弹性碰撞迭加性的证明及应用

摘要： 通过引进一个惯性参考系证明弹性碰撞迭加性的成立，提出了用迭加性把动碰动转化成两个动碰静的方法，应用该方法计算两个小球发生两次碰撞质量比的取值范围。基于该种方法构建了其计算模型，简化了弹性碰撞中动碰动问题的复杂性，通过这种方法简化了计算的难度，增强了计算的准确性和速度。

Abstract: Through introducing the inertial reference system, the article proved the additivity of elastic collision, and pointed out the method of converting movement-movement collision to two movement-static collisions and to evaluate the range of mass ratio after the secondary collision of two balls. And then, based on the method, the computing model is built, which simplifies the movement-movement collision in elastic collision. It simplified the calculating difficulty, strengthened the computational accuracy and speed.

关键词： 弹性碰撞；迭加性；公式；应用

Key words: elastic collision；additivity；formula；application

中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）23-0249-02

0引言

在物理教学中，弹性碰撞问题是个重点，同时也是一个难点。但许多学生对此类问题的计算感到非常棘手。这方面已有很多学者做过研究，路峻岭[1]等对超弹性碰撞演示实验的最佳工作条件进行了分析，研究表明，当大球和小球的质量比为3时可以达到最佳的实验效果。任才贵[2]详细讨论了碰撞过程中两小球的相互作用、变形及能量交换过程，对比完全弹性碰撞、一般非弹性碰撞和完全弹性碰撞中的变形及能量变化特点，引入弹性度的概念，给出弹性度与恢复系数的对应关系，给出了碰撞的一种新解法。汤金武[3]活用“一静一动”弹性碰撞速度公式。吕梦雅[4]等提出了动态约束法限制弹簧的可伸长长度，基于该约束模型还构建一种不需要更新的层次包围球，加快自碰撞检测。于正荣[5]对几则“碰撞问题”进行了推证。顾江鸿[6]等分析了几种超弹性碰撞多次连续碰撞的过程，以期对照弹性碰撞的进一步理解。杨波[7]等探讨一种不必列出二次方程组的方法，用该方法可以很方便地解决弹性碰撞的有关问题。张月红[8]探究了“弹性碰撞”方程的通解。孙安媛[9]等突破了关于完全非弹性碰撞的一种思维定势，引入了两种赝回复系数。齐鲁祥[10]等介绍一种用完全弹性碰撞推导相对论动量公式的简法，在推导中始终未涉及质速关系。不同学者的研究角度不同，所得出的研究结论仍存在有分歧。但是，对于弹性碰撞问题迭加性的问题很少有文献论述，笔者认为，通过验证弹性碰撞问题迭加性规律成立。就可以把一个复杂的动碰动的问题转变成两个简单的动碰静的迭加。从而达到化繁为简，化难为易，减少计算量，提高计算的准确度的目的。

1弹性碰撞迭加性的证明

以两个大小相同的小球的弹性碰撞为例。有甲乙两个大小相同的小球在光滑的水平桌面发生弹性碰撞正碰，碰前碰后两小球速度在同一直线上。甲小球的质量为m1，初速度为v10，末速度为v11；乙小球的质量为m2，初速度为v20，末速度为v21。

分析整个碰撞过程，两小球组成的系统水平方向不受外力，所以在水平方向上两小球组成的系统动量守恒。以又因为是弹性碰撞，碰撞过程中相互挤压时，部分动能转化为弹性势能，而相互分离时，弹性势能又全部转化为两小球的动能。由此可见，在整个碰撞过程中，没有能量损失，两个小球组成的系统的机械能守恒。根据以上分析，可列出两个方程

I甲球的碰后速度等于甲球以速度v10碰静止的乙球碰后甲球的速度与乙球以v20碰静止的甲球碰后甲球的速度进行迭加。

II乙球的碰后速度等于乙球以速度v20碰静止的甲球碰后乙球的速度与甲球以v10碰静止的乙球碰后乙球的速度进行迭加。

III弹性碰撞中的动碰动的结果可以用两个动碰静的结果进行迭加。即弹性碰撞中的迭加性是成立的。

2应用

2.1 解决问题的总思路处理甲乙两小球的弹性碰撞的问题，可以根据弹性碰撞的迭加性，分为三步进行。①先计算甲球以v10碰静止的乙球后甲乙的速度；②再计算乙球以v20碰静止的甲球后甲乙的速度；③最后把两次甲乙球的速度分别迭加求和得到的结果就是碰撞后甲乙球的末速度。

2.2 例题一质量为m的小滑块A沿光滑斜坡由静止开始下滑，与一质量为km的静止在光滑水平地面上的小滑块B发生正碰撞，如图1所示。设碰撞是弹性的，为使二者能发生且只能发生两次碰撞，则k的值的取值范围？

3结束语

通过弹性碰撞的迭加性把一个复杂的弹性碰撞变成两个简单的弹性碰撞，有效地降低问题的难度。该方法不需要复杂的计算，加快了弹性碰撞中动碰动问题的求解速度。通过一个具体的实例的求解证明了该种方法的有效性和准确性，为今后求解此类问题提供了很好的解决方法。这也是处理复杂问题的一种普遍方法。

参考文献：

[1]路峻岭，汪荣宝.超弹性碰撞实验最佳工作条件分析[J].大学物理,2005，24（10）：27-28.

[2]任才贵.对心碰撞过程的分析及一种新的解法[J].华东交通大学学报,2009，26（5）：93-96.

[3]汤金武.活用“一静一动”弹性碰撞速度公式[J].物理教学探讨,2008,26（3）：31-32.

[4]吕梦雅，李发明，唐勇等.基于弹簧质点模型的快速逼真的布料模拟仿真[J].系统仿真学报,2009，21（16）：5236-5239.

[5]于正荣.几则“碰撞问题”的推证[J].物理教学探讨,2009，27(5):36-38.

[6]顾江鸿，李多，原如领.几种超弹性多次碰撞的讨论[J].物理与工程,2009，19（5）：13-15.

[7]杨波，曲忠敏.解答弹性碰撞问题的一种新方法[J].物理教师,2005，26（7）：64-65.

[8]张月红.探究“弹性碰撞”方程的通解[J].物理教师,2009，30（8）：20-21.

[9]孙安媛，黄沛天.也谈完全非弹性碰撞和恢复系数[J].大学物理.2001，20（3）：9-12.

[10]齐鲁祥，郭启连.用弹性碰撞推导相对论公式一简法[J].大学物理.2001，20（1）：26-28.