谈整体思想在数学解题中的应用

【前言】谈整体思想在数学解题中的应用由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。例2．已知x+2y=4k+12x+y=k+2，且0＜x+y＜3，则k的取值范围是?摇 ?摇. 分析：本题如果直接解方程求出 x、y，再带入0＜x+y＜3肯定比较麻烦，注意到条件中x+y是一个整体，因而我们只需求得x+y，通过整体的加减即可达到目的. 解：将方程组的两边分别相加，得：3（x+y）=5k...

解决某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大考查问题的角度，将要解决的问题看做一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或做整体处理以后，达到顺利而又简单地解决问题的目的，这就是整体思想.整体思想的主要表现形式有：观察全局、整体代入、整体加减、整体联想、整体补形，等等.它是一种重要的数学观念，一些数学问题，若拘泥常规，从局部入手，则举止维艰；若整体考虑，则畅通无阻.同时它又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用，那么在数学解题中如何巧妙运用呢？下面我结合教学实践来谈一谈.

一、观察全局

观察全局，就是从全局上对已知条件进行观察分析，综合考虑，从而得出解决问题的途径.

例1．若实数x满足y=2003+2004+2，则xy=?摇 ?摇.

分析：仅从局部来看，觉得这是一个二元方程，x、y不能解得.从全局来看，式子要有意义，实数x需满足2x-3≥0，3-2x≥0，进一步得到x=，y=2，xy=3.

例2．已知x+2y=4k+12x+y=k+2，且0＜x+y＜3，则k的取值范围是?摇 ?摇.

分析：本题如果直接解方程求出 x、y，再带入0＜x+y＜3肯定比较麻烦，注意到条件中x+y是一个整体，因而我们只需求得x+y，通过整体的加减即可达到目的.

解：将方程组的两边分别相加，得：3（x+y）=5k+3，所以x+y=k+1，从而得0＜k+1＜3，解得-＜k＜.

二、整体代入

有些习题，如果孤立地利用条件，问题虽可以得到解决，但解题过程比较复杂；但如果把所有已知条件看做一个整体，直接或变形以后代入所求，问题就容易解决多了.

例3．已知+=3，求的值.

分析：根据条件显然无法计算出x、y的值，只能考虑在所求的代数式中构造出+的形式，再代入求解.

解：===

本题亦可将条件+=3变形得：x+y=3xy，而===.

例4．若a-2a=b-2b=1，且a≠b，则+=?摇 ?摇.

分析：本题若按常规解法，从已知条件中解出a、b的值，代入计算就太繁了.运用整体思想，则可考虑a、b是方程x-2x=1的两个解.

由韦达定理可得：a+b=2，ab=-1，+===-6.

例5．关于x的一元二次方程x+（a-1）x+a-2=0有一根大于1，一根小于-1，求a的取值范围.

分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题比较困难.整体考虑，把一元二次方程x+（a-1）x+a-2=0与二次函数y=x+（a-1）x+a-2联系起来，利用二次函数的图像来解题，则显得很直观，也较为容易.

解：由题意知，抛物线与x轴的交点坐标，一个交点在（-1，0）的左边，另一个交点在（1，0）的右边，抛物线开口向上，则可得：

当x=1时，y＜0;当x=-1时，y＜0，即

a+a-2＜0a-a＜0，-2＜a＜0.

说明：（1）因为当x=1，x=-1时，y＜0，所以解题过程中不必再考虑＞0了.

（2）利用函数与图像整体考查是解决涉及方程（不等式）有关根的问题有效方法之一，在数学教学中应当引起足够的重视.

三、整体换元

整体换元就是通过研究新元性质来解决问题，此法常用于分解因式及解方程.运用整体换元，可以把一个庞杂的式子转化为一个条干清晰简单易解的新式子.

例6．分解因式（x-3x+2）（x-3x-4）-72

分析：注意题目的形式特征，把某一部分（可设x-3x=y）看做一个整体，运用整体换元，把原方程化为形如x+px+q的二次三项式，进一步用十字相乘法，最后注意分解要彻底.如果把（x-3x+2）和（x-3x-4）相乘，就会得到一个四次多项式，这时再分解就困难了.

例7.解方程（）-5（）+6=0

分析：此题若将看成一个整体，对方程左边分解因式，可较简便地解出.

解：设=y，则原方程可化为y-5y+6=0，y=2，y=3，x=2，x=经检验，x=2，x=是原方程的根.

说明（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看做一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程.

（2）利用整体换元，我们还可以解决形如+=这样的方程，只要设=y，从而将方程变形为3y+=，再转化为一元二次方程来求解.

四、局部补全

有些题设条件故意提供一个局部图形，来混淆解题者的思维，但如果把局部图形补全，通过对整体图形的研究，正确的解题思路就能浮出水面.

例8．如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O与以D为圆心、DA为半径的圆弧相交于E，则CE的长为（ ）

A. B.5 C. D.

分析：把局部图形补全，这实际上是一个两圆相交求公共弦长的问题，连接连心线OD交CE于F，OD垂直平分CE，在RtOCD中，OC=2，CD=4，OD=2；则利用面积相等可得CF=，CE=.所以选C.

例9．已知：AO是ABC的∠A的平分线，BDAO的延长线于D，E是BC的中点，求证：DE=（AB-AC）.

分析：观察图形，AO是∠A的平分线，BDAO，易想到凹五边形ABDOC是等腰ABF的一部分，补形后，中点D显露无遗，问题顺利得到解决.

证明：延长BD、AC相交于F，AD平分∠BAF，ADBF，ABF是等腰三角形，且AB=AF，BD=DF.BE=EC，DE是BCF的中位线.DE=CF=（AF-AC）=（AB-AC）.

五、化整为零

化整为零，就是化部分为整体，避免分散计算处理，在很多几何习题中，如果把所求部分进行单个计算，问题就无法获解.只有把所求部分看做一个整体，进行合理转化，才能得出答案.

例10．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是BC上的一点，PEBD于E，PFAC于F，求PE+PF的长.

分析：由已知条件并不能求得PE、PF的长，我们把PE+PF的值看成一个整体.由题设条件可知：RtBPE∽RtBDC，=，RtCPF∽RtCAB，=，==，PE+PF=4.8.

例11．已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，求阴影部分的面积.

分析：由于五边形不具备特殊性，因此各个扇形的圆心角的度数均未知，从而不能分别求出各个扇形的面积，为此，要求阴影部分的面积就要将几个阴影部分（五个扇形）整体考虑.注意到五边形内角和为720°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积为两个半径为1的圆的面积.

整体思想在数学解题中的应用，不仅仅局限于上述的几种类型，还涉及其他的各种题型，只有通过不断地挖掘、归纳、提炼，才能更好地把握整体思想的本质和规律，从而使问题迎刃而解.用整体思想解题不仅解题过程简洁明快，而且富有创造性.有了整体思想的意识，在思考问题时，能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程.同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功.