解析几何中对称问题的解法探析

一、关于点的对称问题

1.点关于点的对称

解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，点P（a，b）关于点Q（m，n）的对称点为P′（2m-a，2n-b），中点问题也是其他对称问题的基础.

2.直线关于点的对称

例1.求直线l∶2x-3y+1=0关于点A（1，2）对称的直线l′的方程.

解法一：在直线l∶2x-3y+1=0上任取两点，如，M（1，1），N（-2，-1），则M、N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上，易知由两点式可得l′的方程为2x-3y+7=0.

解法二：l∶l′， 可设l′的方程为2x-3y+c=0（c≠1）

评析：解法一是取特殊点法；解法二是两直线关于点对称成平行直线，对称点到两直线的距离相等的几何性质.

二、关于直线的对称

1.点关于直线的对称

一般的点关于直线的对称问题

例2.求点P（4，0）关于直线l∶5x+4y+21=0的对称点P′.

解法：设P（4，0）关于直线l的对称点为P′（x′，y′），显然x′≠4，则PP′l，线段PP的中点在直线l上.

2.直线关于直线的轴对称

一般的直线关于直线的对称问题

评析：此类型是直线与对称轴相交.四种解法都是常用方法，都注意利用几何性质.解法一是抓住了对称关系的转化（线关于线对称转化为点关于线对称）；解法二抓住P与P′是一对“相关点”，利用“相关点”的性质求出直线l2上的动点的轨迹，这是求曲线关于直线对称方程的常用方法.

3.圆锥曲线关于直线的对称

例4.求圆C∶（x-2）2+（y+3）2=1关于直线l∶2x-y-1=0的对称圆方程.

评析：此题其实就是求圆心（2，-3）关于直线l∶2x-y-1=0的对称点问题.

例5.求抛物线y2=2x关于直线2x-y-1=0的对称抛物线方程.

总之，求对称问题归根结底都是点的对称，我们通常采用变量替换、数形结合等思想。求对称问题的通法是：（1）求对称点一般采用，先设对称点P（x，y），再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出x，y的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标；（2）求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点P（x，y），再利用求对称点的方程求出P点的对称点Q点坐标，将Q点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于x，y的关系式，就是所求对称曲线的方程.

（作者单位 浙江省永嘉县上塘中学）