比例再保险临界比例研究

摘要：根据保险人保险定价的效用方程，分别讨论了直线型效用函数、抛物线型效用函数下，比例再保险的临界比例。

关键词：比例再保险；直线型效用函数；抛物线型效用函数；临界比例

中图分类号：TB

文献标识码：A

文章编号：16723198（2013）01018701

1引言

再保险又称为分保，是保险人将其承担的部分或者全部风险责任转交给其它保险公司。即保险人向再保险公司支付一定的保费，与再保险人一起承担约定的风险索赔。每个保险公司的风险承受能力都是有限的，通过合理的再保险可以达到分散风险的目的，从而可以增大自己的承保规模，扩大经营范围。常见的再保险函数有比例再保险函数和停止损失再保险函数，比例再保险是指保险人和再保险人双方按照约定的比例分担风险，停止损失再保险是无论风险如何，原保险人均承担既定的自留风险。本文主要考虑比例再保险合同。

再保险始终有两个问题需要讨论，一是衡量再保险合同的最优标准，设X为原风险，R（X）为分出风险。文献[1]提出使原保险人签订再保险合同后所剩风险的方差最小，即D2（X-R）最小为最优，也有一些学者提出截发差E|X-R（X）-E（X-R（X））|最小为最优。本文以效用最大作为再保险合同的衡量标准，与风险最小相对应，我们希望找出效用最大的再保险合同。整篇论文中，我们引进一个更普通广泛的测量效用的方式，用u：RR+来衡量效用的的大小，使得保险人的效用最大。假设原保险人初始资金为w，P表示合同R的价格，则经过再保险后原保险人的剩余资金为w-X+R（x）-P。则效用测量表述为：

再保险的定价是保险决策中的一个重要问题，合理的再保险定价关系到保险公司的长期发展，令P表示合同R的价格，原保险人准备用P数目的资本购买再保险合同R，文献[2]研究了在π（R）=（1+β）ER（X）价格准则下，原保险人方差风险最小的情况。文献[3，4]讨论了在Wangs保费计算原理下，购买再保险后剩余风险的期望效用最大的最优再保险问题。文献[5]分析了签订停止损失再保险合同后，原保险人剩余风险的方差最小的最优停止损失再保险。常见的保费用计算原理有：

期望值计算原理P=（1+β）ER（X）。

（1）标准差计算原理P=ER（X）+βDR（X）。

（2）方差计算原理P=ER（X）+βD2R（X）。

（3）混合计算原理P=ER（X）+βD2R（X）/ER（X）。

（4）修改的方差计算原理P=ER（X）+αD（R（X））+βD2R（X）/ER（X）。

（5）二次效用计算原理P=ER（X）+γ-

2效用函数下的再保险分析

假设决策者为风险厌恶者，即它的效用函数满足，u′（x）>0，u′（x）

W+G1-G2-（1-α）X=W+（1+β）EX-（1+β）αEX-（1-α）X=W+（1-α）[（1+β）EX-X]

则购买过再保险后保险人的剩余资本为一随机变量，因此我们利用该随机变量效用函数的期望为衡量标准，即

U（R）=Eu（W+（1-α）（1+β）EX-X）

则对保险人来说，合理的再保险函数的比例应满足不等式

Eu（W+（1-α）（1+β）EX-X）≥u（W）

即购买再保险后剩余资金的效用期望应该大于等于最初资本的效用，次次再保险才有意义可言。效用期小到使等号成立时，再保险已无任何吸引力，我们将使得上式等号成立的临界值，称为临界再保险比例。

3主要结果

本文采取常用的直线型效用函数、抛物线型效用函数，在上述三种效用函数下，给出比例再保险函数的临界比例。

定理1：

设保险人的效用函数是直线型效用函数，u（x）=αx+b，则比例再保险的临界比例为1。

证明

购买比例再保险后，保险的资本效用为

Eu（W+（1-α）（（1+β）EX-X）=E[α（W+（1-α）（（1+β）EX-X）+b]

=αW+αβ（1-α）EX+b

u（W）=αW+b

联立两式得：α=1

定理1说明，对于风险中立的人来说，应该把所有的风险投分给再保险人。

定理2：

证明

购买比例再保险后，保险的资本效用为

Eu（W+（1-α）（1+β）EX-X）=E[W+（1-α）（（1+β）EX-X）]-hE[W+（1-α）（（1+β）EX-X）]2

=W+（1+α）βEX-hw2-2h（1-α）（1+β）WEX-h（1-α）2（1+β）2（ex）2-

2hw（1-α）EX-2h（1-α）2（1+β）（EX）2+h（1-α）2EX2

u（W）=W-αW2

联立两式得下列方程：

βEX-2h（1+β）WEX-h（1-α）（1+β）2（EX）2-2hWEX-2h（1-α）（1+β）（EX）2+h（1-α）EX2=0

解方程得

4结束语

本文购买比例再保险进行分散风险的前提下，讨论了直线型效用函数、抛物线型效用函数下，给出了比例再保险的临界比例，对再保险进行了分析，为保险公司制定有关政策提供理论支持。效用函数下的临界问题还有再保险定价的临界问题、再保险投资的临界问题、停止损失再保险函数的自留风险的临界问题等，将在下一步的工作中进行研究。

参考文献

[1]Pesonen， M.L. Optimal reinsurances [J].Scandinavian Actuarial Journal，1984，（84）：6590.

[2] Hurlimann， W.Nonoptimality of a linear combination of proportional and nonproportional reinsurance.Insurance： Mathematics & Economics， 1999， （24）： 219227.

[3]Kaluszka， M.Optimal reinsurance under meanvariance premium principles[J].Insurance：Mathematics and Economics，2001，（28）：6169.

[4]程兰芳.确定最优比例再保险决策模型研究[J].管理科学，2003，16（3）：4345.

[5]Centeno， M.L. Measuring the effects of reinsurance by the adjustment coefficient in tthe Sparre Anderson Model[J].Insurance： Mathematics and Economics， 2002， （30）：3750.