立足圆面向高考

一、切线长定理

从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

【例1】 P是双曲线x2a2-y2b2 =1(a＞0,b＞0)

右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则PF1F2的内切圆圆心的横坐标为 .

A．a B．b C．c D．a+b+c

图1分析:如图1，设内切圆的圆心为I，三个切点分别为R、S、T，则由“从圆外一点作圆的两条切线长相等”，得|PS|=|PR|，|F1S|=|F1T|，|F2T|=|F2R|，所以有|TF1|-|TF2|=|SF1|-|RF2|=（|SF1|+PS）-（|RF2|+PR）=|PF1|-|PF2|.由双曲线的定义，|PF1|-|PF2|=2a，即|TF1|-|TF2|=2a.令切点T的横坐标即圆心I的横坐标为xI，则（c+xI）-（c-xI）=2a，即2xI=2a，xI=a，选A.

二、 对角互补四点共圆

圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.

圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.

图2

【例2】 （全国）已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+y22=1 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与椭圆C交于A、B两点，点P满足OA+OB+OP=0.如图2.

（Ⅰ）证明：点P在椭圆C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

分析:（Ⅰ）令A（x1，y1），B(x2，y2).由直线l：y=-2x+1和x2+y22 =1

得4x2-22x-1=0，则x1+x2=22 ，x1x2=-14 ，从而有y1+y2=-2(x1+x2)+2=1，代入OA+OB+OP=0，得OP=（-22 ，-12 ），即点P（-22 ，-12 ）满足方程x2+y22 =1

，这说明点P在椭圆C上.

（Ⅱ）直线PA的斜率kPA=y1+1x1+22 =-2x1+2x1+22 ，PB的斜率kPB=y2+1x2+22 =-2x2+2x2+22 ，得直线PB到直线PA的角的正切值tan∠BPA=kPA-kPB1+kPA?kPB =3(x2-x1)3x1x2-322 (x1+x2)+92 =4（x2-x）3 .同理，直线QA到直线QB的角的正切值tan∠AQB=kQB-kQA1+kQB?kQA =x2-x3x1x2-22 (x1+x2)+12

=

-4(x2-x1)3，

得tan∠BPA=-tan∠AQB，∠BPA与∠AQB互补，这说明A、P、B、Q四点共圆.

三、切割线定理

定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

若从圆外一点P引圆的两条割线PAB、PCD，若PA?PB=PC?PD，则A、B、C、D四点共圆.逆命题也成立.

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

【例3】 （海南）如图3，D、E为ABC的边AB、AC上的点，且不与ABC的顶点重合.已知AE=m，AC=n，AD、AB是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.

（Ⅰ）证明：C、B、D、E四点共圆；

（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C、B、D、E所在圆的半径.

图3 图4

分析:（Ⅰ）由已知，AE?AC=mn=AD?AB，即ADAE=ACAB.

又∠DAE=∠CAB，得ADE∽ACB，∠ADE=∠ACB.

又∠ADE+∠BDE=π，

所以∠ACB+∠BDE=π，得C、B、D、E四点共圆.

（Ⅱ）设C、B、D、E四点所在的圆为I，则BD、CE为圆I的两条弦，圆心I即为弦BD的垂直平分线MI、CE的垂直平分线NI的交点，如图4.

由于∠A=90°，得矩形AMIN，且MI=5，NI=7，MB=5，得半径IB=52.

四、圆周角定理及其推论

圆周角定理：弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论:半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

图5

【例4】 （山东）设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a,b＞0)过M（2，2），N（6,1）两点，O为坐标原点，如图5.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且以线段AB为直径的圆恒过原点？

分析:（Ⅰ）椭圆E的方程：x28+y24=1.

（Ⅱ）假设存在满足条件的圆x2+y2=R2，过该圆上任一点P（x0，y0）的切线AB为x0x+y0y=R2.

设A（x1，y1）、B（x2，y2）.“以线段AB为直径的圆恒过原点”等价于“圆周角∠AOB为直角”，即OA?OB=0，即x1x2+y1y2=0.①

把x0x+y0y=R2代入椭圆E：x2a2 +y2b2 =1

，

得（a2x20+b2y20）x2-2a2R2x0x+a2R4-a2b2y20=0，

x1x2=