浅谈数学教学中的过程与结论

[摘 要] 笔者在数学教学中通过过程设计的科学性、合理性、情感性以及在结论应用中注重归纳反思、开放拓展结论、应用基本结论等方面的探索和尝试，既减轻学生负担，又提高课堂效率。

[关键词] 结论与过程 科学性 合理性 情感性 归纳 拓展 应用

结论与过程是教学过程面对的一对重要关系。从教学角度讲，所谓教学结论，即教学所要达到的目的或需获得的结果；所谓教学过程，即为达到教学目的或获得所需结论而必须经历的程序。教学的重要目的之一，就是要求学生理解和掌握具有统一性的正确结论，所以必须重结论；而重过程的目的也是为了获得更好更多的结果，并不是不要结果。

目前，不少教师为了“应试”的需要，压缩知识的发生发展过程，在得出结论后马上加以应用以达到巩固结论的目的，从长远的角度来看，这对培养学生的能力是不利的。这种压缩过程的教学，好比是用激素来饲养动物，长得快，但口味不太好，营养价值也不高。学生经过一段时间学习后，考试分数的确提高了，但中看不中用，可持续发展的后劲不足，而且将来这些同学未必对数学真正感兴趣，由于不明所学知识的来龙去脉，在缺乏巩固的情况下大多也将忘得精光。因此，在新课程标准中提出了要改变“传统教学中忽视过程、过分强调结论的教学”。应该说，这种提法是十分正确、及时的。

然而，过程固然重要，但并非所有知识的学习都要展示知识的发生发展过程。如果学生对所有知识的学习都要展示产生的过程，那么前人的经验又有什么用？而数学教学的目的又何在？如“两点之间线段最短”作为一个公理，学生是很容易接受的。至于为什么“两点之间线段最短”，是否一定有解释的必要呢？

那么，在数学教学过程中，如何正确处理好过程与结论的关系呢？我认为，过程与结论之间应该是一种相互制约、相互促进的辩证关系，两者共存于“促进学生的数学学习发展”这一终极目标上。积极的“过程”必然带来丰硕的“结论”，“结论”的正确定位才能把握“过程”的方向。反之，如果缺乏“过程”的教学，其“结论”必然是机械的、死板的、缺乏活力的，迷失“结论”之“过程”必然是空洞乏味，毫无发展意义的。因此，我们在加强过程教学的同时必须注意――

一、过程设计的科学性，要防止牵强附会

在数学教学中要防止为过程而过程。例如在“有理数的乘法”一节的教学中，为了教“负负得正”，不少教师千方百计地在现实生活中去寻找适合的“负负得正”的例子，这就势必要寻找二个具有方向的量进

行相乘。这样的例子比较难找（当然也可以编），而且即使找到了，对于刚刚开始学习有理数乘法的同学往往是晦涩难懂。这种情境的创设是否适合学生的学习，是值得商榷的。因此，过程的设计要遵循教学的科学性原则，不要牵强附会、小题大做，把简单问题复杂化。

二、过程设计的合理性，要符合学生认知

知识的获得通常有两个途径，一是亲身的经历，二是他人的经验。数学学习也不例外。在数学教学中，充分展示知识的发生发展过程，让学生主动探究，暴露学生和教师的思维全过程，让学生在愤悱中学习，这不仅符合学生的心理特征和认知结构，更是培养学生能力、形成科学方法论的学习过程。作为教师，需要创设合适的问题情境，有时甚至要模拟科学家思考问题的过程，一步一步引导学生深入思考。

例：按下列数字排列的规律说出第十五排第三个的数是几？

１

２３４

５６７８９

10 1112 13 14 15 16

……

如果单纯是为了求个结果，可以按次序一个一个地排下去，但这样的做法除了应试之外毫无价值。比较好的一种方法是从数字排列的顺序中找出规律。不难发现，每排数字的最后一个数是个完全平方数，并且第n排的最后一个数是n2，因此第十四排的最后一个数是142即196，所以第十五排第1、2、3个的数依次是197、198、199，最后所求的的结果是199。这个例子的结果并不重要，而过程的设计合理却显得很重要．

三、过程设计的情感性，要适度尊重学生个性

在数学教学中，尊重学生个性，让学生主动探究，暴露其思维过程是需要的，但这种暴露过程要以展示知识的发生发展过程为前提。在班级授课制的模式下，加上有限的上课时间，在课堂上每一个学生的个性都不可能得到完全张扬，如果学生的思维过程背离了知识的发生发展过程，背离了课堂的教学目标，教师必须进行控制，也就是说尊重学生的个性不能牺牲大部分学生的利益，这种尊重是适度的。例如单项式概念的教学中，有教师列举式子“－5a、3ab、2x2、 ”，让学生通过探究后回答这些式子是怎样组成的，有什么特点。显然，不同层次的学生见解不一，甚至有的背离教学目标。这时，教师要及时正确引导，如提示学生从运算角度看式子的共同特征，让参差不齐的学生达成共识。过程教学中不能因满足个别学生的思维需要而不顾大部分学生的情感，要讲究时效，教师应用尽量少的时间达到预期的教学目标。

在数学教学中要重视过程与结论的联系，反对忽视过程、过分强调结论的教学；同时，又要防止为过程而过程，忽视得出结论后对过程的总结、归纳和反思，忽视得出结论后对结论的再认识及应用。

从中美数学教学的比较可以发现，美国的数学教学过分偏向于过程，不太注重结论。当中国的孩子对“九九口诀表”背得滚瓜烂熟时，他们却不得不借助于计算器进行计算。这种教学上的差异，最终导致美国学生的计算能力大大逊于中国，所以美国学生的数感普遍比较差，在美国中小学，“计算 与 的差是多少”也算是一个难题。

为此，对于“结论”教学，要重视以下三方面的工作。

一、注重归纳反思，提高解题能力

好些学习用功的同学总是停留在知识型的水平上，不能形成较强的解题能力，其根本原因就在于他们既没有分析典型的例题，又没有分析自己的解题；相反，善于做解题过程分析的学生，很快就形成一般的解题能力，并且受益终生。

我经常碰到一些家长，说他们的子女计算很粗心，常常算错。其实有一点这些家长并不明白，错误的结果有很多来自其复杂的过程。如在解方程：

时，有些学生不是先去分母，把未知数的系数化为整数，而是先变形成 ，这样的过程，计算错误的概率就会增加。出现这种错误的原因是学生对题的分析没有到位，即未思考如何通过优化解题的过程使解题更加充满理性，题目一旦获解，就匆匆合上作业本，立即产生感情上的满足，从而导致心理封闭。忽视解题后的再思考，恰好错过了“学会解题”的最好机会，无异于“入宝山而空返”。这是所谓“数学悟性”慢、迟迟学不会解题的重要原因。而题目初步获解之后，回过头来进行解题过程的分析，有如登上山顶后居高临下的俯瞰，整个境界已焕然一新。

二、开放拓展结论，深化理解水平

没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结总会有点滴的发现，总能改进这个解答的理解水平。

例如：设抛物线 的顶点为Ａ，与 轴的交点坐标分别为C、B， 。问：当ACB为等腰直角三角形时，的值是多少？通过计算，我们得出的结论是=4，也就是说当∠BAC=90°时，是一个与系数 、 、 无关的常数。但到此，还不能欣喜若狂，应该继续研究：当∠BAC=120°，=？当∠BAC=60°，=？再进一步，当∠BAC=α，=？最后的结论是 。

希尔伯特曾经说过：“在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的问题只不过是一连串有关问题中的一个环节。”“会当凌绝顶，一揽众山小。”任何数学的结论，让学生站在系统的高度去认识它，常常会事半功倍。

三、应用基本结论，培养创新思维

数学内容的结构性决定了数学教学应步步推进，层层提高。当数学的结论变成探索问题的武器时，这些结论就显得很重要，我们通常称之为基本结论。我有时也称之为“巨人”，用这些基本结论去探索新的问题时，好比是站在“巨人”的肩上看世界，就可以站得高、看得远。

例：如图，过双曲线y=k/x（x＞0）上的两点A、B作ACx轴于C，BDx轴于D，连接OA、OB，设ACO、BDO的周长分别为l1 、l2,内切圆的半径分别为r1 、r2，若l1 ： l2=2，试求r1 、r2 的值。

此题的解答关键是应用了两个基本结论：（1）这样的ACO、BDO的面积不随点A、B在双曲线上的位置而改变；(2)任意三角形的面积等于半周长乘以其内切圆的半径。

然而，对一些基本结论，有些是课本明确指明的，但有些却需要教师和学生去总结、归纳。在几何教学中总结出的三句话“几何图形基本化，位置关系数量化，数形结合巧转化”对今后解几何题时就会起到高屋建瓴的作用。所以，总结应用一些基本结论，是提高教学质量的一个重要方面。

教学是一门寻找遗憾的艺术。我们需要不断地反思、优化教学过程，在过程与结论中寻找一个支撑点，以达到更高的境界。

[参考文献]

罗增儒《中学数学课例分析》

(作者单位：浙江华维外国语学校)

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文