对《一个长方体最多能切割成多少个小正方体》的教学思考

摘 要：在四年级下册长方体和正方体的体积单元测试中，有这样一个问题：一个长方体空盒，长8 cm，宽6 cm，高12 cm，最多可以放（ ）个棱长4 cm的小正方体。同类型的题目已经讲解练习过，但本次依然有部分学生给出如下答案：（8×6×12）÷（4×4×4）=9（个），而正确的应该是：8÷4=2（个），6÷4≈1（个），12÷4=3（个）2×1×3=6（个）。反思整个过程，把一个长方体切割成若干个正方体，想让学生明白如果长、宽、高都是棱长的整数倍，两种方法解决：方法一，大体积÷小体积；方法二，用长、宽、高分别除以棱长，再把得数相乘。但只要有一个量不是棱长的整数倍，只能使用方法二，并且是去尾型。在处理练习十四的第7题时（同类型问题），通过尝试，使用了大半节课解决这个问题。但课后练习依然反映出不小的问题。

关键词：长方形；问题；整数

一、问题类型

在景山教材四年级下册部分，一个长方体最多能切割成多少个小正方体的问题，具体举一例：

有一块长方体木料（长30 cm，宽20 cm，高10 cm），要把这块木料截成棱长为5 cm的正方体木块，能截多少块？如果长方体木料的长是28 cm，宽和高不变，要截成棱长为5 cm的正方体木料，最多能截成多少块？

二、成因分析

统观一年级至四年级的景山教材，涉及内容及其所在阶段整理如下：

二年级上册：6只袜子，每2只一双，一共有多少双？把25块月饼，每6块装一盒，能装几盒？还剩几块？一捆绳子共长36米，一根跳绳长5米。最多可以剪成几根这样的跳绳？

四年级下册：有一块长方体木料（长30 cm，宽20 cm，高10 cm），王师傅要把这块木料截成棱长为5 cm的正方体木块，能截多少块？如果长方体木料的长是28 cm，宽和高不变，那么要截成棱长为5cm的正方体木料，最多能截成多少块？

整个环节跳跃性太大。二年级上册对于除法意义的安排都相当细致，而基础和重点的去尾型也有一定的篇幅，有利于学生夯实基础。而疑惑的是三年级上册长方形和正方形的面积章节中，却没有此类问题。然后直接进入四年级下册，三维的情况。可见，如果照本宣科，大多数学生存在二维的缺失，知识链的脱节。这是问题一。

从二年级上册至四年级下册，一下子跳跃四个学期，虽然之间有零星练习，但始终是凤毛麟角。二年级下册除数是一位数的除法单元中，练习了进1型，未见去尾型踪影。三年级上册长方形和正方形的面积单元中，没有内容让学生见识到问题在面积中的运用。

辩证地看，学生在计算单元中的目标是掌握计算技巧，并将之迁移至实际问题中。且还需接触一些新类型的解决问题。

针对以上问题，可以这样处理：首先，补充二维内容，一是保持知识连续性，二是二维操作比三维简单，学生通过实际操作，能充分理解。其次，巧用相应内容增加练习机会。最后，内容针对学生实际情况，协调代数练习和几何练习，难度适中。具体操作如下：

二年级上册维持原样，三个内容层层递进。

二年级下册除数是一位数的除法单元中出示类似练习：803个包子，每人3个，最多可以分给多少人？

三年级上册长方形和正方形的面积单元中，设计如下大长方形分割成一些小正方形的练习：

（1）有一张长6 cm，宽4 cm的长方形纸，用它剪边长2 cm的正方形，能剪出几个？

这里要充分展示两种方法，方法一是大面积÷小面积，方法二是将长和宽分别平均分。

（2）如果长方形纸的宽是3 cm，其他条件和要求不变，最多能剪出几个正方形？（应该说明的是，学生可能依然采取上述两种方法：

方法一：（6×3）÷（2×2） 方法二：6÷2=3（个）

=18÷4 3÷2≈1（个）

≈4（个） 3×1=3（个）

两种方法产生矛盾，鉴于学生的实际水平，他们只能通过操作活动得出结论进行验证，而无法从理论上进行完整的推理证明。

操作发现方法一是错误的，对比两小题，得出结论：大面积÷小面积的方法有局限性，方法二比较通用，遇到问题先分析，再动笔。

三年级下册第一单元除法中可以继续使用购物情境，也可以增加一题几何类型的练习。

四年级上册小数除法单元，在商的近似数小节或单元练习中加入一题二维综合练习，再次把有余数的、没有余数的两类对比，学生可以独立解决。

学生通过实验，而后便能灵活解决以下两类：

1.一个长方体空盒，长8 cm，宽6 cm，高12 cm，最多可以放（ ）个棱长4 cm的小正方体。

2.用两种方法解决：一块橡皮长4 cm，宽3 cm，厚1 cm，现有一个盒子，从里面量长16 cm，宽9 cm，高5 cm。这个盒子最多能放多少块橡皮？

整个过程把大立体分割成小正方体的问题由三维倒推至二维、一维，逐个击破，打好基础，循序渐进的教学练习，螺旋上升。避免囫囵吞枣导致一题练习难倒一个班，一个类型反反复复，收效甚微的尴尬局面。

（作者单位 苏州相城实验小学）