曲率半径的两种求解方法

高中物理教材中出现了曲率半径，并且在高考中也出现过求曲率半径的试题.那什么是曲线的曲率半径呢？曲率半径如何求解？很多学生都发出这样的疑问.本文将讨论曲率半径的概念及求曲率半径的两种求解方法.

1平面曲线的曲率半径

工程技术中用曲率来描述曲线的弯曲程度.如图1所示，设曲线C是光滑的（曲线上每一处都有切线，且切线随切点的移动而连续转动）.在曲线C上选定一端点M0作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处切线的倾角为a，曲线上另外一点M′对应于弧s+Δs，在点M′处切线的倾角为a+Δa，那么，弧段Mm′的长度为|Δs|，当动点从M移动到M′时切线转过的角度为|Δa|.用比值|Δa|1|Δs|来表达弧段MM′的平均弯曲程度，把这比值叫做弧段MM′的平均曲率，并记作=|Δa1Δs|，当Δs0时，上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率，记作K，K=|da1ds|，把ρ=11K=|ds1da|称为曲线C在点M的曲率半径.

设曲线的直角坐标方程为y=f（x），

则ρ=11K=（1+y′2）3/21|y″|.

设曲线的参数方程为x=φ（t），y=（t），

则ρ=11K=[φκ′2（t）+′2（t）]3/21φ′（t）″（t）-φ″（t）′（t）|.

1.1抛物线上的曲率半径

例1（2011年安徽高考题）现将一物体与水平面成a角的方向以速度v0抛出，如图2所示.则在轨迹最高点P处的曲率半径是多少？

方法1数学公式法

解斜抛运动参数方程

x=φ（t）=v0cosa・t，

y=（t）=v0sina・t-112gt2，

可得φ′（t）=v0cosa，φ″（t）=0（1）

′（t）=v0sina-gt，″（t）=-g（2）

把（1）、（2）两式代入ρ=11K=[φ′2（t）+′2（t）]3/21|φ′（t）″（t）-φ″（t）′（t）|，

得ρ=[v20cos2a+（v0sina-gt）2]3/21v0gcosa（3）

运动到轨迹最高点历时t=v0sina1g（4）

把（4）代入（3），得ρ=v20cos2a1g.

方法2物理方法

一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.而曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把把它看作是某个圆的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径，如图3.这样在分析质点经过曲线上某点的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了.如图3中，当质点运动到A点对应的曲率半径为ρ，速度为vA，向心加速度为an，由向心加速度公式可得an=v2A1ρ.

解物体在在其轨迹的最高点P处只有水平速度，其水平速度为v0cosa，最高点法向加速度an=g=v0cosa）21ρ，所以曲率半径ρ=v20cos2a1g.

例2将一小球以v0=10 m/s的初速度从楼顶水平抛出，小球下落t=3 s时位于轨迹曲线上的P点，求曲线在P位置的曲率半径和此时小球的法向加速度.

方法1数学公式法

平抛运动参数方程

x=φ（t）=v0t，

y=（t）=112gt2，

得φ′（t）=v0，φ″（t）=0（1）

′（t）=gt，″（t）=g（2）

把（1）、（2）两式代入ρ=[φ′2（t）+′2（t）]3/21|φ′（t）″（t）-φ″（t）′（t）|，

得ρ=（v20+g2t2）3/21v0g（3）

把v0=10 m/s，t=3 s代入（3）式，得ρ=80 m.

此时小球瞬时速度v=v20+（gt）2=20 m/s，

所以an=v21ρ=5 m/s2.

方法2物理方法

如图4所示，下落3 s时，竖直速度vy=gt=103 m/s.

此时瞬时速度v=v20+（gt）2=20 m/s，

设其方向与水平方向夹角为θ，

则tanθ=vy1v0=3，

得θ=60°.

把重力加速度g沿该点法向和切向分解，法向分加速度

an=gcos60°=5 m/s2.

由an=v21ρ得ρ=v21an=20215 m=80 m.

1.2椭圆上的曲率半径

例3质点沿轨道方程为x21a2+y21b2=1的椭圆从A点开始做逆时针运动，如图5所示.求A、B两点的曲率半径.

方法1数学公式法

解椭圆的参数方程为

x=φ（θ）=acosθ， y=（θ）=bsinθ，

可得φ′（θ）=-asinθ，φ″（θ）=-acosθ（1）

′（θ）=bcosθ，″（θ）=-bsinθ（2）

把（1）、（2）两式代入

ρ=[φ′2（t）+′2（t）]3/21|φ′（t）″（t）-φ″（t）′（t）|，

得ρ=[a2sin2θ+b2cos2θ]3/21ab（3）

A点θ=0，代入（3）式得ρA=b21a（4）

B点θ=90°，代入（3）式得ρB=a21b（5）

方法2物理方法

解如图6所示，半径为b的圆柱面被两平面相截，其中一个平面与圆柱面轴线垂直，第二个平面与第一个平面交角为θ，且满足cosθ=b1a.两平面的交线与圆柱面相切，如图所示.由图5可知，第一个平面与圆柱面的交线是一个半径为b的圆，第二个平面与圆柱面的交线是一半长轴为b，半短轴为a的椭圆.如图5所示建立直角坐标系，坐标原点在圆心o处，y轴过两个平面交线与圆柱面的切点C.x轴与圆的交点A、y轴与圆的另一个交点B沿z轴方向在第二个平面上的射影正好是椭圆上的A′、B′.

设一质点在半径为b的圆周上做速率为v的匀速圆周运动，则此质点沿z轴方向在第二个平面上的运动将沿椭圆轨道运动.这个射影的运动就是此处选择的运动，在此运动下求椭圆轨道点A′、点B′的曲率半径

易知，A点的速度v，法向加速度v21b.A点的射影A′的速度和法向加速度分别为

vA′=v1cosθ=a1bv，

（aA′）n=（aA）n=v21b.

由这两式得A′处的椭圆曲率半径ρA′=v2A′1（aA′）n=a21b.

同理，由点B的速度v和法向加速度v21b，得B点的射影B′点的速度和法向加速度

vB′=v，

（aB′）n=（aB）n1cosθ=av21b2，

由这两式得B′处的椭圆曲率半径ρB′=v2B′1（aB′）n=b21a.

1.3 摆线上的曲率半径例4：机车以 沿直线轨道做匀速率行驶，机车车轮半径为 ，设车轮只滚动不滑动.轮缘上的一点所经历的轨迹称为摆线.将 点在轨道上的起点位置取为坐标原点，并将轨道取为 轴.试求摆线上各点的曲率半径. 方法1：数学公式法解：设 点绕轴心 转过的角度为 ，摆线方程为得 ， （1） ， （2）把（1）（2）两式代入 ，得 方法2：物理方法解： 点速度矢量与加速度矢量关系如图7所示，设 点绕轴心 转过角度为 ， 点的加速度为 （1）其法向分量 （2）设此时摆线 处的曲率半径为 ，则 （3） 点的速度 沿摆线轨迹切线方向，速度 是沿 轴方向速度 与车轮对轴心 点转动速度 的合成，由图6知 （4）联立（1）（2）（3）（4）解得 几个特殊点的曲率半径： （坐标原点处）， ， （摆线的最高点）2立体曲线的曲率半径

2.1螺旋线的曲率半径

例5已知等距螺旋线在垂直z轴方向的截面圆半径为R，螺距为h，如图7所示.一质点沿此螺旋线做匀速率运动，在垂直z轴方向的投影转过一周所用的时间为T.求该质点在做等距螺旋线运动时螺旋轨迹的曲率半径.

方法1数学公式法

此题属于立体曲线的曲率半径求解问题，上面给出的平面曲线的曲率半径求解公式在此已经不适用.对于一个以参数化形式给出的空间曲线x=φ（t），y=（t），z=ψ（t）.

其曲率半径计算公式为

ρ=（x′2+y′2+z′2）3/21（z″y′-y″z′）2+（x″z′-z″x′）2+（y″x′-x″y′）2.

解设此质点沿z轴方向的速率为v∥，螺旋线运动方程为

x=φ（θ）=Rcosθ，

y=（θ）=Rsinθ，

z=ψ（θ）=v∥θ12πT，

得x′=φ′（θ）=-Rsinθ，x″=φ″（θ）=-Rcosθ（1）

y′=′（θ）=Rcosθ，y″=″（θ）=-Rsinθ（2）

z′=ψ′（θ）=v∥t12π，z″=ψ″（θ）=0（3）

把（1）、（2）、（3）式代入

ρ=[x′2+y′2+z′2]3/21（z″y′-y″z′）2+（x″z′-z″x′）2+（y″x′-x″y′）2，

得ρ=4π2R2+v2∥T214π2R（4）

质点沿z轴方向做匀速直线运动，v∥T=h（5）

把（5）式代入（4）式得ρ=4π2R2+h214π2R.

方法2物理方法

解质点在垂直轴方向做匀速圆周运动的分速度为

v=2πR1T（1）

沿z轴方向匀速直线运动速度为v∥=h1T（2）

设质点沿螺旋线运动速度v，则v2=v2+v2∥（3）

把（1）、（2）代入（3）得v2=4π2R2+h21T2（4）

质点运动的加速度

a=Δv1Δt=Δ（v+v∥）1Δt=Δv1Δt=0，

这里Δv∥1Δt=0，可知加速度与质点做半径为R的圆周运动的加速度相同，即

a=an=（2π1T）2R=4π2R1T2（5）

把（4）、（5）代入ρ=v21a得ρ=4π2R2+h214π2R.

从数学和物理两种角度出发都可以求解曲率半径，充分体现了数学工具在处理物理问题中的重要地位，体现了数学和物理在处理同一问题时的和谐统一美.