细说求解函数最值问题的步骤

摘 要：在数学中，对导数的考查方向是淡化理论，注重应用，强化其工具作用，而利用导数求解函数的最值问题，正是导数的工具体现，因此必须熟练掌握。函数的最大值、最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的，是函数的整体性质。由此可知，函数在闭区间[a，b]上的端点函数值不一定是最值。

关键词：数学；应用；导数

在数学学习中，对导数的考查主要是针对“三次”函数，下面就利用导数求“三次”函数的最值问题的步骤进行分类解析。

一、利用导数求最值的一般步骤

求可导函数在闭区间[a，b]上的最值的主要步骤：（1）求y=f（x）在开区间（a，b）内的极值（极大值或极小值）；（2）将y=f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

例1：函数f（x）=2x3-3x2-12x+5在区间[-2，3]上最大值与最小值分别为（ ）

A.1，-4 B.12，-15 C.12，-4 D.-4，-15

解析：先求导数，得f ′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2），

令f ′（x）=0，即6x2-6x-12=0，解得x1=-1，x2=2。

导数f ′（x）的正负以及f（-2）=5，f（2）=-4，如下表：

从上表可知，当x=-1时，函数有最大值12，当x=2时，函数有最小值-15，故选B。

点评：从上面的解答看，利用导数求函数的最值的过程相对较繁，是不是可以在此基础上进行简化呢？请同学们看下面的分析。

二、利用导数求最值的简化步骤

根据例1的解答可以看到，利用导数求函数的最值，实际上就是将函数的导函数对应方程f ′（x）=0根对应的函数值与端点的函数值进行比较，整个过程无须判断极值为极大值还是极小值。此时利用导数求最值的步骤：（1）求导数f ′（x）；（2）求方程f′（x）=0的全部实根；（3）求出f ′（x）=0的根对应的函数值及端点的函数值，并进行大小比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值。

例2：求函数f（x）=x3-2x2+1在区间[-1，2]上的最大值与最小值。

解析：f ′（x）=3x2-4x，令f ′（x）=0，得x1=0，x2=，

则f（0）=1，f（）=-，同时f（-1）=-2，f（2）=1，

比较上述四个函数值的大小知，当x=0或2时，函数f（x）的最大值为1，当x=-1时，函数f（x）的最小值为-2。

点评：从上面两个的解答可以看到，求导函数对应方程f′（x）=0有实数根。至此有学生会问了：如果方程f′（x）=0没有实数根，那又如何进行解答呢？是否也有步骤可寻？请继续往下看。

三、利用导数确定单调性求最值的步骤

如果导函数对应方程f ′（x）=0无实数，此时导函数的符号就确定了，函数在整个定义域上就具有单调性，即函数的最值就是定义域的端点处取得。其解法的一般步骤：（1）求导数f ′（x）；（2）考查f ′（x）=0根的情况，若有根，则按例2的方法求解，若无实根，则首先判断f ′（x）的符号，进而判断函数的单调性；（3）按单调性与函数最值的关系求最值。

例3：求函数f（x）=x3-3x2+6x-2，x∈[-1，1]的最大值和最小值。

解析：f ′（x）=3x2-6x+6，令f ′（x）=0，方程无解。

因f ′（x）=3x2-6x+6=3（x-1）2+3，所以函数f（x）在x∈[-1，1]上是增函数，

当x=-1时，函数f（x）的最小值为f（-1）=-12，

当x=1时函数f（x）的最大值为f（-1）=2。

点评：本类题型实际上表现为函数在整个定义域上具有单调性，但不具有极值，因此不必去确定极值，其解题步骤得到了简化。从上面的三个例子可以看到，函数除含有未知数外，没有其他的变量了，因此我们不难想到，如果对函数含有其他参数，那么又该如何操作呢？下面我们继续分析。

四、利用导数求含有参数的函数最值的步骤

利用导数求含有参数的最值时，一般步骤：（1）求导函数f ′（x）。（2）对导函数对应方程f ′（x）=0进行讨论，主要涉及三类讨论：①对首项系数的讨论；②对判别式的讨论；③对方程根的大小的讨论。（3）根据f ′（x）的符号确定函数f（x）的单调性。（4）根据函数的单调性确定函数的最值。

例4：已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）。求f（x）在区间[0，2]上的最大值。

解析：f ′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a）。令f ′（x）=0，解得x1=0，x2=。

当≤0，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而f（x）max=f（2）=8-4a。

当≥2，时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而f（x）max=f（0）=0。

当0

从而f（x）max=8-4a 0

综上所述，f（x）max=8-4a a≤20 a>2。

点评：本题由于函数解析式中含有参数，因此方程f′（x）=0的根含有参数，对其根0与的大小进行了讨论。同时还可以注意到本题解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的。上面几例都是求函数的最值情况，现在我们进行逆向思维，即如果已知函数的最值情况，而求参数问题，那该如何处理呢？

五、已知函数的最值求解参数值的步骤

已知函数的最值求参数的值是一类逆向思维问题，解答的主要步骤：（1）求导函数f ′（x）；（2）确定方程f ′（x）=0的根，可能时要注意讨论；（3）确定函数的最值；（4）根据已知的最值与所求得的最值建立方程（组），由此可求得参数的值。

例5：已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a。若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

解析：（Ⅱ）由f ′（x）=-3x2+6x+9=0，得x=-1或x=3，则由x∈[-2，2]，得f（-2）=a+2，f（2）=a+22，f（-1）=a-5。

比较知f（2）=a+22=20，解得a=-2，

所以，函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值为

f（-1）=-2-5=-7。

点评：本题的解答充分体现了方程思想的应用，通过已知的最大值求得函数解析式中的参数，再根据利用导数求最值的原理求得了函数的最小值。此类题是根据函数最值的大小求参数的值，当然也就有求参数的取值范围。

（作者单位：郑州幼儿师范高等专科学校）