从“量”的角度编制解析几何问题

“问题”是数学的心脏，数学教学的核心就是提出问题与解决问题.在教学实践中，本人从“量”的角度出发编制解析几何问题，通过编题让学生更好地理解解析几何问题的本质以及掌握解决此类问题的思想方法.

一条直线是由两个独立的量决定的，如直线方程l：y=kx+t（k，t∈R），直线是由斜率k和轴上的截距t来决定的；两个量确定了，直线就随之确定了，只要有一个量不确定，直线l就在变动.

椭圆也是由两个量决定的，如椭圆标准状态下的方程C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），当a、b两个量确定了，椭圆也就随之确定了，只要有一个量不确定，椭圆C就在变动.

因此，在编制直线与椭圆的位置关系问题时，当k，t，a，b四个量都已知的情况下，直线与椭圆的位置关系也就确定了，即可命制问题1：已知k，t，a，b这四个量，判断直线l与椭圆C的位置关系；逆向问题2：若已知直线l与椭圆C的位置关系，k，t，a，b这四个量中已知三个量，则可求出第四个量的取值范围；问题3：若已知直线l与椭圆C的位置关系这一条件，但k，t，a，b这四个量中只已知二个量，则由位置关系这一条件可确定未知两个量间的等式关系，从而可设问直线系过定点，或椭圆系过定点的问题.

根据量的相互确定的关系，我们不难编制出一串问题：

若直线l与椭圆C相交，不妨设两交点为A，B；椭圆C的左右焦点分别为F1，F2.

（1）若已知直线的斜率k，椭圆方程中的a，b值，现要确定直线l中t的值，则必须给出一个已知条件，才能确定t的值.如给出满足条件：OAOB（O为坐标原点）；∠AOB为锐角（钝角）时；AOB的面积值；AOB的重心恰好为椭圆的右焦点F2；弦|AB|的长；等等，求t的值；

（2）椭圆上是否存在两点关于直线对称，若有，求出t的取值范围；

（3）直线与x轴的交点为P，求满足|PA||PB|=2时t的值；

（4）是否存在t的值，使得AMP与BCN两重心连线平行于x轴；

（5）是否存在t的值，使得AMF1与BNF2两重心关于原点对称；

（6）是否存在t的值，使得|AP|=|BQ|AB与PQ的中点重合；

（7）是否存在t的值，使得|CA||CB|=12；

（8）试分析|AF1||BF2|取值范围的情况；

（9）引入AB的垂直平分线，再编写问题；

（10）是否存在t的值，使得OA+OB

与MC共线？

（11）过点A作椭圆的切线交x、y轴于两点G、H，连接GQ，是否存在t的值，使得GQ与椭圆相切？

……

通过编题的方式，让学生进一步领会解析几何问题的本质，以把握问题的核心思想、本源；领会已知“量”与未知“量”之间的相互制约关系，让学生形成解决解析几何问题的思想方法.从一定的高度来审视问题，能更好地从宏观的角度审视问题，达到一目了然地得出问题的解决方法.

例如：如右图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的离心率为12

，其左焦点到点P（2，1）的距离为10.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求ABP面积取最大值时直线l的方程.

现从“量”的角度来分析：第（1）问要求椭圆C的方程，即要确定椭圆方程中a，b这两个量，两个未知“量”就要有两个已知“量”才能确定，因此，题目中一定给出两个相关的已知“量”，从题目中不难找出那两个已知“量”——“椭圆的离心率为12，其左焦点到点P（2，1）的距离为10.”解题时只要列出已知“量”与未知“量”的关系等式，用方程就可解决了；第（2）问要求直线l的方程，即要求出确定直线方程的两个“量”——“斜率k和截距t的值”，从方程思想考虑，要给出两个已知“量”，但问题中直线是在变动的，斜率k和截距t的值都在变动，不过在变动的过程中，由题中给出的条件：“不过原点O的直线l与椭圆C相交于两点A，B，且线段AB被直线OP平分.”由此条件，我们不难得到直线的斜率k和截距t存在某个等式关系.因此，ABP面积只与直线中的一个“变量”存在函数关系，即通过一变元的函数问题，求出ABP面积的最大值，以及此时直线中“变量”的取值，最后确定出直线l的方程.

解析：

（1）由题得e=ca=12.①

左焦点（-c，0）到点P（2，1）的距离为d=（2+c）2+12=10.②

由①②可解得a2=4，b2=3，c2=1.

所求椭圆C的方程为x24+y23=1.

（2）易得直线OP的方程y=12x.设A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）.其中y0=12x0.

A，B在椭圆上，

x2A4+y2A3=1，

x2B4+y2B3=1

kAB=yA-yBxA-xB=-3xA+xB4yA+yB=-34·

2x02y0=-32

.

设直线AB的方程为l：y=-32x+m（m≠0），

代入椭圆方程x24+y23=1，

得3x2-3mx+m2-3=0

.

显然Δ=（3m）2-4×3（m2-3）=3（12-m2）>0.

-23

由上又有xA+xB=m，yA+yB=m2-33.

|AB|=1+k2|xA-xB|=

1+kAB·

（xA+xB）2-4xAxB=1+k24-m23.

点P（2，1）到直线l的距离为d=|m-4|1+94，

SABP=12d|AB|=12|m-4|4-m23=36（4-m）·12-m2，

当且仅当m=1-7时，三角形的面积最大，此时直线l的方程为

y=-32x+1-7.

总之，通过运用“量”之间的关系审视问题，关注“问题”的产生、形成、变化、发展、构造的过程，能提升学生提出问题和解决问题的能力，也为我们教师提供了一种新式的教学方式——采用“命制试题”的程序方式组织教学.