“以数解形”

江苏如皋东湖职业高级中学226563

摘要：数形结合是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，分析它的代数意义，揭示其几何意义，使数量关系与空间图形巧妙结合，将抽象问题直观化、直观问题精确化、繁琐问题简易化，从而解决问题. 本文通过一些案例将数形结合的解题思想运用到实际教学中，以此优化数学教学.

关键词：以形解数；以数解形；数形结合；思维方法

数和形是构成数学研究的基本对象，两者的结合是一种极富数学特点的信息转换，其思想方法就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析它的代数意义，又揭示它的几何意义，使数量关系和空间图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，恰当地改变问题或改变提问的角度，往往能够起到化抽象为直观，化直观为精确，化繁琐为简易的作用，从而使问题得以解决．

我们在问题解决时总是用数的抽象性质来说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实. 但是，人们通常看重的是“以形解数”，往往忽略“以数解形”. 本文试图通过一些例题的分析与探索，说明“以数解形”的重要性，以便在教学中更好地运用数形结合的思想方法，优化学生的思维品质和数学素养.

例1在图1中，已知OA，OB是O的两条半径，BEOA于E，EPAB于P，连结OP，求证：OP2+EP2=OA2.

[O][E][B][O][P][A][O][E][A][B][P][H]

图1 图2

分析解题的首要条件是理解题意，该题借用圆让人感觉难以下手，其本质就是在等腰ABC内来研究问题. 在审题的时候，我们往往根据题意寻找结论. 比如等腰三角形的性质，直角三角形中的射影定理以及相关变形. 由等腰三角形结合图2来理解，我们不难想到三线合一的性质，从而作AB边上的高OH，这时H也是AB的中点. 这样便有等式：

EP2=AP・PB（1）

OH2+AH2=OA2（2）

OH2+PH2=OP2 （3）

这时我们对后两式作差，即用（2）-（3）可消去OH2，则有AH2－PH2=OA2－OP2，把要证明的结论OP2+EP2=OA2进行变形得EP2=OA2－OP2，又由（1）可知，只要证明AH2－PH2=AP・PB. 这时有两种思路：

①假设AB=2a，左边=a2－PH2，右边=（a－PH）（a＋PH），显然左边=右边；②应用平方差公式左边＝（AH－PH）（AH＋PH）＝AP・（BH＋PH）＝AP・PB（因为H是AB的中点，所以AH=BH）.

教学中我们应给予学生学习的方法，要让学生抓住问题的本质. 在数学教学时，可根据“形”到“数”的转化让学生自己学会转化思想的方法，这样不仅可以发展学生的思维能力，而且还能通过数形结合达到锻炼学生探索能力的目的. 由此我们可以看出，以“形”助“数”，直观、巧妙；用“数”攻“形”，简洁、明了.

例2如图3，已知射线PA，PB，PC不在同一平面内，且PA=PB=PC，∠BPC=90°，∠APB=∠APC=60°.

求证：平面ABC平面PBC.

[P][P][A][B][C][A][B][C][H][a][a][a][a]

图3 图4

分析要证平面ABC平面PBC，依据面面垂直的判定定理，不难想到取BC的中点H，连接AH，PH. 结合图4，只须证AH平面PBC，即证AHBC，AHPH. 据题意可得AB=AC，则AHBC. 下面只须证AHPH，在三角形中我们可以联想到用勾股定理的逆定理，不妨设PA=PB=PC=a，由题目条件可以求得AH=PH=a，又AP=a，则AH2+PH2=AP2，所以∠AHP=90°，即有AHPH，故命题得证.

从这道题我们可以看出解题要学会分析题意. 解题时，常有这样的两种方法：一种是由已知向求证，另一种则是反过来，由求证向已知. 前者称为综合法，后者称为分析法，这里的“分析”不同于通常分析问题的分析，它专门指倒过来，由结果追溯到已知的论证方法，简称“执果索因”. 在几何中常用这种方法.

例3已知在正方形ABCD中，过D作CA的平行线DE，并使CE=AC，若CE交AD于F，则AE=AF.

分析通常要证AE=AF，只须证∠AFE=∠AEF. 充分利用已知条件，我们发现图5中的已知角除与正方形有关的角外，还有∠CDE=135°，又CE=AC，在CDE中分析问题，若设正方形的边长为a，则CE=AC=a，这时根据正弦定理则有=，即=，则sin∠CED=，在CDE中∠CED为锐角，所以∠CED=30°. 又DE∥CA，CE=AC，可得∠AEF==75°，∠AFE=∠ACE+∠CAD=75°，从而命题得证.

[A][F][E][D][C][B][A][P][K][D][B][F][E][M][C][G][H][N]

图5 图6

例4设在RtABC中，∠C=90°，如图6，在三条边上分别向外作正方形，设它们的中心分别为M，N，P，其中P是斜边上的正方形的中心，试证：MN=CP.

分析据题意可得M，C，N在同一直线上，所以MN=MC+CN. 在正方形中AC=MC，BC=CN. 又因为∠ACB=∠APB=90°，所以A，C，B，P四点共圆，则

==.

所以=，

所以

=，

所以==，

所以=，所以MN=CP.

以上两题均运用了三角法，比起一般的求证全等简洁了很多. 它突破了在常规平面几何中利用平面几何的性质、定理的思维，要求学生注重所学知识间的联系，体现了数学教学的作用，有利于培养学生的创新思维能力.

例5如图7，在任意OBC中,分别在OB，OC上取D，E两点，使BD=CE，设DE，BC的中点分别为G，F，∠O的平分线为OT，试证：FG∥OT.

[O][D][B][T][x][F][G][E][C][y][y][x][T][T][F][G][E][C][O][D][B][M][L][H][J][I][K]

图7图8

分析：建立如图的平面直角坐标系，其中O为坐标原点，OT所在直线为x轴，取与其垂直的方向为y轴. 要证FG∥OT，只要证明G，F两点的纵坐标相同即可.

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设E，C，B，D的纵坐标分别为yE，yC，yB，yD（0yEyC，yByD0）. 如图8，作EHx轴于H，CIx轴于I，DKx轴于K，BLx轴于L；EJCI于J，DMBL于M. 在CEJ和BDM中，有∠CJE=∠BMD=90°，∠CEJ=∠BDM=∠O，又因为BD=CE，故CEJ≌BDM. 所以BM=CJ，所以yC-yE=yB-yD. 又0yEyC，yByD0，则yC－yE=－（yB－yD），所以yC－yE=yD－yB，所以yB+yC=yD+yE，所以=，即G，F两点的纵坐标相同，所以命题得证.

例6如图9，将边长为8的正ABC折叠，使顶点A落在BC边上的P点，当P沿BC从B到C移动时，求折痕DE的最值.（D在AB上，E在AC上）

分析要求DE的最值，可以先求出DE的关系式. 如图10，作AHBC于H，设∠PAH=α，在PAH中，=cosα，又AF=，所以AF=. 据题意，AH=4，所以AF==. 由AH也是顶角的角平分线，所以∠BAH=∠CAH=30°.

[A][D][F][E][C][P][B][A][D][F][E][C][P][B][H][α]

图9 图10

在RtDFA中，∠DAF=30°－α，则=tan（30°－α），所以DF=AF・tan（30°－α）. 同理EF=AF・tan（30°+α）.

注意这里α的范围是0°≤α≤30°，而且无论点P在BH还是CH上移动都不影响DE的值. 这时DE=・tan（30°－α）+tan（30°+α），进一步整理得，DE=，所以DE=（0°≤α≤30°）.

下面分析分母的变化，令y=cos3α－・cosα，再令x=cosα，即y=x3－x. 由0°≤α≤30°，则≤x≤1. 考查y=x3－x，首先对y求关于x的导数，得y′=3x2－=

x+

x－，令y′=0，得极值点x=±. 又本题中≤x≤1，此时y′>0，所以y=x3－x在≤x≤1上单调增加. 所以ymin＝，ymax＝. 所以可求得DE的最大值为4，最小值为4.

“利用导数求最值”在新课改后作了相关要求，但学生在解决问题时却不能运用. 所以我们应积极适应新课改的精神，让学生运用新知识解决问题.

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