浅谈数学教学中的一题多解与一题多变

【摘要】在教学实践中，有目的、有计划、适量地进行一题多变训练，有利于活跃思路，锻炼学生思维的灵活性，能够卓有成效地开拓学生的创新思维空间，使学生把所学过的知识融会贯通，使知识系统化，更灵活地运用知识，有利于提高归纳、综合、创新与探究等能力，提升综合素质和综合运用能力。

【关键词】数学 一题多解 一题多变 训练方法

在新课改中，如何真正做到减轻学生负担，提高教学质量呢？不妨灵活采用一题多变，从精练与善思入手。这样可以以一变应万变，触类旁通，既提高了学习效益，又培养了良好的学习习惯与思维品质，让同学们终身受益。

一题之“多”是指：一题多解、一题多变等方法，有目的、有重点地设计基本训练，有助于开拓思路，活跃思维，培养学生的创新能力。现就一题多变题的教学，谈谈自己的想法。

1.一题多解，利于激发学习兴趣

一题多解的题目要具有代表性，能包容大部分所学知识点，不能过于繁难，但也不能流于简单。过难挫伤学生研究学习的积极性，过于简单学生没有兴趣，这一步对激发学生学习、探究的兴趣很重要。

例如，有这样一道题目：甲、乙、丙三位同学合乘一辆出租车同往一个方向，事先约定三人分摊车资，甲在全程的1/3处下车，乙在全程的2/3处下车，丙坐完全程下车，车费共54元。问甲、乙、丙三位同学各付多少车费比较合理？

学生对此车资问题很感兴趣，甲、乙、丙三位同学各付多少车费比较合理，意见很不一致。经过尝试设计了3种方案：第一种方案由甲、乙、丙三人均分，即每人各付18元；第二种方案按路程分摊：甲、乙、丙所乘路程的比为1∶2∶3分别付费9元、18元、27元；第三种方案分段结算：车费共54元，如果按前1/3路程，中间1/3路程和最后1/3路程分别计算车费，则各为18元，开始的1/3路程需付18元，甲、乙、丙各付6元，中间的1/3路程需付18元，则乙、丙各付9元，最后的1/3路程需付18元，由丙承担，这样甲应付6元，乙应付15元，丙应付33元；从上例可以看出，同学们对此题很感兴趣，思维活跃，勇于探究，学习效果很明显。

2.一题多变，利于培养创新与探究能力

2.1 变换题设或结论，即通过对习题的题设或结论进行变换，从多个角度来探究同一个问题，这不仅可以让学生综合运用所学知识点解题，增强学生解题的应变能力，还培养了数学思维的深刻性和广阔性，从而培养创新思维的良好学习品质。

比如，同样对上述问题，我还对该题进行了多种角度的变式讨论，拓宽了学生的思路，活跃了学生的思维。

变换（一）：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点，求证：CEBE.

变换（二）：在梯形ABCD中，AB∥CD，CEBE.，E是AD中点.求证：BC=AB+CD.

变换（三）：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，CEBE.判断E是AD中点吗？为什么？

2.2 变换题型，即将原题改装成新的题型，改变单调枯燥的习题模式，学生解各种类型题的综合能力得以训练，又培养了学生思维的灵活性，有利于学生合作探究与创新能力的培养。例如：一道初三月考题：如图5（略），已知ADE中，∠DAE=120°，B、C分别是DE上的两点，且ABC是正三角形，求证；BC是BD、CE的比例中项。

分析：本题是有探索性的证明题，可引导学生从结论出发找到需证明ABD∽ECA的条件，从而使问题迎刃而解。将此题作为原形进行题型变换如下：

变换（一）：改为填空题，如图5，已知ADE中，B、C分别是DE上两点，∠DAE=120°，且ABC是正三角形，则线段BC、BD、CE满足的数量关系是。

本题从表面上看，是对原题的简单形式变换，而实质上有探究的思想，即需要将BC分别代换为AB、AC，从而归结为找ABD与ECA的关系问题。

变换（二）：改为选择题，如图5（略），已知ADE中，B、C分别是DE上两点，∠DAE=120°，且ABC是正三角形，则下列关系式错误的是（ ）

名为选择题，实为要探究得出图中共有三对相似三角形，从而得知A、B、C选项均正确，选D.

变换（三）：改为计算题，如图5（略），已知ADE中，B、C分别是DE上两点，∠DAE=120°，且ABC是边长为4的正三角形，且BD=2，求CE的长.

仍然要探究出线段BC、BD、CE满足的数量关系，从而转化为“知二求一”的问题。

变换（四）：改为判断题，如图6（略），若图中∠DAE=135°，ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则结论还成立吗？

把问题条件改变，用同样的思想方法探究得出同样的结论，进一步引申了原例的思想方法，拓展了学生的思维空间。

变换（五）：改为开放性试题，如图5（略），已知ADE中，∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点，且ABC是正三角形，则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项？

结论的开放，给学生更多的思考空间，极大地锻炼了学生开放型的数学创新思维能力。

变换（六）：改为综合性试题，如图7（略），在ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y.

（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，并说明理由。

如此变换将相似与函数知识相结合，培养了学生综合探究的能力。

由上述六种题型的变换，把同样的数学思想方法渗透到不同的题型中，既锻炼了学生适应不同题型的能力，又加深了对数学思想方法的理解与运用；不仅激活了学生的思维，还活跃了课堂气氛；看似浪费了时间与精力，实质上触及到了思维与探究的灵魂，能收到事半功倍的效果。

（4）n边形共有多少条对角线？

通过这一系列问题，都可以通过建立同一数学模型来解决，不仅培养了学生归纳整理的能力，而且深化了学生建模思想和应用数学模型的意识，激发了学生学习数学的兴趣。

总之，在教学实践中，有目的、有计划、适量地进行一题多变训练，有利于活跃思路，锻炼学生思维的灵活性，能够卓有成效地开拓学生的创新思维空间，使学生把所学过的知识融会贯通，使知识系统化，更灵活地运用知识，有利于提高归纳、综合、创新与探究等能力，提升综合素质和综合运用能力。