整体化思想

当你的思路碰壁，解题遇挫时，不妨调整一下自己的思路，另辟蹊径，常能“柳暗花明”，收到“事半功倍”的效果.而“整体化思想”则是一个有用的选择.

例1 （2011湖南长沙）已知a-3b=3,则8-a+3b的值是 .

剖析 从已知条件a-3b=3中求出a、b的值，再代入计算，这种想法行不通.如将a-3b当作一个未知数，设u=a-3b，由于8-a+3b=8-(a-3b)=8-u,则代入计算成为可能.

点评 也许你认为这么简单的题谁不会解，本题确实很容易，但你是否从中悟出“整体化思想”解题的门道来了呢？

例2 （2011重庆）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景有15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盒景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成，这些盆景一共用了2900朵红花、3750朵紫花，则黄花一共用了 朵.

剖析 设用了甲种盆景x盆，乙种盆景y盆，丙种盆景z盆，得方程组15x+10y+10z=2 900，(1)

25x+25z=3 750.(2)

化简，由（2）得x+z=150，

由（1）得3x+2y+2z=580，

将x+z=150代入，消去z，得x+2y=280.

现在要求的黄花的总数为24x+12y+18z,该如何下手呢？如果你真正理解了例1，可考虑寻求求值的代数式与已知条件之间的整体联系，由于24x+12y+18z=18x+18z+6x+12y=18(x+z)+6(x+2y),整体代入，问题迎刃而解.

点评 当你想从x+z=150,

x+2y=280中求出x、y、z而困难时，不妨调整思路，由例1的启示，设x＋z=u,x+2y=v,将求值的代数式用u、v来表示.虽比例1复杂，但本质是一致的.

例3 （2011江苏南京）设函数y=2x与y=x-1的图象的交点坐标为（a,b），则1a-1b的值为 .

剖析 求出直线y=x-1与双曲线y=2x的交点，即求出a、b，再代入计算，解题思路清晰，过程也不太复杂.

但若注意到点（a,b）在图象上，则b=a-1，b=2a，即b-a=-1,ab=2，将之代入1a-1b=b-aab中，结果为-12，方法既快又好.

点评 虽然填空题不需要写出解题过程，但解题所用的时间多少是客观存在的.解题的速度是考试成败的关键因素.

例4 （2011湖北黄冈）若关于x、y的二元一次方程组3x+y=1+a，

x+3y=3的解满足x+y＜2,则a的取值范围为 .

剖析 用整体化思想来看，只要将x+y用a来表示，将x+y＜2转化为关于a的不等式，再解出.结合本题特点，将两个关于x、y的二元一次方程相加，得4x+4y=4+a，即x+y=1+a4,所以x+y＜2转化为1+a4＜2，得a＜4.

点评 有些同学通过解二元一次方程组，求出x、y（用a来表示），再代入x+y＜2，转化为关于a的不等式解出.对比两种解法，优劣不言而喻.

例5 （2011天津）若实数x、y、z满足（x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，则下列式子中一定成立的是

（ ）

A. x+y+z=0 B. x+y-2z=0

C. y+z-2x=0 D. z+x-2y=0

剖析 初看，解题似乎无从下手，但从寻求已知条件与求证结论之间的整体联系着手，那么化简已知条件是切入点.

由（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0，

得x2-2xz+z2-4xy+4y2+4xz-4yz=0，

整理，得x2+2xz+z2-4xy-4yz+4y2=0，

即(x+z）2-4y(x+z)+4y2=0，

(x+z-2y)2=0，得x+z-2y=0,所以选D.

点评 寻求条件与结论之间的整体联系是解题思路的一种升华.

例6 （2011四川成都）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y=2kx(k≠0)满足：当x＜0时，y随x的增大而减小.若该反比例函数的图象与直线y=-x+3k都经过点P，且|OP|=7，则实数k= .

剖析 梳理题意，当x＜0时，反比例函数y=2kx满足y随x的增大而减小，可见2k＞0,即k＞0.直线y=-x+3k与y轴交于点（0，3k），故这点在y轴的正半轴上.

P是直线与双曲线的交点，设P（a,b），由|OP|=7，知a2+b2=7.

因此由题意，得ab=2k，

b=-a+3k，

a2+b2=7.

从整体考虑，将a2+b2=7转化为关于k的方程，从中解出k.

显然a2+b2=(a+b)2-2ab=(3k)2-4k=3k2-4k,解3k2-4k=7,得k=73,k=-1(舍去）.

点评 考虑a2+b2与a+b和ab的整体联系是解题的要点.

事实上，用整体化思想解题在几何题中同样十分重要.

例7 （2011福建福州）如图，在ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD，已知BD=2，AD=3，求：（1） tanC；（2） 图中两部分阴影面积的和.

剖析 连接OE，易证四边形ODAE为正方形，∠C=∠DOB，tanC可求.

阴影部分面积可由直角三角形面积减去扇形面积求出，但由于∠C不是特殊角，目前求扇形面积还有困难.事实上，题目只要求两部分阴影面积的和，将两部分阴影面积的和作为一个整体即可.S阴影=SEOC-S扇形1+SDOB-S扇形2=SEOC+SDOB-（S扇形1+S扇形2），注意到∠DOB+∠EOC=90°,扇形的半径相同，所以S阴影=SDOB+SEOC-14SO，至此，问题解决.

解题遇到困难，思路受阻，这是常有的事，同学们可不要乱了方寸，应该调整自己的思路，换个角度去思考，而整体化思想常能让大家茅塞顿开.