-N=may=mgsin2θ得：N=mgcos2θ

二、叠加系统所受合外力不为零且有相对运动

这类情况中，叠加系统因受外力作用且加速度不同而存在相对运动，具体求解时一般采用隔离法，即“锣当锣打，鼓作鼓敲”，认真分析系统内每个物体在不同阶段的受力和运动情况，建立清晰的物理图景，然后由牛顿定律与匀变速直线运动公式、动量定理或动能定理列方程，同时抓住叠加体之间的位移关系或几何条件列式，再联立求解.

【例3】如图4所示，一木板静止在光滑且足够长的水平面上，木板质量为M=4kg，长为L=1.4m，木板右端放一小滑块，滑块质量为m=1kg，其尺寸远小于L,滑块与木板之间的动摩擦因数为μ=0.4(g=10m/s2 ).

(1)用恒力F作用在M上，为使m能从M上滑落，F大小的范围如何?

(2)其他条件不变，若恒力F=22.8N始终作用在M上，且最终使m从M上滑落，则m在M上面滑动的时间多长？

【解析】（1）取滑块m为研究对象，m与木板M间的滑动摩擦力为：Ff=μFN=μmg

m在滑动摩擦力Ff作用下向右运动的加速度为：a1=■=μg=4m/s2取木板M为研究对象，M在拉力F和滑动摩擦力Ff作用下向右运动的加速度为：a2=■

使m从M上面滑落的条件是a2>a1,即■>■.

联立以上四式可解得：F>μ（M+m）g=20N

(2)设m在M上面滑动的时间为t，恒力F=22.8N时M的加速度为：a2=■=4.7m/s2小滑块在时间t内运动位移为：x1=■a1t2木板在时间t内运动位移为：x2=■a1t2则有：x2-x1=L,由以上各式可解得：t=1.4s

【例4】如图5所示，一辆载重卡车沿平直公路行驶，车上载有质量均为m的A、B 两块长方体水泥预制件,已知预制件右端与车厢前挡板的距离为L，A、B间以及B与车厢间的动摩擦因数分别为μ1μ2，(μ1

(1)卡车制动的加速度满足什么关系时，预制件A相对B滑动，而B相对车厢底板静止?

(2)制动后为保证司机安全，需使预制件不与车厢前挡板碰撞，从卡车开始制动到停止所经历的时间应满足什么条件?

【解析】(1)A受力如图6所示，A相对B滑动有：μ1mg=ma1，可得：a1=μ1g

B受力如图7所示，若B相对于车厢底板滑动，则有: 2μ2mg-μ1mg=ma2可得：a2=（2μ-μ1）g

要使A相对于B滑动，需满足a1

(2)因a1

卡车的位移为x2，有v02=2a车x车.

要使A不与车厢的挡板相碰，应满足：x1-x车≤L，即■-■≤L,故a车≤■.设卡车的制动时间为t，则有v0=a车t，可得：t=■≥■

三、叠加系统所受合外力为零但有相对运动

这类情况大都是滑块与长木板叠加，通过滑动摩擦力相互作用实现系统机械能向内能单向的转化.解答的关键是弄清物理过程，建立清晰的图景，然后针对系统整个过程进行研究，由动量守恒和能量守恒或功能关系列式求解.特别要抓住“一对滑动摩擦力所做的功等于整个系统的机械能减少或系统内能的增加”这一结论，即Q=fs相对=AE内；尤其是求解往复运动的相对滑动叠加系统问题时，利用这一结论可以不用仔细分析运动细节，而直接从能量守恒角度求解，显得十分简捷.