一道竞赛题的推广

江西赣州第四中学数学组 341000 江西赣南教育学院数学系 341000

摘要：本文对一道IMO的预选题进行了一些推广，得出了一些有用的结论.

关键词：竞赛题；推广

已知x，y，z∈R+，且xyz=1，求证：++≥.①

这是IMO的一道预选题，本文对此不等式进行一些推广. 下文的i，j，k，n都是正整数，其中n≥2.

[⇩]对不等式①的条件和结论中项数的推广

命题1设a1，a2，…，an∈R+，若a1a2…an=1，λ是常数且λ≥0，则

≥.

（其中an+1=a1，an+2=a2，…，an+n=an，1≤i，k≤n）

证明 据均值不等式

++…+≥（k+1），

…

++…+≥（k+1）.

以上n个不等式相加得

≥. ②

又由均值不等式有

ai=a1+a2+…+an≥n=n.③

[⇩]对命题1关于条件等式的推广

命题2 设a1，a2，…，an∈R+，若a1a2…an=m（m是正常数），λ是常数且λ≥0，则

≥.

（其中an+1=a1，an+2=a2，…，an+n=an，1≤i，k≤n）

仿命题1，易证之.

[⇩]对命题2关于结论中分子、分母指数的推广

命题3 设a1，a2，…，an∈R+，若a1a2…an=m（m是正常数），β1，β2，…，βj+1>0，且β1－（β2+β3+…+βj+1）=1，λ是常数且λ≥0，则

≥.

（其中an+1=a1，an+2=a2，…，an+n=an，1≤i，j≤n）

证明 设S=ai，则S≥n=n，由赫尔德不等式知：

≥==f（S），易知f（S）是增函数（f′（S）>0），

从而f（S）≥f（n）.

≥≥=.

[⇩]对命题3关于条件及结论中分子、分母结构的推广

命题4 设a1，a2，…，an∈R+，若[][C项]=m（m是正常数），β1，β2，…，βj+1>0，且β1－（β2+β3+…+βj+1)≥1，λ是常数且λ≥0，则

≥

.

（其中an+1=a1，an+2=a2，…，an+n=an，1≤i，j，k≤n）

证明 设S=a，由均值不等式有

a+a+…+a≥ka1a2…ak，

a+a+…+a≥ka2a3…ak+1，

…

a+a+…+a≥kan-k+1an-k+2…an.

以上C个不等式相加得

a≥k・（a1a2…ak+a2a3…ak+1+an-k+1an-k+2…an）=km.

则S≥. 由赫尔德不等式知：

≥

==f（S），

易知f（S）是增函数（f′（S）＞0），

从而f（S）≥f

. 即

≥≥=.

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