第一讲 数与式

数与式的内容包括：实数的有关概念及其运算、代数式、整式、分式以及二次根式?郾 在中考数学试卷中，一般有4~6道题，分值所占比例在10%~15%?郾 现以2011年中考题为例，对这部分内容作归类解析?郾

考点1 正数、负数及其应用

例1 （2011年贵阳卷）如果“盈利10%”记为+10%，那么“亏损6%”记为（ ）?郾

A?郾 -16%?摇?摇 B?郾 -6%?摇?摇 C?郾 +6%?摇?摇 D?郾 +4%

分析：正数和负数可以表示一对相反意义的量，“盈利”和“亏损”是一对相反意义的量，既然盈利用正数表示，那么亏损就用负数来表示，后面的百分比的值不变，即-6%?郾 选B?郾

温馨小提示：用正数和负数表示相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯上把“前进、上升、收入、零上温度等”规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度等”规定为负?郾

考点2 实数的分类

例2 （2011年滨州卷）在实数π、■、■、sin30°中，无理数的个数为（ ）.

A?郾 1?摇 B?郾 2?摇 C?郾 3 D?郾 4

解：sin30°=■，所以只有π和■是无理数?郾 选B?郾

温馨小提示：一个实数不是有理数，就是无理数?郾 而初中阶段常见的无理数有以下三种类型：

（1）带根号且开方开不尽的方根，如■、■等；

（2）像循环但是不循环的无限小数，如0?郾30300300030000…（两个3之间依次多一个0）；

（3）含有π的数，如2π，π+3，5π-1等?郾

考点3 相反数、倒数、绝对值

例3 （2011年益阳卷）-2的相反数是（ ）?郾

A?郾 2?摇?摇 B?郾 -2?摇?摇 C?郾■?摇?摇 D?郾-■

解：只有符号不同的两个数叫做互为相反数?郾 选A?郾

例4 （2011年长沙卷）|-2|等于（ ）.

A?郾 2?摇?摇 B?郾 -2?摇?摇 C?郾■?摇?摇 D?郾 -■

解：选A?郾

例5 （2011年泰州卷）-3的倒数为（ ）?郾

A?郾 -3?摇?摇 B?郾■?摇?摇 C?郾 3?摇?摇 D?郾 -■

解：选D.

温馨小提示：相反数、倒数、绝对值是中考常见题.

考点4 近似数、有效数字与科学记数法

例6 （2011年北京卷）我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人?郾 将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ）?郾

A?郾 66?郾6×107?摇?摇 B?郾 0?郾666×108?摇?摇 C?郾 6?郾66×108?摇?摇 D?郾 6?郾66×107

解：665 575 306=6?郾655 753 06×108≈6?郾66×108?郾 选C?郾

温馨小提示：科学记数法与近似数（有效数字的确定）是历年中考的热点，在确定a×10n中n的值时，不要数错了整数位和0的个数?郾 近年来将带单位（万、亿）的数改写成科学记数法的题比较常见. 当近似数所要保留的数位较大时，一般先写成科学记数法的形式，然后再按要求取近似值?郾

考点5 数轴及实数大小的比较

例7 （2011年贵阳卷）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）?郾

A?郾 2?郾5?摇?摇 B?郾 2■?摇?摇

C?郾 ■?摇?摇 D?郾 ■

解：由勾股定理可知，OB=■=■. 选D?郾

温馨小提示：实数和数轴是一一对应的关系，比较实数大小的方法有两种：（1）利用数轴比较实数的大小时，在数轴上右边的数总比左边的数大；（2）根据数的性质比较大小时，正数都大于0，负数都小于0，两个正数比较，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小?郾

考点6 平方根、算术平方根、立方根

例8 （2011年毕节卷）■的算术平方根是（ ）?郾

A?郾 4?摇?摇 B?郾 ±4?摇?摇 C?郾 2?摇?摇 D?郾 ±2

解： ■=4，4的算术平方根是2?郾 选C?郾

例9 （2011年河南卷）27的立方根是 ?郾

解： 33=27， 27的立方根是3?郾

温馨小提示：熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的概念是解这类题的关键. 在例8中，谨防出现选A或B的错误.

考点7 实数的混合运算与估算

例10 （2011年桂林卷）计算：（■+1）0-2-1-■tan45°+ |-■|?郾

解：原式=1-■-■×1+■=■?郾

例11 （2011年徐州卷）估计■的值（ ）?郾

A?郾 在2到3之间?摇?摇 B?郾 在3到4之间

C?郾 在4到5之间?摇?摇 D?郾 在5到6之间

解：因为9＜（■）2＜16，故3＜■＜4?郾 选B?郾

温馨小提示：实数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 实数运算往往考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值?郾 零指数幂：a0=1（a≠0），负整数指数幂：a-p=■（a≠0，p为正整数）?郾 估算常常要利用完全平方数?郾

考点8 列代数式

例12 （2011年岳阳卷）将边长分别为■，2■，3■， 4■，…的正方形的面积记作S1，S2，S3，S4，…，计算S2-S1，S3-S2，S4-S3，…，若边长为n■（n为正整数）的正方形面积记作S■，根据你的计算结果，猜想Sn+1-Sn=?摇 ?郾

解：第n项的边长为n■，第n+1项的边长为（n+1）■，则Sn+1=2（n+1）2，Sn=2n2，则Sn+1-Sn=2（n+1）2-2n2=4n+2?郾

温馨小提示：解这类题，需要观察、归纳、验证才能得出结果?郾

考点9 整式的运算

例13 （2011年桂林卷）下列运算正确的是（ ）?郾

A?郾 3x2-2x2=x2?摇?摇 B?郾 （-2a）2=-2a2

C?郾 （a+b）2=a2+b2?摇?摇 D?郾 -2（a-1）=-2a-1

解：选A?郾

温馨小提示：灵活运用平方差公式、完全平方公式和整式的运算法则是解这类题的关键.

考点10 因式分解

例14 （2011年随州卷）分解因式8a2-2= ?郾

解：原式=8a2-2=2（4a2-1）=2（2a＋1）（2a-1）?郾

温馨小提示：分解因式的步骤是“一提二套”，若有公因式，先提取公因式，再套用公式分解，要分解到不能再分解为止?郾

考点11 分式的值为零与分式无意义

例15 （2011年杭州卷）已知分式■，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有 个?郾

解：当x=2时，分式可化为■，当a-6=0，即a=6时，分式无意义；当x2-5x+a=0时，分式无意义，由于该方程?驻=25-4a，当a＜6时，?驻=25-4a＞0，所以可以取到两个x的值，使得x2-5x+a=0?郾

答案：6，2?郾

温馨小提示：分式有意义，则分母不等于0；分式无意义，则分母等于0；分式的值为0，则分子为0且分母不等于0?郾

考点12 非负数的性质

例16 （2011年达州卷）若■+b2+2b+1=0，则a2+■-|b|= ?郾

解： ■+b2+2b+1=0，即■+（b+1）2=0，

a2-3a+1=0，b+1=0.

a+■=3，即a2+■=7，b=-1?郾

a2+■-|b|=7-1=6?郾

温馨小提示：几个非负数的和为零，这几个数都为零?郾

考点13 分式的化简求值

例17 （2011年娄底卷）先化简：（■+■）÷■?郾 再从1，2，3中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值?郾

解：原式=■・■

=■・■=■?郾

a≠1，a≠-1，a≠0，

在1，2，3中，a只能取2或3?郾

当a=2时，原式=■?郾 当a=3时，原式=■?郾

注：在a=2，a=3中任选一个算对即可?郾

温馨小提示：化简分式，再选取合适的值代入时一定要注意分式有意义，不能取使分母等于0的值?郾 ■