圆锥曲线切线的一个优美性质

【前言】圆锥曲线切线的一个优美性质由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。证明设M（2pt，2pt1），N（2pt， 2pt2），则过点M，N的切线方程分别为 2pt1y＝p（x+2pt），① 2pt2y＝p（x+2pt）.② 联立方程组①②得x＝2p（t1・t2），y＝p（t1＋t2）. 因为A，M，N 三点共线，即＝， 化简得：t1t2＝. 所以x＝m（y>，y 定理2过x轴上一点A ，0（a>m>0...

江苏南京金陵中学210005

摘要：本文研究圆锥曲线过定点的动弦的两个端点处的切线的交点轨迹，给出若干定理并证明其结论是充要的，证明过程充分利用了圆锥曲线的参数方程.

关键词：圆锥曲线；切线；轨迹；方程

圆锥曲线是高中数学的主干知识，有极其丰富和优美的性质，圆锥曲线的切线相关性质也已成为高考命题的重要来源，笔者经过研究发现了一个圆锥曲线的切线的有趣性质，现介绍如下：

定理1过x轴上一点A（－m，0）（m>0）引一条动直线与抛物线y2＝2px相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是x＝（y>，y

证明设M（2pt，2pt1），N（2pt， 2pt2），则过点M，N的切线方程分别为

2pt1y＝p（x+2pt），①

2pt2y＝p（x+2pt）.②

联立方程组①②得x＝2p（t1・t2），y＝p（t1＋t2）.

因为A，M，N 三点共线，即＝，

化简得：t1t2＝. 所以x＝m（y>，y

定理2过x轴上一点A

，0（a>m>0）引一条动直线与椭圆＋＝1（a>b>0）相交于M，N两点，过点M，N分别作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是

证明设M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），A

则过M，N两点的切线方程为：

化简得msin（α－β）＝a（sinα－sinβ），mcos＝acos，tan・tan＝.

又x＝＝＝a

，0（m>a）引一条动直线与双曲线－＝1相交于M，N两点，过点M，N分别作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是

证明设M（asecα，btanα），N（asecβ，btanβ），A

则过A，B两点的切线方程分别为

联立方程组

因为M，N，A三点共线，=，

化简得asin（α－β）＝m（sinα－sinβ）， acos＝mcos，

＝－2b＝-.

定理4过直线x＝m（y>，ym>0）上一点引椭圆＋＝1的两条切线，切点分别为M，N，则M，N的连线过定点

，0.

定理6过直线x＝my>

，y

（m>a）上一点引双曲线-＝1的两条切线，切点分别为M，N，则M，N的连线过定点

，0.

限于篇幅，请读者自行给出定理4、定理5、定理6的证明.

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