时间：2022-05-03 12:18:42
摘 要： 本文按照特殊到一般的顺序，先证明球面上过两点的所有圆弧线中大圆弧线最短，然后证明对于球体上所有曲线仍然是过两点间的大圆弧线最短。
关键词： 球面距离 求导 最小值
有这样一个有趣的问题：在一个给定的球体上，有一只小蜗牛从栖息处到另外一个地方觅食，假如蜗牛匀速前进，请问这只蜗牛怎样走才可以在最短时间内到达？这显然涉及到一个非常重要而又不易理解的概念――球面距离，即是指球面上两点间的最短连线的长度，也就是经过这两点的大圆在这两点间的长度。有的学生可能会问，为什么球体上两点间的所有曲线中球面距离最短？
为了解释清楚这个问题，本文按照由特殊到一般的逻辑顺序，分两个部分进行探讨和证明。
首先，探讨一种比较特殊的情况，即假设过两点的曲线就是圆弧线。本文通过求导数来求最小值的方法，证明球面上过两点的所有圆弧线中大圆线最短。
如上图所示，设弦AB长为a，球O半径为R。设圆O′为球面上过A、B两点的任意圆，其半径为r。设弧 ADB 长为S，角∠AO′B为θ，则S关于θ的函数为
S=rθ=，其中0＜θ＜π，其导数
S′=•=•＞0，
故S=在定义域内为增函数。又r=≤R，故当r=R时，θ取最小值，S也取最小值，即证明了球面上过两点的所有圆弧线中大圆弧线最短。
接下来，有的学生会问：对于球体上所有曲线，还是过两点间的大圆弧线最短吗?
为了证明一般的情况，先给出曲面S：
r=r（u，v）上的曲线（C）：u=u（t），v=v（t）。
对于曲线（C）有
=r+r，或dt=rdu+rdv，
若以s表示曲面上曲线的弧长，则
ds=dr
=（rdu+rdv）
=rdu+2rrdudv+rdv
这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧长。设曲线（C）上两点A（t），B（t），则
s=dt=dt
然后建立球面曲线坐标：u=φ（经度），?谆=θ（纬度），-＜θ＜，0＜φ＜2π。如下图所示，
球面的参数方程为：x=Rcosθcosφ，y=Rcosθsinφ，z=Rsinθ，其中R是球的半径。
r={-Rcosθsinφ，Rcosθcosφ，0}
r={-Rsinθcosφ，-Rsinθsinφ，Rcosθ}，
由此得
r•r=Rcosθ，
r•r=0，
r•r=R，
因而ds=Rcosθdφ+Rdθ。
大圆上弧线AEB的方程为v=0，设A、B的坐标分别为（θ，0）和（θ，0）（θ＜θ），于是大圆弧线AEB的长为R（θ-θ）。
因为比较的是劣弧，所以选取的是球面上不含任何同一条直径的两个端点的小领域曲面片。在这个小领域内联结A、B的任意曲线（C）设为v=v（u），于是沿曲线（C），由A到B的弧长为
s=dθ
=dθ≥Rdθ=R（θ-θ）
当且仅当φ′=0时上式中的等号成立，这时φ′=0，即φ=常数（u-曲线），这表示弧ADB与弧AEB重合。这样就证明了球体上对于两点间的所有曲线中球面距离最短。
参考文献：
［1］梅向明，黄敬之.微分几何［M］.北京：高等教育出版社.
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