地球同步卫星最小地面发射速度的计算

1引子

高水平大学自主选拔学业能力测试（Advanced Assessment for Admission，简称AAA测试），是清华大学和中国人民大学、中国科技大学、上海交通大学、南京大学、浙江大学、西安交通大学等七所大学合作自主招生，由高校共同委托专业考试机构执行的考试，在通用基础测试部分统一考试和阅卷.AAA测试成绩学校之间相互认可，面试时间尽量协调，使学生有更多的选择机会.AAA测试的试题也因此引发了高中师生的极大关注，2014年“华约”自主招生考试中的同步卫星发射问题就是其中的一道.

2试题回放与参考解析

已知地球的半径为R，地面附近的重力加速度为g，一天时间为T，卫星质量为m.已知万有引力势能公式为Fp=-GMmr，其中M为地球质量，r为卫星到地心距离.Ⅰ.求同步卫星环绕地球的飞行速度；Ⅱ.求从地球表面发射同步轨道卫星时的初速度至少为多少.

参考解析Ⅰ.在地球附近，由万有引力定律可知

mg=GMmR2（1）

由牛顿第二定律可知

GMmr2=m（2πT）2r（2）

由（1）、（2）两式可得，同步轨道的半径为

r=3gR2T24π2（3）

所以，同步卫星的环绕速度为

v=2πrT=32πgR2T（4）

Ⅱ.从地面到地球同步轨道，由机械能守恒定律可得

12mv2-GMmr=12mv20-GMmR（5）

将（3）、（4）代入（5）式可得v0=2gR（1-3Rπ22gT2）（6）

3同步卫星的最小发射速度分析

上述分析看似合理，实际上，因为发射同步卫星时，卫星不可能从地球表面发射后直接进入同步轨道，而是需要经过转移轨道再变轨进入同步轨道，在变轨过程中，星载发动机要对卫星做功.所以，卫星从地球表面发射后到进入同步轨道的过程中，卫星机械能并不守恒.

根据能量最小化原则，如图1所示，卫星应该先进入与同步轨道相切的转移轨道，然后在两条轨道的相切处加速，进入同步轨道.

因为卫星绕地球公转的机械能为E=-GMm2a，其中a为公转轨道半长轴.对于转移轨道，其半长轴为a=R+r2（7）

根据机械能守恒定律可知

E=-GMm2a=12mv′20-GMmR（8）

将（3）、（7）两式代入（8）式可得，在地球表面发射远地点为r的卫星的发射速度为

v0′=2gR34π2RgT2+1（9）

对比（6）和（10）式不难发现，v0>v0′.

由（5）式可知，当以参考解析中（6）式给出的速度发射卫星时，卫星在地面的机械能等于同步轨道上的机械能.根据卫星轨道机械能计算公式E=-GMm2a，可知转移轨道的长轴将与同步轨道的长轴相等，因此转移轨道的远地点将远远高于同步轨道.两条转移轨道的对比如图1所示.

综上所述，在发射同步卫星发射时，无法由地球表面直接进入同步轨道.卫星总是先进入转移轨道，然后通过星载发动机点火加速，通过变轨进入同步轨道.同步卫星的最小发射速度其实就是卫星从地球表面进入转移轨道的速度.