解析几何中的弦长公式及其应用

【摘 要】近些年的高考中，作为高中数学的核心知识之一，直线与圆、直线与圆锥曲线的关系是每年必考的数学问题。本文试图从直线与圆、直线与圆锥曲线的关系出发，总结出“垂径公式、一般弦长公式、焦点弦长公式、几何参数弦长公式、特殊弦长公式和通径公式”，并在高考的一些问题中加以应用。希望笔者的总结能对大家在解决解析几何的弦长问题上有所帮助。

【关键词】弦长;公式;分类;应用

一、问题的提出

解析几何涵盖了丰富的中学数学思想与方法，其中弦长计算是解析几何中不可或缺的内容，也是历年高考数学考查的常见考点。因此教师在教学中，特别是高考复习中，对不同条件的弦长计算应予分类并对弦长公式的应用进行针对性训练，从而有效提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、弦长公式的分类

公式

名称 公式表达式 公式中参数的含义 适用范围

垂径

公式 A、B分别是直线与圆的两个交点;R是圆的半径;d是圆心到直线的距离。 直线与圆相交形成的弦长。

一般

弦长

公式

消y：

消x：

（a>0） A、B分别是直线与曲线的两个交点;k是直线的斜率;a和?分别是直线方程与曲线方程联立消y（或消x）所得一元二次方程的二次项系数和根的判别式。 斜率存在时的直线与圆、圆锥曲线相交形成的弦长。

几何

参数

弦长

公式 |AB|=|t2-t1|

直线（t为参数），t1和t2是点A、B对应的几何参数，它是将直线的参数方程代入曲线的普通方程所得的关于t的一元二次方程的两根。 直线方程为参数方程，曲线方程为普通方程。

通

径

公

式 a为椭圆的长半轴。

b为椭圆的短半轴。 直线过圆锥曲线焦点且垂直于对称轴的直线与圆锥曲线相交形成的弦长。

a为双曲线的实半轴。

b为双曲线的虚半轴。

p是抛物线的焦点到准线的距离（焦准距）。

公式

名称 公式表达式 公式中参

数的含义 适用

范围

焦点

弦长

公式

（焦点在x轴上） a、b、c分别为椭圆的长半轴、短半轴和半焦距;α是直线的倾斜角;k是直线的斜率. 过圆锥曲线焦点且斜率存在的直线与圆锥曲线相交形成的弦长.

（焦点在y轴上）

（焦点在x轴上） a、b、c分别为双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距;α是直线的倾斜角;k是直线的斜率.

（焦点在y轴上）

（焦点在x轴上） p是抛物线的焦点到准线的距离（焦准距）;α是直线的倾斜角;k是直线的斜率.

（焦点在y轴上）

特殊

弦长

公式 x1、x2分别是A、B两点的横坐标. 直线的斜率为0.

| y1、y2分别是A、B傻愕淖葑标. 直线的斜率不存在.

（1）对上表中公式命名的说明：①垂径公式”是因垂径定理而命名;②“一般弦长公式”是因弦长公式具有一般性而命名;③“几何参数弦长公式”是因直线的参数方程而命名的;④“通径公式”是因通径（过圆锥曲线的焦点且垂直于对称轴的弦）的定义而命名的; ⑤“焦点弦长公式”是因直线过圆锥曲线的焦点而命名;⑥“特殊弦长公式”是因直线的斜率特殊（k=0或k不存在）而命名.

（2）上表中的“垂径公式”、“一般弦长公式”、“几何参数弦长公式”、“特殊弦长公式”、“通径公式”的证明不再赘述。仅对焦点弦长公式中：

证明如下：

以椭圆的左焦点为极点，为极轴建立极坐标系，则椭圆的方程为：，又，则

成立;

又

若，则;

若，则k=0，此时|AB|=2a符合;从而成立。

对于其它焦点弦长公式的证明类同于上述证明。

（3）熟练掌握上表中“垂径公式”、“一般弦长公式”、“焦点弦长公式”、“几何参数弦长公式”、“特殊弦长公式”、“通径公式”将可以大量减少解析几何问题解证中繁琐的运算。

三、弦长公式的应用举例

1.垂径公式的应用

例.（2016课标Ⅲ理16）已知直线l：与圆x2+y2=12交于A、B两点，过A、B分别做l的垂线与x轴交于C、D两点，若，则|CD|= 。

解析：因为，且圆的半径为，所以圆心（0，0）到直线的距离为，故有，解得，代入直线l的方程，得，所以直线l的倾斜角为30°，由平面几何知识在梯形中，。

2.一般弦长公式的应用

例.（2014课标Ⅰ理20）已知点，椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点。

（I）求E的方程;

（II）设过点A的动直线l与E 相交于P，Q两点。当的面积最大时，求l的直线方程。

解析：（1）设，由条件知，.又，所以，，故E的方程为：.

（2）当lx轴时不合题意，故设直线l的方程为：，，，将直线方程y=kx-2代入椭圆方程中得.因为直线l与E 相交于P，Q两点，则，即.由一般弦长公式知，又原点O到直线l的距离为，所以.设，则，所以.因为，当且仅当，即时等号成立，且满足时，.所以，当的面积最大时，直线l的方程为或.

例.直线与椭圆交与A、B两点，过AB的中点M且垂直与AB的直线交双曲线于P、O两点，则|PQ| .

解析：设，，，由点差法得：，即，点在直线上，则有，，即.那么过点且垂直于直线的直线方程为：，将其代入双曲线方程得，从而.

3.几何参数弦长公式的应用

例5. 选修4―4：坐标系与参数方程

（1）（2016课标Ⅱ理23）在直角坐标系中，圆C的方程为.直线l的参数方程是（l为参数）， l与C交于A，B两点，，求l的斜率.

解析：将直线的参数方程代入抛物线方程中得：

，

即，设A、B对应的参数分别为t1和t2，则，t1t2=1，根据几何参数的弦长公式，解得，则，，即，所以l的斜率为或.

（2）（2016江苏理21）在平面直角坐标系中，已知直线l的参

数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于AB两点，求线段AB的长.

解析： 椭圆C的普通方程为，将直线l的参数方程代入椭圆C的方程中得：，即7t2+16t=0.设A、B对应的参数分别为t1和t2，则，t1t2=0，根据几何参数的弦长公式

.

4.通径公式的应用

例. （2016课标Ⅱ理11）已知，是双曲线：的左，右焦点，点在上，MF1与轴垂直，，则的离心率为（ ）

（A） （B） （C） （D）2

解析：因为MF1垂直于轴，由双曲线的通径公式知，由双曲线的定义知，因为，所以，化简得，故双曲线的离心率，故选A.

5.焦点弦长公式的应用

例. （2014课标Ⅱ理10）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ）

A. B. C. D.

解法1：物线的焦点为，则过点F且倾斜角为30°的直线AB的方程为，即，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则，，则.故选D.

解法2： 抛物线的焦点为，则过点F且倾斜角为30°的直线AB的方程为，即，将直线AB的方程代入抛物线方程可得：，设A（x1+y1）、B（x2+y2），则，由抛物线的定义知：，所以|AB|=x1+x2+p=x1+x2+=12，又原点到直线AB的距离，则，故选D.

解法3：由题知|AB|是过焦点的弦，直线的倾斜角为30°，由=12.所以.故选D.

例. （2016年成都七中模拟）已知椭圆经过点（2，0），F为其左焦点，过F垂直于长轴的直线交椭圆C于A、B两点，且|AB|=3.

（1）求椭圆C的方程;

（2）直线l1：y=k（x+1）（k≠0）交椭圆C于、两点，直线过点F且，交椭圆C于、两点，证明：.

解析：（1）由题知，则，，则椭圆C的方程：.

（2）显然、都是过焦点的弦，的斜率为k，则的斜率为，那么由公式得：，，从而.

学无定法，却有规律可依，系统整合知识，把握规律，将十分有利于学生对知识的掌握，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]徐耀斌.圆锥曲线过焦点的弦长公式[J]. 数学教学研究， 2011（1）：46-47.

[2]戴述贤.焦点弦长公式的几种形式及其应用[J]. 数学教学研究， 2000（3）.