分数基本性质“图式思维”水平差异研究

【摘 要】小学四、五年级学生读图水平相对较高，自己画图的水平较低。看图写分数时，由面积模型的图形写分数比线段模型的图形写分数的正确率要高。同是面积图形，“拆分图”比“扩充图”学生更能理解两个分数的相等。教学中要创设多元图式、引导画图验证、鼓励主动沟通。

【关键词】等值分数 图式思维 水平差异

图式思维是一个动手作图、观察读图、思考想图、动笔画图、开口表达等数学理解活动的过程，其中几何直观、数形结合是核心思想。图式思维对分数的基本性质理解到底有什么帮助呢？学生分数的基本性质图式水平差异在哪？哪些因素影响图式思维水平？如何通过分数的基本性质的学习培养图式思维呢？本文⑽绕上述问题展开研究，主要从读图、画图、表征互译的维度展开相关的实证研究。在学生没有学习分数基本性质之前进行测查。前测在有一定代表性的5所学校（其中城区2所，乡镇3所）近1000名学生中进行，年级跨度从四年级到五年级，时间跨度从2015年到2017年，现将相关结果呈现如下。

一、“图式思维”水平差异呈现

（一）有多少学生具备了基本的读图能力

读图是图式思维的第一步，是学生获取数学知识的重要方法与技能，通过读图活动让学生感知理解等值分数，建立直观表象。

本测试题共12空，每空1分（具体题目见下文表5），具备读图能力的学生达到79.3%，也就是说，大部分学生已经具备了等值分数的读图能力，为性质的表达、概括、解决实际问题打下良好的基础。

（二）从读图到画图存在多大的认知跨度

“读图”到“画图”的跨越，预示着学生的思维从感知走向理解，引发学生对知识进行深层次的思考，使外在指尖操作转化为内在的逻辑思维。

图式水平从读图到读画结合，最后到画图表征，正确率呈下降趋势，可见会读图并不代表会画图。在理解图式过程中，学生还不能够熟练、有序地完成性质的直观可视化理解。

（三）学生能用图像表征说明分数相等吗

表征是指信息或知识在心理活动中的表现和记载的方式。四、五年级的学生图像表征能力究竟如何？

上表数据以真分数为例，统计结果表明“能正确说明两个分数为什么相等”的比例在百分之五十左右。

学生能用图像表征等值分数的意义吗？在前测中，我们发现自主选用图形说明的比例高达59.5%，其中能正确作图的占39.5%（见下文图6）。可见直观图式是学生最主要的表征形式。利用图式表征有利于学生对性质进行直观化理解，让表达方式更深刻、多元。

大量的数据显示，学生已经具有一定的图式思维意识与能力，但我们也可以看到他们的图式思维水平存在着明显的差异，那么形成差异的原因是什么呢？

二、“图式思维”成因分析

学生存在差异的原因是多种多样的，除了学生自身的认知水平对图式思维能力有影响，学习材料是否也有影响？影响有多大？什么样的学习材料更有利于学生理解分数的基本性质呢？

（一）哪种图式更有利于学生理解等值分数

看图写分数并判断大小，我们发现面积模型正确率最高。如果再进行单项分析，我们发现针对“看图写分数”这个要求，面积模型的正确率最高，而实物图式对于判断大小的帮助最大。指向线段图的题目则正确率最低。显然，模型的抽象度的不同，其可视功能亦有差异。

（二）同是面积图，对图式思维影响有差异吗

不同的图式，会影响读图水平，那么同是面积图还会有差异吗？我们先来看教材对面积图的运用，例如北师大版教材（如图1），通过从合并图到扩充图，让学生来理解分数的扩充，再从扩充图到合并图，让学生来理解分数的约分，从合并到扩充，采用两幅或多幅对比图理解分子分母的变化。

再看台湾部编版教材（如图2），在同一个图上扩充份数来理解等值分数。那么，哪一种图式更利于学生理解呢？

从中我们看出利用拆分图涂色，正确判断大小的比例为92.6%，远高于利用合并、拆分对比图判断大小68.18%的正确率（数据见表3）。

为什么拆分图会更利于学生理解等值分数呢？如图3，学生想到[12]是容易的，因为阴影面积带给学生直观的视觉冲击，是显性的，但是对于图4，学生要想到[816]却是不容易的，因为这是隐性的，需要经过重新拆分的思维。

（三）不同的分数例子对图式水平的影响有多大

对比国内几套教材，除北师大版外，都以[12为]例题，这是为什么呢？也许你要说肯定是因为它简单。诚然，[12]是最简单、最贴近学生认知经验的例子，但我们还要追问，它究竟为什么简单？又简单在哪些方面呢？我们先一起来看看不同的分数例子对图式思维水平的影响。

从表6我们可以看出，与[12]相关的题，正确率最高。此外在前测中我们也发现，它的表征形式也更多元，学生出现的答案有“它们都表示物体的一半”“结果都等于0.5”等，图形样式也更丰富。其实学生对分数的最初认知就是从“一半”开始，通过对折、对折、再对折进行操作强化，分数的基本性质从“[12]”开始，切合学生的现有知识经验和生活经验。另外，假分数教材都没出现在第一课时，这是为什么呢？从前测看，假分数的正确率最低，说明理解更难。北京师范大学发展心理研究所的韩玉蕾指出，理解假分数的等值性处于最高的第四水平。

三、基于图式思维水平差异实证研究的教学启示

（一）创设多元图式，完善多维理解

读图其实质是对知识编码的过程，经历从操作到表象的体验过程，教学过程中可以通过提供多元化图式，将寻找等值分数的过程可视化。多元化分数类型，激发多元表征的创造力，逐步引导学生经历了解、理解、掌握及至运用分数的基本性质的过程。

（二）引导画图验证，提升表征水平

多元表征是对知识的精加工。当学生用自创的符号解释数学时，其实质是对知识的重构理解，体现从被动模仿到自主探究的创作过程。我们认为，可以增加“举例验证”“画图说明”的数学探究过程，从而培养图像表征水平，提升利用画图解决问题的能力，发展思维水平。

502班和503班为实验班级，前测显示，这两个班能用图式正确表征等值分数的比例显然高于对比班。他们基本能通过绘画等操作活动，以去情境的面积图、线段图为主，会用自创的符号系统表征等值分数（如图5）。但对比班更多是用“因为分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，所以分数大小不变”这样的方法循环说明，学生不知道“采用什么方式解释为什么陈述为真”，只注重性质的机械运用，直观水平或表征意识不足，不会或不习惯画图表征，并不能表示他们已经真正理解了知识的本质。

但从前测中我们也发现，只有少数学生的作图水平能达到抽象与关联的高水平阶段，即能进行知识以及知识之间的关系的网络图形化表征，比如我们发现也有学生利用分数墙发现[35]=[610（如图7）]，直观表征他们之间的联系。另外，有20%的孩子存在图式单位不统一的e误（如图6）。

分数的基本性质本质是构造分数单位不同但大小相等的分数，其核心在于“分数单位”，在“度量”中寻找等值分数。因此在教学中，我们要强调比大小是在统一单位“1”的前提下进行，还应注重图式与语言之间的联系，以图8为例，可以让学生先观察[159]和[53]表示数轴上的同一个点，直观理解什么是等值分数，再观察将数轴上的三份并作一份，直观理解分子分母同时除以3的规律，从而概括分子分母同时除以3分数大小不变的规律。如此分两步图式理解分数的基本性质，为学生理解性质搭建逐级上升的脚手架。

（三）鼓励主动沟通，提升概括水平

思维最显著的特征是概括性。苏联心理学家鲁宾斯坦就把概括分为初级的“经验概括”和高级的“理论概括”。从大量的举例验证经验中概括出分数的基本性质为经验概括，而在此基础上，通过演绎解释，判断分数的基本性质与商不变规律之间的必然联系，达到现象间的规律性认识为理论概括。前测数据显示（如表8），学生在这方面的能力不高，尤其是理论概括。从表中不难看出，通过三个例子概括分数基本性质的正确率只有百分之二十多一点。

过分强调形象思维容易形成思维的单一性，我们在日常教学中应更多设置“概括”环节，培养“概括”能力，强化文字、符号与图像的互化，提升图式语言与抽象逻辑语言之间的互译能力，将图式思维趋向深刻。

（本文受到葛素儿老师的悉心指导，在此表示衷心感谢！）

参考文献：

[1]葛素儿.通过图像表征促进小学数学理解教学[J].课程教学研究，2012，（12）.

[2]（美）基思・德夫林著，林恩译.数学思维导论――像数学家一样思考[M].北京：人民邮电出版社.2016，（1）.

（浙江省丽水市实验学校小学部 323000）