二倍角公式化简求值的方法与技巧

二倍角公式的应用非常广泛，但是，如果从使用方法这一角度来探究的话，可以从以下三个角度来说明.

一、顺用二倍角公式化简求值

例1 若cos（π4+x）=35，1712π 分析：顺用二倍角公式就是通过分析题设条件，找到运用二倍角公式sin2x=2sinxcosx、cos2x=2cos2x-1=1-2sin2x=cos2x-sin2x化简求值的突破口.解答该题时注意x=（π4+x）-π4，及2x=2（π4+x）-π2两种变换方式.

解：原式=2sinxcosx+2cos2x1-tanx=2sinxcosx（1+tanx）1-tanx=sin2x·tan（π4+x），

而sin2x=sin[2（π4+x）-π2] =-cos2（π4+x）=

-[2cos2（π4+x）-1]=725.

tan（π4+x）=sin（π4+x）cos（π4+x）=-43，所以，

原式=725·（-43）=-2875.

点评：此题把π4+x作为整体，并注意角的变换2·（π4+x）=π2+2x，运用二倍角公式，问题就化难为易，化繁为简.所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.

二、逆用与顺用相结合运用二倍角公式化简求值

例2 化简： （sinα+cosα-1）（sinα-cosα+1）sin2α.

分析：逆用二倍角公式就是我们有时要采取“迂回”的方式，构造出例如cos2x-sin2x的形式，从而获得cos2x.

解：原式

=（2sinα2cosα2-2sin2α2）（2sinα2cosα2+2sin2α2）4sinα2cosα2cosα

=sinα2（cosα2-sinα2）（cosα2+sinα2）cosα2cosα

=sinα2（cos2α2-sin2α2）cosα2cosα=sinα2cosαcosα2cosα=tanα2.

点评：利用二倍角公式将分子、分母转化成α2的三角函数，创造约分的条件. 观察该题分子与分母中角和角之间的内在联系是解决此类题的关键.

三、利用半角与倍角间的内在联系也是运用二倍角公式化简求值的一条途径

例3 已知cos（α-β2）=-19，sin（α2-β）=23，且π2

分析：注意到（α-β2）-（α2-β）=α+β2，故可利用两角差的公式求出α+β2的余弦值，再利用二倍角公式求cos（α+β）的值.

解：因为π2

又因为cos（α-β2）=-19，sin（α2-β）=23.

所以sin（α-β2）=β2）=1-（19）2=459.

cos（α2-β）=1-sin2（α2-β）=1-（23）2=53.

所以cosα+β2=cos[（α-β2）-（α2-β）]=cos（α-β2）·cos（α2-β）+sin（α-β2）·sin（α2-β）=-19×53+459×23=7527.

所以cos（α+β）=2cos2α+β2-1=2×（7527）2-1=239729.

山东省利津县第一中学 （257400）