综合题中“充分”与“必要”的辨析

解数学问题时出现错误的原因是多方面的，但是其中一个比较重要的原因是对于试题的解读，没有很好地理清试题中的已知与求解（证明），分清命题的条件与结论，以及使用已有知识时，对于条件的充分性与必要性出现差错。现在我们举两个例题，希望对于同学们今后的学习能有所启迪。

【例1】如图1所示，四棱锥PABCD中，BC∥AD，E是PD的中点，过B、C、E三点的平面交PA于F，求PF∶PA.

图1

错解如图2所示，取PA的中点F，连接EF、FB，因为E、F分别是PD、PA的中点，所以EF∥AD，且EF=12AD，又因为BC∥AD，所以BC∥EF，所以B、C、E、F四点共面.所以F是PA的中点，即PFPA=12.

错因分析由于E是PD的中点，再结合BC∥AD，很容易使得同学们联想到三角形的中位线定理，从而产生错误的解法。其实，本题大家出现错误的真正原因是把本题的条件与结论的位置关系搞错了，也就是没有掌握好条件的充分性与必要性。本题中B、C、E、F四点共面是条件，所要求解的是PF∶PA的值.错解所完成的只是本题的一个逆命题。

正确解法因为BC∥AD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面BCE∩平面PAD=EF，所以BC∥EF，所以EF∥AD.又因为E是PD的中点，所以F是PA的中点，所以PFPA=12.

图2

防错机制本题出现错误的原因是学生没有掌握好条件的充分性与必要性。要避免出现类似的错误，首先是熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理，理清试题中的条件与结论，从而使问题得到解决。

【例2】已知点P（0，2），求经过点P且与抛物线y2=4x相切的直线方程.

错解设直线方程为y=k（x-0）+2，即y=kx+2，联立方程组y2=4x，

y=kx+2，消去y得到k2x2+4kx-4x+4=0，因为直线与抛物线相切，所以Δ=（4k-4）2-16k2=0，解之得k=12，所以所求的直线方程为y=12x+2.

错因分析本题的解题过程中出现了两处错误，一是方程y=kx+2表示的是经过P的直线，但是经过P点的直线不一定是y=kx+2形式的方程（当直线的斜率不存在时），也就是说，经过点P的直线的方程仅是y=kx+2的必要不充分条件；第二个问题是Δ=0不是直线与抛物线相切的充要条件，当直线与抛物线相切时Δ=0，但是Δ=0时直线与抛物线不一定相切（作出k=0时直线与抛物线的图象即可）。

正确解法当直线的斜率不存在时，直线方程为x=0，这时直线与抛物线相切；当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-0）+2，即y=kx+2，联立方程组y2=4x，

y=kx+2，消去y得到k2x2+4kx-4x+4=0，因为直线与抛物线相切，所以Δ=（4k-4）2-16k2=0，解之得k=12，当k=12时，直线方程为y=12x+2，它与抛物线相切.综上可知所求直线方程为y=12x+2或x=0.

牛刀小试

1. 已知直线l过点（-2，-1），且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为.

2. 过点M（1，3）的直线l与圆C：x2+y2=1相切，则直线l的方程为.

3. 设l，m表示两条不同的直线，α表示一个平面，从“∥、”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为真命题，即： lm

lαmα.

4. 如图，四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BAAD，CD=2AB，PA底面ABCD，E为PC的中点.

（1）证明：BE∥平面PAD；

（2）平面EBD能垂直平面ABCD吗？为什么？

5. 已知直线l1：x+y-2=0，l2：2x-y+4=0，l3：ax+2y-3=0，若l1，l2，l3不能围成三角形，求a的值.

6. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为63，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l：y=kx-2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程.

（作者：陆曙斌启东市汇龙中学）