浅谈数学教学中数学思想方法的渗透

摘要：数学课程标准指出：数学思想是对数学理论的本质的认识，而数学方法则是其数学理论的具体化。它是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一。学生只有理解了数学思想，才能有效地运用这些理论解决数学问题、进行数学思维。

关键词：数学思想；数学方法；渗透

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）05-0118-03

数学知识是指“数学中的概念、性质、法则、公式、公理以及由其内容反映出来的数学思想和方法”。属于基础知识范畴的数学思想方法是数学素养的重要内容之一。学生只有理解了数学思想，才能有效地运用数学理论解决数学问题、进行数学思维。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地探究、发现、总结、渗透数学思想方法。

一、运用“转化-求解”的思想方法，提高学生解决数学问题的能力

所谓“转化-求解”是指把遇到的各种数学问题，通过归类转化成某类比较简单或者已经掌握解决方法的问题中去，最终使问题得到简化或已知化从而轻易解决的一种思想方法。这是解决科学问题的一种常用的基本思路，即把“不熟悉”的问题改为“熟悉”，这种数学思想在数学教学过程中经常使用。

例如：在教材《复数代数形式的加减法运算及其几何意义》一节内容中，实际上教材是通过“思考：复数是否有减法？如何理解复数的减法？”形式使学生类比实数集中减法的意义，在自主探究过程中，让学生经历把复数的减法转化为加法的过程，体验、学会并熟悉“转化―求解”的思想方法。值得注意的是这个地方虽然很简单，但我们不能因为简单而忽视它，实践告诉我们往往是越简单浅显的例子越能引来人们的认同，所以我们不能错过这一绝佳的提高学生的思维品质的机会。再如教材必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》空间直线和平面的位置关系一节中，教材按照平面、空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系，空间中平面与平面的位置关系顺序编排。前面第一小节的内容是后面内容的依据，后面内容既巩固了前面的内容，又发展和推广了对前面内容的认识。在过程上是让学生经历从平面到空间、空间与平面互相转化的活动过程，从而形成了一个关于空间直线与平面位置关系的知识体系。这就要求我们必须在授课过程中注意图形的化归思想渗透。因为大部分学生在初中时就积累一定的感性处理方法，因此我们要注意的是将其上升为理论高度，甚至于作出一般性的总结：高中对空间问题的研究经常借助或转化为平面问题来解决。“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，而这种转化又是空间图形中解决许多问题的一种重要思想方法。又如解决二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题中，将问题转化为考察直线斜率一定时，在满足约束条件下，直线在y轴上截距的最大或最小值。

二、渗透数形结合的思想方法，提高学生迁移思维的能力

数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这是在强调数形结合的重要性。数形结合思想表现在由数到形和由形到数两个方面：把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化。

在教材《集合》里面用韦恩图来表示集合，就是最简单的数形结合思想的体现，结合韦恩图表示集合，能帮助学生清晰地看出集合的元素，准确地看出元素与集合的关系，以及进行多个集合间的运算。

例1：设全集U={x|0＜x＜10，x∈N*}，若A∩B={3}，A∩CUB={1，5，7}，CUB∩CUA={9}，求A，B。

分析：本题关系较为复杂，由推理的方法较难，而用韦恩图，则显得简捷。

解：由U＝{1，2，3，…，9}，根据题意，画韦恩图，如下图，易得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}

容易发现，把图形和数量结合起来的解题，可以使一些纷繁无绪、难以上手的问题获得简解。

数形结合思想的渗透不能简单地通过解题来实现和灌输，应该落实在课堂教学的学习探索过程中，如在《单调性与最大（小）值》这节课，先观察具体函数的图像，描述图像特征：从左至右看图像呈上升（下降）趋势；后结合相应的数值表，用日常描述性语言描述函数特征。把一个抽象的函数的概念，化为直观的几何形象。在这种情况下引进数学符号，用形式化的语言描述函数性质。特别地指出：函数的单调性对定义域的某个区间而言的。这样显得自然亲切，水到渠成。同时也让学生在数形结合的思想方法的引领下感受到了成功，初步领略和尝试了它的功用，是一个非常好的渗透背景。

又如，教材《平行线分线段成比例定理》中我们遇见这样的问题：已知AB、CD为梯形ABCD的底，对角线AC、BD的交点为O，且AB=8，CD=6，BD=15。求OB、OD的长。

这个题目的呈现方式是图形式，而设问内容却是一个数量问题。如果学生不画图，则不易得到其数量关系，但学生只要把图画出，其数量关系就一目了然。此题的出题意图即为数形结合的体现。

例2：已知|z1|=1，z2=2+i，求（|z1-z2|）max。

在这题的教学中，可以先让学生思考|z1|=1（圆心在原点，半径为1的单位圆的圆周），z2（在复平面上对应点的坐标是（2，1））及|z1-z2|（两复数对应点的距离）的几何意义分别是什么，而后在复平面上画出图形，根据图形易得结果。这就是典型的把数量问题转化到图形中来完成的题型。

三、渗透分类讨论的思想，培养学生全面观察事物、灵活解决问题的能力

在解答某些数学问题时，对各种情况加以分类讨论，并逐类求解，得出各种情况下的结论，然后综合总结，这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想。教材对于分类的渗透是一直坚持而又明显的。比如在《指数函数》研究指数函数的底数分为大于1与大于0小于1两类；在《等比数列》求前n项和中分公比等于1与不等于1两种情况；而在“立体几何”中，用分类讨论思想进行了角的分类，点、线、面间位置关系的分类。在功用上这种思想方法可以避免漏解、错解，而在学生的思维品质上则有利于培养学生逻辑思维严谨性。

在教材中有这样一道题：半径分别为1和2的两圆外切，作半径为3的圆与这两个圆均相切，一共可作几个？

分析：半径为3的圆与这两个圆均相切有三种情况：①与两圆均外切时，有2个；②一圆外切一圆内切时，有2个；③与两圆均内切时，只有1个。共5个圆。这个题目能很好地体现分类思想，在平时的教学与训练中，要多通过这类题目的解答，渗透分类讨论的思想。

四、渗透方程思想，培养学生数学建模能力

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

例：判断直线l1：3x+y-4=0与l2：6x-2y-1=0的位置关系。

分析：写出这两条直线的方程，然后联立求解：若得唯一解，两直线相交；若无解，两直线平行；若方程一样，则两直线重合。

新课标教材着重强调对实际问题的数量关系的分析，突出解决问题的策略。这就要求我们注意方程思想方法的渗透。授课中可以引导学生借助示意图来分析题意，寻找已知量和未知量的关系。而它们之间的那个相等关系实际上就是方程模型，只要能把相应的各个量带入方程模型，问题就能得到解决了。在新课标教材中还蕴涵着其他的一些常用的数学思想方法。比如：有限与无限思想、整体思想、归纳推理思想、或然与必然思想等。这些都要求我们在教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，使学生有清晰的印象；同时还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，这们才能把数学思想方法的教学落在实处。

数学思想方法是数学的精髓，掌握数学思想方法是学生必须具备的基本素质之一，能否掌握住“双基”，反映出是否有清晰的数学思想方法。在教学过程中，对知识内容反映出来的数学思想方法进行充分挖掘，设计数学思想方法的教学目标，结合教学内容适时渗透、及时总结、反复强化，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。

参考文献：

[1]谢祥.数学方法论在数学教学教育中的应用[M].西南交通大学，2009.

[2]沈文选.数学思想领悟[M].哈尔滨工业大学出版社，2008.

[3]徐有标.用数学思想方法速解高考题[M].中国青年出版社，2009.