整体思想的应用技巧

在解数学问题时，将问题看成一个整体，研究整体结构，达到简捷解决问题的目的，这就是整体思想.下面以中考题为例，谈谈整体思想的应用.

一、整体代换 在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，直接代入另一个式子，从而避免局部运算的麻烦与困难.

例1 （2012年金华卷）如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式x2-y2的值是 .

解：x+y=-4，x-y=8，

x2-y2=（x+y）（x-y）=（-4）×8=-32.

温馨小提示：利用整体代换解题，关键是找到“整体”.

二、整体把握 有些问题，表面上要求出所有量的值.若从整体上把握量与量之间的关系，如从反面思考问题，思路会更明确，方法更巧妙.

例2 （2012年泰安卷）1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有 个.

分析：本题要求无理数的个数，比较复杂.从问题的整体看，分别找出1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中有理数的个数，则无理数的个数唾手可得.

12=1，22=4，32=9，…，102=100，

1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个，无理数有90个.

13=1，23=8，33=27，43=64100，

1，2，3，…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，无理数有96个.

1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90+96=186个.

温馨小提示：填空题，不需要写出解题过程，解题速度是考试成功的重要因素.从整体上把握问题是简捷解本题的关键.

三、整体设元 把所求的式子用字母表示后，问题转化为求字母的值，这种整体思考问题的方法就是整体设元.

例3 （2012年黄石卷）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5 050.今天我们可以将高斯的做法归纳如下：

令 S=1+2+3+…+98+99+100， ①

S=100+99+98+…+3+2+1. ②

①+②得2S=（1+100）×100，解得S=5 050.

请类比以上做法，回答下列问题：

若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n= .

解：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168， ①

则S=（2n+1）+…+7+5+3=168. ②

①+②得2S=n（2n+1+3）=2×168，

整理得n2+2n-168=0，解得n1=12，n2=-14（舍去）.

故答案为12.

温馨小提示：本题考查有理数的混合运算，需读懂题目提供的信息，整体设元，列方程求解.

四、整体补形 整体补形，就是将问题中的图形（规则图形或非特殊图形）经过添加辅助线以后，转化为特殊图形，让问题中的隐含条件显露出来，从而求解.

例4 （1）（2012年乐山卷）从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图1所示的零件，则这个零件的表面积为 .

（2）（2012年山西卷）如图2，ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC. 把ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到AB′C′，若AB=2， 则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）.

解：（1）从正方体毛坯一角挖去一个小正方体得到的零件的表面积，通过补形就等于原正方体表面积，所以挖去一个棱长为1的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是2×2×6=24.

（2）将阴影部分B′CB补到B′C′D的位置，因为ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2，则AC=BC=，S阴影= S扇形AB′D -S扇形ACC′= =.

温馨小提示：这里从整体思考，分别利用平移补形和旋转补形，得到的解法十分简捷.

五、整体联想 整体联想就是从整个问题着手思考，联想常见的数式、图形等，寻找解决问题的最佳途径.

例5 （2012年黔南卷）如图3，A和B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y=的图像上，则阴影部分的面积等于 （结果保留π）.

解：图形中有两个与等圆相关的图形，根据反比例函数的对称性和圆的对称性，可将阴影部分面积转化为一个圆的面积.因为A和x轴y轴相切，因而点A到两轴的距离相等，即横纵坐标相等，设A（a，a），点A在函数y=的图像上，因而a=1，故阴影部分的面积等于π.

温馨小提示：寻求各部分之间的整体联系是解题思路的升华.整体联想往往可以另辟蹊径，简捷解题.

六、整体合并 就是指整体运算，减少中间过程，达到快速解题的目的.

例6 （2012年达州卷）若关于x、y的二元一次方程组2x+y=3k-1，

x+2y=-2的解满足x+y??1，则k的取值范围是 .

（2）（2012年株洲卷）在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部，B区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）.现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如图4所示.

依此方法计算，小明得多少分？

解：（1）观察方程组中两个方程的特点，将它们左右两边分别相加，可得3x+3y=3k-3，即x+y=k-1，因此k-1>1，所以k>2.

（2）设掷到A区和B区分别得x，y分.依题意得5x+3y=77，

3x+5y=75.要求4x+4y的值，将两个方程相加得8x+8y=152，即4x+4y=76，小明得76分.

温馨小提示：两个问题都可以先求出x和y的值，再求出答案，但整体求解要简捷得多.