浅谈学生数学思考能力的培养

摘 要:思考,是人类智慧的源流,也是人类进步的依托。前苏联心理学家维果茨基的内化理论提出:思考是一种活动,这种活动依循个人的内在语言来进行,并通过学生的经验活动而发展。数学是少数能够通过加强训练、建立逻辑来对应的学问之一。在现今这个时代,人们更需要具备能够洞察事物本质的数学性思考能力,而培养出这种能力正是数学的职责所在。

关键词:数学思考 课堂教学 课后反思

一、有关背景分析

目前,应试教育现象仍很普遍。中学数学课堂教学中存在的问题不少,主要表现在注入式严重、满堂灌、课堂气氛沉闷以及学生的学习缺乏积极性和主动性。有的学生完全服从教师和课本,不敢独立思考。也很少有机会去思考。

由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同,他们的思考能力发展并不均衡。思维的敏捷性、灵活性、深刻性等品质各不相同。通过调查研究与量化分析,我们觉得造成学生数学思考能力差异的因素是多方面的。一是学生自身的原因:包括智力水平、生活经验、知识基础、非智力因素等;二是教师教学的原因:包括教师的意识、教学活动的设计与组织、对学生的评价等。

二、培养学生数学思考能力的策略

1.平时加强对基础知识、基本技能的训练和巩固,使学生具有思考的基础

数学思考是指在数学活动中的思考,又有狭义和广义之分。狭义的指学生关于数学对象的理性认识过程(思考数学),广义的指运用数学的知识、方法去分析事物、思考问题(数学思考)。数学思考也要讲究基本功。

如:有些小学生在计算1/2+1/3=?时,答案为1/5或2/5,为什么会出现这样的错误呢?这不仅仅是思考能力的问题,在计算能力方面也是欠缺的。若要扎实地建立起教育的基础“读、写、算数”,“思考”当然是无须赘言的,甚至连前述教育白皮书草案中所轻视的“计算”与“背诵”,以及为了确实达成这两个项目所要做的“反复练习”,都是相当重要的。

在数学的学习中,重要的是必须在基础练习之后,能够以简单明了的形式描绘出在练习中得到的数学感觉,在日常生活中灵活运用数学思考能力。

这种思考能力可通过从初级阶段开始就进行的“抽象化”训练来培养。如:2个苹果与2只昆虫是两种完全不同的东西。但是,2个苹果再加上1个苹果,与2只昆虫再加上1只昆虫的算法相同可用下面的算式来表示:2+1=3这就是所谓“数量的加法”,它是能以同样方式来计算的一种方法,也是一种抽象化的思考。而计算练习就是为了稳固地建立起这种能力。教师(1)在教学此问题时,不妨问问学生:2个人加上1个人等于多少?2棵树加上1棵树呢?……2个苹果加上1只昆虫等于多少?能否累积,为什么?

让学生感受数学,找到最重要的数学感觉之一――“类比”,即先从简单的情况开始思考。类比的方法可以减少背诵,也可以在学习的过程当中发挥极大功效。

例如以下这类问题:位数为6的自然数n可用哪个式子表示呢?

A.10的5次幂≤n

B.10的6次幂≤n

另外,哪一个的符号是≤呢?

想法:一位数的自然数为1、2、3…9,

所以1≤n

10的0次幂≤n

两位数的自然数为10、11…99,

可表示为10的1次幂≤n

因此,当n为6位数时,同理可推。得出答案A

2.建立平等、民主、和谐的师生关系,创设学生勇于思考的环境

作为教师,在教学过程中,对于最基本、最主干的原理要讲清,以利于知识迁移;而对于一些扩展性问题、简单的推导和论证、前后知识对比以及区别和联系,对知识和方法的归纳、总结等,可以给学生留出余地,激发学生自己去思考钻研。

教师要与学生进行平等的对话和交流。其前提是要相信和尊重每个学生,看到他们都有在某一方面成才的潜能。著名特级教师孙双全与孩子心灵相通的教学情景就使我们很受启发:“教学中,他不断地鼓励大家:‘谁来说一说,说对了表扬,说错了也表扬,表扬你的勇气。’而对孩子的错误解释,也给予肯定的评价:‘因为你的错误才使我们明白失败乃成功之母。’而对孩子出色的回答,他更是毫不吝啬地对学生给予夸奖和赞美:‘真好,你有发现的眼睛。’当孩子不够自信而不敢举手时,他鼓励学生:‘举起手来就是英雄,就是高手!’学生在他的鼓励下,越来越多的小手举了起来。”在课堂上学生是“小脸通红,小眼发光,小手直举,小嘴常开”,这是一种多么宽松愉快的学习环境!

教师要善于敏锐地发现学生思考的“激发点”,及时地给予点燃。如当学生回答问题有错误时,正是点燃他思考的大好时机,绝不能轻易错过。一要鼓励学生答错背后反映出的独立思考和不人云亦云的勇气;二要肯定蕴含其中的正确因素;三要着力地把学生的错误开发成课程资源,与学生共同找出错误的原因;四要引导学生通过深入思考找出正确答案。再如当学生回答问题“拿不准”时,这说明他的头脑正处于困惑状态,教师这时就要“拉他一把”,但绝不要直接给出答案。

教师要鼓励学生破除迷信,敢于向权威挑战,培养其勇于探索的创新精神。因为敢于向权威挑战是创新型人才的可贵品质。这不妨从破除教师的权威开始:课堂上如果遇到了学生的“节外生枝”或提出了挑战性的问题时,教师应该热情地欢迎,冷静地倾听,认真地分析。如果是确有价值的意见,就应随机应变地将其转化为课程资源。如果学生的主张不对时,教师应引导他们继续深入探究。

例如:在教学湘教版八年级数学上册§3.1旋转时,不妨拿实物演示“平移”这种变换,从而让学生说出其定义及性质,然后拿非等腰的三角尺绕着一个顶点顺(逆)时针方向旋转一定的角度,并把两个三角形用不同的颜色标画在黑板上。(注意在进行变换的过程中有意识地进行数学语言的训练)通过类比的方法,让学生发现并归纳:旋转的定义及性质。然后再一次让学生作“旋转”演示,这次的旋转中心不是三角形的顶点而是三角形外面的任意一个点,再拿课本进行演示,把其平面图形用粉笔勾画出来,让其进一步明白对“旋转”的描绘,认识旋转中心,旋转角,原像与像,对应点,对旋转的性质的运用。

3.引导学生学会反思

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出:反思是数学思维活动的核心和动力,学习是一个系统工程,学会反思是学生发展中不可或缺的重要因素,学生反思数学思考的过程,就是对自己的数学学习进行自我监控自我调节,进而对数学认知活动进行指导支配决定和监控教师在日常教学中应重视引导学生形成反思的意识,掌握反思的方法。

为提升学生的数学思考能力教师可以利用每一课结束前的短短几分钟,让学生对所学的内容,学习过程运用的数学思想方法进行回顾和思考。学生可以自我提问和互相提问:这节课的重点是什么?我学会了什么?我有什么不懂的地方?我是怎么学会的?这节课的知识和以前学过的哪些知识有联系?我还想知道什么?学生经过反思,不仅能及时将学到的新知识进行梳理,而且还能沟通新知识和已学知识的联系,并尝试对新知的延伸进行探询。

如:在临近教学“旋转”这一节课结束之前,我们可以说说什么叫做旋转,旋转的三个要素是什么,你能用旋转的性质作指定图形在旋转条件下的图形吗,至今为止,我们学过的图形变换有哪些呢,它们之间有什么联系和区别呢,你能用你现有的实物一一演示吗?

4.逐步培养学生有条理地梳理、综合在思考中获得的信息,使学生在思考中有所收获

问题解决后有待更进一步的反思,弗赖登塔尔指出:通过回顾所完成的解答,通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子,学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力。综观现在的课堂,有些学生仍然认为做完题就完成了任务,不会主动对解题过程进行回头看和再思考,也不会对特殊问题所包含的一般意义作进一步认识,从而导致学习效率低下,思维的灵活性不能得到有效培养。学生在解决问题后,不妨引导他们思考:回忆一下你的思考过程,哪里是解决问题的突破口?这个问题你是怎样一步一步解决的?每一步求的是什么?为什么这么做,不这么做行吗?还有没有其他办法?如果有,哪种办法更好?对于学生来说,有时候这种反思比做题本身更重要。因此,我们要让学生在解决问题的过程中,逐渐形成这种反思的意识和能力。

如:问题一:已知一个三角形每相邻两边的和分别为17,18,25,求这三边的长。

然而,有的学生在解这道题时用的是非常规解法。

解:设三条边的长分别为x,y,z则有

x+y=17 (1)

y+z=18 (2)

x+z=25 (3)

(1)+(2)+(3)得:x+y+z=60(4)再将(1)、(2)、(3)分别代入(4)得到三边的长分别为12、5、13

问题二:已知a≠1/b,3a2+4a-1=0,3/b2+4/b-1=0求b+1/a的值

而有的同学知道,如果用解方程的方法来求值,由于第二个为分式方程,求解复杂。但两方程在结构上都与方程(1)3x2+4x-1=0接近,所以可以把a与1/b看成是方程(1)的两个根,由韦达定理有a+1/b=-4/3,a・1/b=-1/3从而可求得b+1/a=(a+1/b)・b/a=(-4/3)・(-3/1)=4

上述的非常规解法是创造性思维的具体表现。他们能仔细观察问题,能从在空间数量关系上与该问题接近的范围去回忆一个相关的问题、定理或公式,再从相关问题、定理或公式的特征上去思考问题的解答方法。

当然有时也有这种秘密招数:问题三:请在下面括号内填上正确的数字若xyz=1,则2x/(xy+x+1)+2y/(yz+y+1)+2z/(zx+z+1)=( )

提示:像这样的题目一定都有解答。出错题的情况可以说是少之又少。所以请用一些简单的数值代进去试试看。

不妨设X=1,Y=1,Z=1,可以满足XYZ=1。以这个数值代入计算,则得到答案为2

事实上,把分式2X/(XY+X+1)的分子分母同时乘以Z,把分式2Y/(YZ+Y+1)的分子分母同时乘以X,再利用XYZ=1这个已知条件进行化简就会得到与第三个分式同分母的分数,再相加答案为2。这是填空题及选择题最大的一个弱点。

三、几点思考

1.数学思考对学生的发展有着重要的意义,而数学思考弥散于知识与技能、解决问题之中,要乘势而为,不可单独进行强化训练,也不可脱离生活中的实例而凭空讲解。

2.数学思考要在数学活动中实现,它贯穿于整个数学学习过程中。在新课程背景下,数学教师要吃透新教材的编排意图,利用教材已创设的情境,把数学思考作为学生的学习目标来设计教学各个环节,使学生的数学思考得到稳步地发展,使学生在将来社会生活中能够更好地利用数学工具解决生活中的各种问题。

参考文献:

1.[日]冈部恒治著.王秋阳等译.训练思考能力的数学书.2005(2)

2.徐妍燕.浅谈有效中学数学课堂教学[M].素质教育论坛下半月.2008(9)

3.孔华萍.浅谈中学数学课堂教学的语言技巧[M].云南教育.2008(4)

4.张全国.浅谈中学数学课堂教学的唤醒[M].考试(教研版).2007(2)

作者单位:湖南省新化县孟公镇太阳中学