正方体的涂色问题――探索规律

教学目标：

1、 通过操作、观察、想象、抽象概括等活动，激发学生探索规律的欲望，体验数学活动充满探索与创新。

2、获得一些研究数学问题的方法和经验,加深对相关数学知识的理解。

3、 经历特殊到一般的过程,体会数学与生活的联系，感受归纳的数学思想,掌握找规律的方法与步骤。

教学难点：找出涂色不同的小正方体个数以及它所在位置规律。

教学重点：找出涂色不同的小正方体个数以及它所在位置规律。

教学准备：若干各小正方体、演示课件

教学过程：

一、复习

出示正方体：看到这个形体你能想到什么？

（启发学生说说正方体的特征）

二、激趣导入，引出新课：

1、这是一个棱长是3个长度单位的正方体，在它的每个面上都涂上绿色。再把它切成棱长是1个长度单位的小正方体。展示给大家看，演示散落。

（教师演示，学生观看）

2、你能把它恢复原状吗？小组比赛3分钟完成。

（师生同时一起各自进行还原，把已经散落的正方体恢复原状）

3、知道老师为什么能很快把它还原吗？

师：因为老师知道他的规律

三、新授

涂色的小正方体的个数以及它所在的位置是有规律的，这节课我们就来研究正方体的涂色问题。

（一）出示学习要求：

1、观察组内的小正方体，涂色的有几面分几种情况。

2、出示统计表

3、棱长是3个长度单位可以看做是棱长3厘米的正方体，各个涂色面的小正方体又有多少个呢？小组合作看那个小组数的又快又准。

4、填表并观察数据猜想涂色面的小正方体与什么有关？它们分别在大正方体的什么位置？

（二）探索规律：

探索一：把一个正方体表面涂上颜色.把正方体的棱二等分,然后沿等分线把正方体切开.

1、可以得到几个小正方体?

2、其中三面涂色的有几个?

3、两面涂色的有几个?

4、一面涂色的有几个?

5、各面都没有涂色的有几个? 讨论后,把结果填下表：棱长为2的正方体

探索二：把一个正方体表面涂上颜色.把正方体的棱三等分,然后沿等分线把正方体切开.

1、可以得到几个小正方体?

2、其中三面涂色的有几个?

3、两面涂色的有几个?

4、一面涂色的有几个?

5、各面都没有涂色的有几个? 棱长为3的正方体

讨论电脑验证,把结果填入表格。

涂三个面的小正 涂两个面的小正 涂一个面的小正

方体所在的部位 方体所在的部位 方体所在的部位

探索三：把一个正方体表面涂上颜色.把正方体的棱四等分,然后沿等分线把正方体切开.

1、可以得到几个小正方体?

2、其中三面涂色的有几个?

3、两面涂色的有几个?

4、一面涂色的有几个?

5、各面都没有涂色的有几个?

讨论后把结论填入表格。 棱长为4的正方体

涂三个面的小正 涂两个面的小正 涂一个面的小正

方体所在的部位 方体所在的部位 方体所在的部位

思考:你是怎样有条理的思考的?

探索四：把一个正方体表面涂上颜色.把正方体的棱五等分,然后沿等分线把正方体切开.

1、可以得到几个小正方体?

2、其中三面涂色的有几个?

3、两面涂色的有几个?

4、一面涂色的有几个?

5、各面都没有涂色的有几个? 棱长为5的正方体

涂三个面的小正 涂两个面的小正 涂一个面的小正

方体所在的部位 方体所在的部位 方体所在的部位

探索五:把一个正方体表面涂上颜色.把正方体的

棱六等分,然后沿等分线把正方体切开.

1、可以得到几个小正方体?

2、其中三面涂色的有几个?

3、两面涂色的有几个? 棱长为6的正方体

4、一面涂色的有几个?

5、各面都没有涂色的有几个?

涂三个面的小正 涂两个面的小正 涂一个面的小正

方体所在的部位 方体所在的部位 方体所在的部位

探索六：把一个正方体表面涂上颜色.把正方体的棱n等分,然后沿等分线把正方体切开.

1、可以得到几个小正方体?

2、其中三面涂色的有几个?

3、两面涂色的有几个?

4、一面涂色的有几个?

5、各面都没有涂色的有几个?

（三）师生共同归纳一般规律：

首先我们来看第一个小问题：

1、三面涂色的小正方体有多少个？

这个问题假如我们从正方体的顶点来看就很简单，三面都涂色的小正方体只出现在未分割的大正方体的顶点上，而正方体又只有8个顶点，所以三面涂色的小正方体分布在分割后的大小正方体的8个顶点上，三面涂色的小正方体都有8个。

2、其次我们来看第二个问题：

两面涂色的小正方体有多少块？

这个问题我们可以从正方体的棱来考虑，我们从图中可以看出只有处在每条棱上的（顶点除外）小正方体是两面都涂色的。所以两面涂色的小正方体有（n－2）×12个。（这里的n是表示把棱长平均分成的份数，减去2，是把顶点上的三面涂色的去掉；12是棱的条数。）。

3、再次我们来看第三个问题：

一面涂色的小正方体有多少块？

这个问题我们可以从正方体的面来考虑，我们可以从图中看到：只有处在每个面中央的小正方体是一面涂色的（中央：把处在顶点和棱上的小正方体都去掉所剩下的小正方体）。每个面一面涂色的正方体的个数是（n－2）×（n－2），整个正方体六个面只有一面涂色的正方体的个数是就是（n－2）2×6个。

4、最后我们来看第四个问题：

六面都不涂色的小正方体有多少块？

所有六面都不涂色的小正方体就是原来的大正方体去掉外面一层小正方体后，包裹在里面的正方体。包裹在里面的六面都不涂色正方体的棱长是（n－2），分割后所有六面都不涂色的小正方体小正方体的个数是：（n－2）×（n－2）×（n－2）个。

四、课堂小结：

同学们真了不起，自己发现了这么重要的数学规律。我们一起来回忆一下：三面涂色的小正方于大正方体的（ ），正方体一共有（ ）个；两面涂色的小正方于大正方体的（ ），一共有（ ）个；一面涂色的小正方于大正方体的（ ），一共有（ ）个；没有涂色的小正方于大正方体的（），一共有（ ）个。

师生共同总结：

（1）三面涂色的小正方体的块数就是顶点的个数8个。

（2）两面涂色的小正方体的块数＝(n－2)×12个；

（3）一面涂色的小正方体的块数＝（n－2）2×6个；

（4）六面都不涂色的小正方体的块数＝（n－2）3个。