例析分类讨论思想在高中数学中的应用

【摘要】 分类讨论是一种重要的数学思想方法，也是一种重要的逻辑方法。分类讨论能突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题、解决问题的能力。

【关键词】 高中数学 分类讨论 不等式 函数 数学思想

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）01-022-01

分类讨论是历年数学高考的重点与热点，也是高考的难点。分类讨论思想渗透到了高中数学的方方面面，本文就此略选几例作一探讨，供大家共同探讨。

类型一：不等式中的字母讨论

【例1】解关于x的不等式：ax2-（a+1）x+1

解：（1） 当a=0时，原不等式化为-x+11.

（2） 当a≠0时，原不等式化为a（x-1）（x-）

① 若a0，

② 若a>0，则原不等式化为（x-1）（x-）

（ⅰ） 当a>1时，

（ⅲ） 当01，不等式解为1

综上所述，得原不等式的解集为：

当a1}；当01时，解集为{x|

【点评】这里是一个三级分类讨论，首先按不等式的类型分，其次按抛物线的开口方向分，最后按根的大小分。分级分类讨论中各级号码要有明确的区别，同级的号码要有统一的格式，以避免混乱而失去条理性。在一级分类中，也可省略编号。

类型二：函数中的分类讨论

【例2】 设函数y=ax5-bx3+c（c≠0）在x=±1时有极值，且极大值为4，极小值为0.求a、b、c的值。

解： 令y'=5ax4-3bx2=0，x2（5ax2-3b）=0.极值点可能是0或±1.函数x=±1时有极值，5a=3b，y'=5ax2（x2-1）=5ax2（x+1）（x-1）.若a>0，当x变化时，函数递增与递减及极值情况如下表：

解得：a=3，b=5，c=2.若a

【点评】 这里实施的是一个二级分类讨论，使用表格简明清晰；在“0”处，为什么没有极值，要深入理解。

类型三：数列中的分类讨论

【例3】设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0（n=1，2，…）.（1） 求q的取值范围；（2） 设bn=an+2-an+1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.

解：（1）因为{an}是等比数列，Sn>0，可得a1=S1>0，q≠0.

当q=1时，Sn=na1>0；

当q≠1时，Sn=>0，即>0（n=1，2，3，…），n可为奇数，可为偶数，故q>1或-1

综上，q的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）.

（2）由bn=an+2-an+1=an（q2-q）， Tn=（q2-q）Sn.

Tn-Sn=（q2-q-1）Sn=（q-）（q-）Sn.

又Sn>0，-1

【点评】等差、等比数列的通项、前n项的和是数列的基础，已知一个数列的前n项和求其通项时，对n=1与n≥2要分别予以研究，而涉及等比数列求和或用错位相减法求和时，要对公比q是否为1进行分类讨论。

类型四：解析几何中的分类讨论

【例4】如图，给出定点A（a，0）（a>0）和定直线l：x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的平分线交AB于C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。

解： 设B（-1，b）（b∈R），则直线OA：y=0，OB：y=-bx.设点C（x，y）（0≤x1时，点C的轨迹是双曲线一支上的弧段.

【点评】 出现了两次分类整合，首先对y的值是否为零进行讨论，为的是将轨迹方程化简；第二次是一个二级分类整合，别忘记a>0这个前提。

运用分类讨论解题时要把好“四关”，要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；要找准划分标准，把好“分类关”；要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”。