一个基本模型的应用

著名数学家笛卡尔说过：“我们所解决的每一个问题，将成为一种模式，用于解决其他问题.”下面举例说明一个基本模型在解题中的应用.

基本模型：如图1，点E是线段AB上的一点，

且∠CAE=∠EBD=∠CED=90°，则CAE∽EBD.

特别：当CE=DE时，CAE≌EBD.

一、使用模型

例1如图2，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC，且EF=EC，DE=4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长.

解析：图中存在基本模型.

因为EF=EC，所以RtEDC≌RtFAE，

所以AE=CD，设AE=x，则CD=x，

又因为2（AB+CD）=32，即2（x+4+x）=32.

解之得：x=6 即AE的长为6 cm.

二、扩展模型

例2在直线l上依次摆放七个正方形（如图3），已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=.

解析：图中是一个基本模型的扩展

由基本模型可知：ABC≌CDE，所以CD=AB，在RtCDE中，CD

2+DE2=CE2.

即AB2+DE2=CE2，所以S1+S2=1，同理S3+S4=3，所以

S1+S2+S3+S4=1+3=4.

三、建立模型

例3如图4，已知：ABC中，ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长为（ ）

（A） 217（B） 25（C）

42（D） 7

解析：过A作ADl3，过C作CEl3，垂足分别为D、E，建立基本模型

.

因为RtADB≌BEC，所以BE=AD=3，CE=2+3=5，

在RtBEC中，BC2=BE2+CE2=32+52=34，

因为AC2=2BC2=2×34=68，所以AC=2

17，故选（A）.

四、联想模型

例4如图5，矩形ABCG（AB

（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3

解析：解决问题时要想到基本模型：

设AB=CD=a，BC=DE=b，PB=x，

则PD=x-a-b，

由基本模型可知：ABP∽PDE，

所以ABPD=

PBDE，即

ax-a-b

=xb，

整理得：x2-（a+b）x-ab=0.

因为Δ=[-（a+b）]2-4×1×（-ab）=（a+b）2+4ab>0，

所以方程有两个不相等的实数根，

即满足条件的点P有两个，故选（C）.

五、逆用模型

例5如图6，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，

要使BC边上至少存在一点P，使ABP、APD、

CDP两两相似，则a、b间的关系一定满足（ ）

（A） a≥12b （B） a≥b

（C） a≥32b

（D） a≥2b

解析：因为ABP为直角三角形，而ABP与APD又相似，所以APD也是直角三角形，而只有∠APD=90°，所以图中只有存在基本模型，才能满足ABP、APD、CDP两两相似.逆用基本模型得：ABP∽PCD，所以

ABPB

=PCCD，

即

bPB

=a-PBb，

整理得：PB2-a·PB+b2=0，

因为Δ=（-a）2-4b2≥0，所以a≥2b，故选（D）.

[BP（]

六、猜想模型

例6：如图：铁路上A、B两点相距25km，

C、D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，

已知，DA=15km，CB=10km，现要在铁路AB上

修建一个大特产收购站E，合得C、D两村到E

站的距离相等，则E站应修建在离A站 km处.

分析：猜想模型：即假设DEEC，且DE=CE，则DAE≌EBC，则AE=CB=10，即E站应修建在离A站10km处.

解：设AE=x，则BE=25-x 因为DE=EC 所以DE2=EC2

即x2+152=（25-x）2+102 解之得：x=10

所以E站应修建在离A站10km处

七、发现模型

例7：如图：在正方形ABCD中，E为CD的中点，F在BC上，且BF=3FC，

求tan∠EAF的值.

分析：善于发现图中的基本模型是解题的关键.

解：设FC=a 因为BF=3FC=3a 则BC=4a

所以DE=EC=2a

因为

所以 且∠ADE=∠ECF=90°

所以ADE∽ECF 所以

且∠DAE=∠FEC 因为∠DAE+∠AED=90°

所以∠CEF+∠AED=90° 所以∠AEF=90°

在RtAEF中，tan∠EAF=

八、变换模型

例8：如图：已知等边ABC沿MN折叠，使点A落到BC边的D处，

若BD∶DC=2∶1，求 的值.

分析：由题意可知：∠B=∠C=∠MDN=60°，由基本模型可知：当模型中的垂直变为60°时，结论仍成立.

解：由折叠可知：∠A=∠MDN

因为ABC是等边三角形

所以∠B=∠C=∠MDN=60°

由变换基本模型可知：MBD∽DCN

根据相似三角形周长的比等于相似比得：

由折叠可知：AM=MD，AN=ND

又因为BD∶DC=2∶1 设CD=x，则BD=2x AB=BC=AC=3x

所以