导数在参数范围确定中的求解策略

导数及其应用既是高考的重点，又是高考的热点，在理解导数的基本概念、基本知识，掌握通性通法的同时，应在审题和解题上加强训练，选择适当的解法，设计合理的解题途径，总结解题规律，形成一套完整的解题思路，从而达到简化运算过程、迅速而又准确地解题的目的，本文通过例子给出参数范围的确定几种方法

1 利用导数结合函数性质求参数的范围

例1、f（x）=x2-2ax-3在[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（）

A.a∈（-∞，1]B，a∈[2，+∞）C，a∈[1，2]D，a∈（-∞，1]∪[2，+x）

解：f′（x）=2x-2a，故y=f（x）在[1，2]上存在反函数的充要条件是：

在[1，2]f′（x）0或f′（x）0恒成立，即2x-2a0或2x-2a0 ，

ax或ax在[1，2]恒成立，在[1，2]上xmin=1，xmax=2，

a2或a1，故选“D”。

点评：本题表面上考查的是二次函数存在反函数的充要条件，而实际上考查的是二次函数的单调性，利用导数进一步求解，这是高考命题的趋势。

2 构造函数利用导数求参数范围

例2、已知函数f（x）=13x3-x2-3x+43，直线l∶9x+2y+c=0若当x∈[-2，2]时，y=f（x）的图像在直线l的下方，求实数c的取值范围。

解：令g（x）=f（x）-（-92x-c2），则g（x）=13x3-x2+32x+43+c2，

g′（x）=x2-2x+32=（x-1）2+12>0

g（x）在[-2，2]上的增函数，最大值为g（2）=3+c2，由3+c2

即实数c的取值范围为（-∞，-6）。

点评：函数y=f（x）的图像在直线l的下方可转化为g（x）=f（x）-（-92x-c2）在区间[-2，2]上的最大值小于0，即把几何图形下的位置关系转化为代数条件，整个解答体现了转化与化归思想。

3 利用恒成立的条件求参数范围

例3、试求实数a的取值范围，使不等式x4-4x3>2-a对任意实数x都恒成立。

解：不等式x4-4x3>2-a恒成立，即2-a

则2-a

只须求出函数f（x）=x4-4x3在R上的最小值即可。

令f′（x）=4x3-12x3=0解得：x1=0，x2=3，

当x

故当x=3时，f（x）的最小值为-27，

2-a29。

点评：通过导数结合恒成立的条件：af（x）在[m，n]恒成立af（x）minaf（x）； 在[m，n]恒成立af（x）max，进一步求得参数的取值范围。

4 利用导数结合极值求参数范围

例4、已知f（x）=23x3-2ax2-3x（a∈R），若y=f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围。

解：设极值点为x0（-1

由f′（-1）·f′（1）14或a

当a>14，f′（-1）>0，f′（1）

在（-1，x0）内f′（x）>0，在（x0，1）内f′（x）

即f′（x）在（-1，x0）内是增函数，在（x0，1）内是减函数，

a>14时，f（x）在（-1，1）内有且只有一个极大值点，

同理可知：当a

当|a|14时，有f′（-1）0，又y=f′（x）图像的对称轴x=a∈（-1，1）

在（-1，1）内恒有f′（x）

故a的取值范围是：（-∞，-14）∪（14，+∞）。

点评：求函数极值的步骤：（1）求导，（2）令f′（x）=0求其根，（3）检验根的左右的符号；若左正右负，则f（x）在这个根处取得极大值；若左负右正，则f（x）在这个根处取得极小值。本题恰当利用极值点存在的条件：极值点左右两侧f′（x）函数值异号求得参数范围。

5 结合三角求参数范围

例5、已知f（x）=4x3-3x2cosθ+132（x∈R）且θ∈[0，π2]，若f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围。

解：f′（x）=12x2-6xcosθ，令f′（x）=0

解得：x1=0，x2=cosθ2，∈[0，π2]，

当cosθ=0时，f（x）=4x3+132在（-∞，+∞）上是增函数无极值

cosθ>0，由f′（x）>0，解得：x>cosθ2或x

当x∈（-∞，0）和（cosθ2，+∞）时，f（x）单调递增，

当x∈（0，cosθ2）时，f（x）单调递减，

当x=cosθ2时，f（x）取得极小值为f（cosθ2），

由f（cosθ2）>0，即-14cos3θ+132>0，

点评：在“知识交汇处”命题是高考的一大亮点，加强对知识的理解与综合是平时训练的一个学习方向。