浅谈初中数学的化归思想及其教学策略

【摘要】化归是解决数学问题最基本的手段之一,几乎所有问题的解决都离不开化归。从化归的方向上来看,可以化“未知”为“已知”,化“一般”为“特殊”。教师要采取有效的教学策略渗透化归思想方法:拥有扎实的基础知识、完整的知识结构是实现化归的必要条件;树立化归意识,提高转化能力是实现化归思想方法教学的关键;善于挖掘教材中蕴含的化归思想方法,不断总结化归法的一般原理,把化归思想方法的教学融于各个环节之中,让学生切实感受到化归思想方法的存在形式及其发挥的作用。

【关键词】数学化归思想教学策略

“问题是数学的心脏”,数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分,化归是解决数学问题的最基本的手段之一,几乎所有问题的解决都离不开化归。化归思想的实质就是将一个新问题进行变形,使其转化为另一个已经解决的问题,从而使原来的问题得到解决。化归思想包含三个要素:化归的对象、化归的目标和化归的途径。要正确运用化归思想,就要认清化归的对象,明确要化归的目标,选择恰当的化归途径。从化归的方向上来看,化归的方向大致可以分为两种。

一、化“未知”为“已知”

前苏联数学家雅诺夫思卡娅说:“解题――就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题。”在初中数学中,有许多新知识的获得或新问题的解决都是通过转化为已知知识或已解决的问题来完成的,也就是将新知识向已知知识点或知识块转化,从而使问题得到解决。在代数方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程(组)问题的最基本的思想。即将复杂的方程(组)通过各种途径转化为简单的方程(组),最后归结为一元一次方程或一元二次方程。这种化归过程可以概括为“高次方程低次化,无理方程有理化,分式方程整式化,多元方程组一元化”。

例如,一元二次方程的四种基本解法:

1.形如(x+m)2=n(n≥0)的方程转化为两个一次方程:x+m=±n,进而得解x1,2=m+±n,此为开平方。2.如果将方程通过配方恒等变形,一边化为含未知数的完全平方式,另一边为非负的常数,则其后的求解可由思路1完成,此为配方法。3.如果方程一边为零,一边能分解成两个一次因式之积,就可以得到两个因式分别为零的一次方程,它们的解都是原方程的解,此为因式分解法。4.如果以上三条思路受阻,便可把方程整理为一般形式,直接利用公式求解。

分析4种方法,不难发现,开平方法,它是依据平方根的意义将二次方程转化为一次方程,即由(x+m)2=n(n≥0)转化为x+m=±n,完成了由“二次”向“一次”的转化。方法2中的“配方”则是方程的恒等变形,把问题转化为“可开方”,并未“降次转化”,但已为“二次”向“一次”转化创造了条件,配方法的实质就是转化为开平方来解决的。方法3因式分解法,依据是“若干个因式之积为零时,则其中至少有一个因式为零”,据此,也顺利地实现了由“二次”转化为“一次”的目的。方法四即所谓公式法,对一般的一元二次方程,通过配方,转化为开平方求得一般结论,即求根公式。公式法以强调结论,实际上已将解方程转化成为代数式的求值问题,而公式的得到则是化归思想的典型体现。

二、化“一般”为“特殊”

先解决特殊条件、特殊情况的问题,然后,通过恰当的化归途径把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题来解决,这也是解决新问题获得新知识的一种重要的化归方向。初中教材中有许多一般性问题是用特殊化法解决的,如圆周角定理的证明,先证明圆心在圆周角一条边上这种特殊情况,然后,把这种证明思路应用到圆心在角的内部、外部的非特殊情况证明上,最后进行归纳,使问题得以解决。

例如,正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,两个正方形的边长相等,那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,是否变化,若变化请说明理由,若不变请求出。分析:一般情况下,两个正方形重叠部分是一个四边形,不易确定其面积的大小。不妨将绕O旋转的正方形置于特殊位置,此时,易得重叠部分(AOB)的面积是正方形ABCD面积四分之一的,余下的问题就是证明在一般情形下,重叠四边形OEAF的面积等于OAB面积。用割补法,证OAE≌ODF即可。

此题的解决都是先解决特殊条件、特殊情况下的问题,然后,通过恰当的化归方法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题来解决,这也是顺利解决某些问题的一种重要的化归方向,它在获得新知识解决新问题的过程中时常发挥着意想不到的作用。

那么,在日常教学中如何更好地渗透和落实化归思想呢?

一、拥有扎实的基础知识、完整的知识结构是实现化归的必要条件

注重概念、公式、法则等基本数学知识的教学,是寻求化归目标的基础。从某种意义上说,中学数学教学实际上是数学模型的教学,建立数学模型是实现问题的规范化和程序化,运用模型的过程即是转化与化归的过程。

系统的知识结构,是发现化归方向的前提。在平时教学中,教师帮助学生完善知识结构,如做好单元小结,制作知识结构图或列知识表是完善知识结构使知识系统化、板块化的有效方法之一。通过表格或网络图,知识之间的相互联系、依存关系一目了然,为问题的转化提供了准确的方向。

数学方法的积累,为探求化归途径带来便利。学困生之所以拿到基本题没有思路,其根本原因是其知识结构残缺不全,平时不注重数学方法的积累。

二、树立化归意识,提高转化能力是实现化归思想方法教学的关键

数学是一个有机整体,它的各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透,我们在研究数学问题的过程中,常需要利用这些联系对问题进行适当转化,使之达到简单化、熟悉化的目的。要实施转化,首先须明确转化的一般原理,掌握基本的化归思想和方法,并通过典型的问题加以巩固和练习。因此,在平时的教学中,注重引导学生通过观察、分析,由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想方法、规律以及熟知的相关问题解法,通过转化,建立条件和结论之间的桥梁,从而找到解题的思路和方法。要求学生掌握基本的化归方法,初中阶段常用的化归方法有恒等变换法,具体包括分解法、配方法、待定系数法等:其次是映射反演法,具体包括换元法、坐标法等。

三、善于挖掘教材中蕴含的化归思想方法,不断总结化归法的一般原理

把化归思想方法的教学融于各个环节之中,让学生切实感受到化归思想方法的存在形式及其发挥的作用。

在概念形成过程中渗透化归思想;在定理、公式的探究过程中深化化归思想;在问题解决过程中领悟化归思想;在知识的归纳总结过程中概括化归思想。

化归思想贯穿整个初中数学,让学生在学习的过程中要有意识地体会这种科学的思维方法,有利于在解决问题的过程中,保持思维通畅、运用方法恰当,从而达到事半功倍的效果。

参考文献:

[1]顾泠沅.数学思想方法[M].北京:中央广播电视大学出版社,2004.

[2]殷堰工.数学解题策略精编[M].上海:上海科技教育出版社,1994.

[3]上海市中小学数学课程标准[M].上海:上海教育出版社,2004.