谈解析几何的本质：坐标化的策略

解析几何区别于综合几何的最本质特征是它的研究方法,即坐标法,正因为笛卡儿建立了平面坐标系(他建立的其实是斜坐标系,后来的人选择了最简单的情形,即直角坐标系,但仍然称之为笛卡尔坐标系),才得以用代数方法研究几何问题.因此,我们说坐标化方法是解析几何的本质特征,没有坐标化,就没有解析几何这门学科,虽然解析几何的体系建立以后,其研究的对象更加多样了,研究的内容更加丰富了,研究的方法更加灵活了,认识的程度更加深刻了,但是“坐标化”始终是它不变的灵魂.历年的高考中,尽管解析几何试题的载体可能是直线、圆、椭圆、双曲线或抛物线,形式也可以多变,但是根本宗旨还是考查坐标化方法和坐标化思想,

坐标化方法,具体地说,就是把图形特征转化为坐标表示,把几何语言转化为代数语言.比如,“两条直线垂直”是几何语言,转[专业提供论文和论文,欢迎光临]化为代数语言就是“两条直线的斜率之积等于-1”,等等.而代数语言的分析和计算,是基于坐标的.因此,首先必须有坐标.在具体的题目中,如果坐标没有作为已知条件给出来,则要么求坐标,要么设坐标.

一、直接求坐标:釜底抽薪之计

有关直线和直线相交、直线和曲线相交的问题,如果直线方程和曲线方程都是已知的,往往可以直接把交点坐标解出来.坐标解出来了,则一切都变成已知的了.有的同学会不屑于干这样的“苦力活”,认为这样做不够“高雅”,有死缠烂打之嫌.其实,此法往往简洁明快,干净利落,即使是数学界的大师级人物,只要条件许可,往往首选这个方法.

(1)证明:点P在C上;

(2)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A,P,B,Q四点在同一个圆上.

又|NP|=| NQ |,| NA |=|NB|,所以|NA|=|NP|=|NB|=|NQ|,可知A,P,B,Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上.

二、设坐标而不求:暗度陈仓之计

设坐标,而不求坐标;以所设的坐标为过渡,把已知条件和未知结论联系起来,从而实现问题的转化.此法常给人以耳目一新的感觉,为师生们所普遍喜欢.

例2如图2,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆的左、下顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P, A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连结AC并延长,交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.

(1)当直线PA平分线段MN时,求k的值;

(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;

(3)对任意k>0,求证:PAPB.

解(1)(2)直接把相应点的坐标求出来,再进行相关的计算(此处省略).

三、设坐标求轨迹:围魏救赵之计

求轨迹,其意不在轨迹,仅为手段而已.可谓曲径通幽处,柳暗花明时.(1)求该椭圆的标准方程;

(1)求椭圆的离心率e;

(1)求椭圆的离心率e;

四、用坐标构函数:欲擒故纵之计

如果一个(或多个)点在一条已知曲线上运动,要求运动过程中某个目标量的最值或范围,那么往往可设这个(些)点的坐标,把目标量用该坐标表示,得到一个函数,分析求解这个函数问题就可以了.我们知道,函数是高中数学的核心内容,它能揭示更为深刻的内容,搭建更为宏大的舞台,让解析几何的内容搭上函数这条顺风大船,无疑会为问题的解决带来更大的便利.

(1)求C的方程;

(2)设P为C上的动点,l为C在点P处的切线,求点O到直线l距离的最小值.

当然,解析几何的综合问题,代数法、几何法都可以用,而且用曲线的定义,或几何意义,往往会带来简便.但是,解析几何最根本的方法还是坐标法,这是解析几何的根本要义.