浅谈复动力系统下的分形

【摘 要】近年来分形研究越来越得到人们的重视，复平面上的有理函数通过迭代可以生产分形，其中Julia集是一类十分重要的分形集。本文介绍了牛顿分形和简单有理函数生成的动力系统，给出了利用Matlab软件生成的分形图像，并基于图像讨论了Julia集和Mandelbrot集的性质。

【关键词】复平面；Julia集；分形

0 引言

分形几何是主要研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。“分形”一词译于英文Fractal，本身具有“破碎”、“不规则”等含义。Mandelbrot在其划时代的专著《自然界中的分形几何》一书中引入了分形这一概念，第一次系统地阐述了分形几何的思想，此专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生。1980年Mandelbrot给出了著名的Mandelbrot集合，Mandelbrot集合图形的边界处具有无限复杂和精细的结构，其所构成的线或面是不光滑、不可微的。而传统几何学研究的光滑曲线在现实中并不存在，因此，Mandelbrot集合是对传统几何学的超越，更接近于真实的情况。分形概念的提出为准确地描述自然现象、社会现象提供了一种崭新的、有效的数学模型和工具，并在数学、物理、化学、医学、经济等各个领域中得到广泛的应用。

复解析动力系统的研究初创于1919年前后，P.Fatou和G.Julia受牛顿迭代法求复多项式根问题的启发，产生了Riemann球面上复解析动力动力系统的思想。他们分别运用正规族理论建立了本领域的基础性工作，形成了经典的Fatou-Julia理论。复解析动力系统理论的主要研究对象Julia集一般具有分形结构，因此动力系统与分形几何之间联系十分紧密，是数学研究中的一个复杂而又十分诱人的领域。以下我们引入复平面上的牛顿分形，介绍简单有理函数生成的动力系统，借助Matlab软件生成了相应的分形图像，基于这种可视化的分形图像讨论了Julia集和Mandelbrot集的性质。

1 牛顿迭代法与分形

牛顿迭代法是指利用有理函数的一阶导数，用切线逐渐逼近方程的根。牛顿迭代公式为：

z■=z■-■；p（z）为复平面上的有理函数。

如方程z■+i=0有3个根，用牛顿的方法逐步估计复平面上各点最后趋向方程的那一个根，可以得到牛顿分形。与Julia分形相类似，其可以永远放大下去，并有自相似性。

对于方程：zp+i=0，利用Matlab软件画出p=3，5，7时的牛顿分形图像如下（图1）：

（1）p=3 （2）p=5 （3）p=7

图1 牛顿分形图像

2 Julia集与分形

作为非线性系统科学中的重要分支，分形的复杂性体现了混沌与有序。分形往往可以通过迭代而产生，通过有理函数的迭代，能够产生复杂的分形图形，这种分形有着复杂的自相似性，任意小比例的细节都有着相似的结果，Julia集就是其中之一。

Fatou集与Julia集是P.Fatou和G.Julia在20世纪20年代通过研究有理函数迭代，发现的两类重要的集合，其中绝大多数有理函数的Julia集是分形集。Fatou集与Julia集分别是有理函数迭代序列的稳定点集与不稳定点集，借助1912年P. Montel提出的正规族理论，Fatou集与Julia集可以得到明确的定义[1-2]。

正规族：如果亚纯函数族■中的任何序列f■都存在子序列f■，在U的任一紧子集上，按球面距离dt一致收敛，则称■在U上是正规的。

Montel正规定则：

1）对全纯函数族从=f■：U■，α∈I，I为指标集，如果■局部一致有界，在U的任一紧子集K，总存在M>0，使得对？坌z∈K，？坌f■∈■，总有f■（z）≤M，则■在U上正规。

2）对亚纯函数族■=f■：U■，α∈I，如果■中任何f■都不取三个互不相同的固定值a，b，c∈■，则■在U内正规。

正规点：对有理函数R：■■，d=deg（R）≥2。z∈■称为正规点，如果存在z的一个邻域U，族{Rn}在U内是正规的。

基于正规族理论，所有正规点组成的集记为F=F（R），称为Fatou集；所有非正规点组成的集记为J=J（R），称为Julia集，显然Julia集是Fatou集的补集，即J=■-F。

Mandelbrot对分形定义Hausdorff维数严格大于其自然维数的集合。容易得出Cantor集的Hausdorff维数是log2/log3，Koch曲线的Hausdorff维数是的log4/log3。

二次式f（z）=z2+c的Julia集Jf的Hausdorff维数是：

dim（Jf=1+c■/4log2+0（c））

对于形如f（z）=z2+c，c∈■的简单有理函数，通过Matlab软件可以画出对于于不同参数c的Julia集，我们取c=i，c=-1，c=-0.1565+1.032i和c=-0.194+0.6657i四种情况利用Matlab软件作图，得到以下图像（图2、图3、图4、图5）。

图2 c=i 图3 c=-1

图4 c=-0.1565+1.032i 图5 c=-0.194+0.6657i

（上接第205页）从图中可以看到，通过改变参数c的值，图形结果差别很大。观察Julia集的图像可以发现Julia集自相似性（准自相似性），即任意一小段边界，可以再生出整个边界，图形呈现出无限回归的特点[3]。

3 Mandelbrot集与分形

图6

Mandelbrot集是由迭代f（z）=z2+c，z0=0，通过变动c值，使得{zn}保持有界的c值集合M。即M=c∈■：fn（z）=z■■+c■，n∞。

Mandelbrot集的图像（图6）。

从图6中可以观察到Mandelbrot集的边界呈现出更加复杂的状态，其自身还包含着许多小Mandelbrot集，但Mandelbrot集不是自相似的，每个小Mandelbrot集具有自身独特的拓扑特征[4]。实际上Mandelbrot集边界M的Hausdorff维数是2。

【参考文献】

[1]任福尧.复解析动力系统[M].上海：复旦大学出版社，1997：1-38.

[2]吕以辈.复解析动力系统[M].北京：科学出版社，1995：22-99.

[3]Alan F. Beardon.Iteration of Rational Functions： Complex Analytic Dynamical Systems[M].Springer-Verlag，2000：1-78.

[4]Heinz-Otto Peitgen，Peter H. Richter. The Beauty of Fractals： Images of Complex Dynamical Systems[M].Springer-Verlag，Heidelberg，1986：23-62.