基于独立分量分析的混沌信号盲分离

摘 要:现有的混合混沌信号分离方法一般都要利用各个混沌信号的内在性质以及一定的约束。利用混合混沌信号中各源信号的独立性,依据基本ICA估计原理中的极大非高斯性原理,采用基于峭度的不动点分离法对此类混合信号进行分离,实现了此类信号的盲分离。对多种此类混合信号进行分离仿真的结果表明,该方法可以快速有效地分离出混合混沌信号中的各个源信号。

关键词:混合混沌信号;独立分量分析;盲分离;噪声频谱

中图分类号:TN911.7 文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2009)21-109-03

Blind Separation of Chaotic Signals Based on ICA

ZHOU Wen1,HOU Jinyong2

(1.Suzhou Institute of Trade & Commerce,Suzhou,215008,China;

2.School of Electronics and Information Engineering,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing,210044,China)

Abstract:There are some methods that separate the mixing chaotic signals,but they have to use the internal properties of the signals and special constraints.By exploiting the independence of source in the mixing chaotic signals,using the fixed-point ICA based on the kurtosis to separate the mixtures,which is accordance with the ICA estimation principle of maximum nongaussianity.The results by computer simulation indicate that the mixed chaotic signals,by using the method,the source signals can be separated fast and effectively.

Keywords:mixed chaotic signals;independent component analysis;blind separation;noise spectrum

0 引 言

在信号处理中,将混合在混沌信号中的其他信号分离出来是混沌信号处理领域中的重要课题,对于混沌在通信、雷达、生物医学等方面的应用有十分重要的意义。在这类分离中,常规的处理方法是应用小波变换等方法,利用信号与噪声频谱的差别进行滤波,以达到分离目的,但是当信号与噪声的能量分布在同一频带时,该方法就不再适用。现有的此类信号分离方法一般都要利用各个混沌信号的内在性质以及一定约束。文献[1]利用各个混沌信号之间的互不相关性,依据重构理论,重构出源信号,但只假设信号间互不相关,且只涉及到数据的二阶统计特性,并未充分利用包含有实际信号中大部分重要信息的高阶统计特性。本文假设各信号间为更符合实际的相互独立模型,提出应用独立分量分析法,利用高阶统计量方法对混合混沌信号进行分离,实现此类混合信号的盲分离。此处“盲”是指源信号不能被观测;源信号如何混合是未知的[2]。通过仿真实验证实该方法有效可行。

1 基本原理

设X=(x1,x2,…,xm)T为m维零均值混沌信号与其他信号的观测混合信号,它由源信号向量S=(s1,s2,…,sn)T中相互独立的混沌信号、其他信号sj(j=1,2,…,n)线性加权组合而成,此线性混合模型可表示为:

X=AS=∑nj=1ajsj,j=1,2,…,n

(1)

式中:A=(a1,a2,…,an)是m×n满秩矩阵,称为混合矩阵;aj为混合矩阵的基向量。

混合混沌信号分离基本原理图如图1所示。

图1 混合混沌信号分离基本原理图

为确保上述模型可被估计,需做以下假设和约束:

(1) 源信号中各分量即混沌信号与其他信号是相互统计独立的。

(2) 源信号中各分量sj具有非高斯分布,且最多只允许一个具有高斯分布。

(3) 混合矩阵A为方阵,即假设传感器数与混合混沌信号的源信号分量数相等,即m=n,此时A为非奇异矩阵,逆矩阵A-1存在。

利用观测混合信号X和上述条件构建解混矩阵W=(wij)n×n后,经过W变换后得到n维源信号估计值Y=[y1,y2,…,yn]T,则ICA的解混模型可表示如下:

Y=WX=WAS=GS

(2)

式中:G称为全局(系统)矩阵,若通过学习得G=In×n(n×n 单位阵),则y(t)=s(t),从而达到分离目的。实际上,只要G的各行各列只要有一个元素接近1而其他接近零,则可认为分离成功。由ICA分离得到的各源信号存在两种内在的不确定性:排列顺序不确定;复幅值不确定[3-5],但这并不影响最终对信号的识别。

2 分离方法

分离过程可分为三个部分:

(1) 观测混合信号的中心化;

(2) 观测混合信号的白化;

(3) 提取源信号。

在分离过程中假设观测混合信号已经过中心化,其均值为零。

2.1 观测混合信号的白化

白化(Whitening)定义为对于观测的混合混沌信号x寻找线性变换V,使得变换后的信号z:z=Vx是白的。“白的”是指变换后各源信号分量zi是不相关的且具有单位方差。

线性变换V一般可利用协方差矩阵的特征值法(EVD)来求得。混合信号的协方差为:

E{xxT}=EDET

(3)

式中:E是E{xxT}的特征向量的正交矩阵;D是相应的特征向量的对角矩阵,D=diag(d1,d2,…,dn),则可令线性白化矩阵为:

V=ED-12ET

(4)

可以证明此时z为白化的:

E{zzT}=VE{xxT}VT=ED-12ETEDETED-12ET

=I

(5)

2.2 基于峭度的快速不动点分离法(FastICA法)[3,6]

极大非高斯性分离定理指出,混合混沌信号的各源信号是极大非高斯性分量。在对混合混沌信号分离中,极大化y=wTz的峭度(z为预处理中经白化后的零均值观测混合信号),可以得到混合混沌信号中各分量的估计值。当采用梯度算法极大化峭度的绝对值时有:

kurt(wTz)w=4sign\•

{E[z(wTz)3-3ww2}

(6)

当令式(6)中,峭度的梯度与w相等,即可得到:

w∝{E[z(wTz)3]-3w2w}

,(w2=1)

(7)

由式(7)可得不动点迭代算法,此时可以先计算右面的项,并将其赋给w作为新值。

wE[z(wTz)3]-3w

(8)

由此可得不动点的两步迭代算式:

wTi(k+1)=E[z(wTi(k)z)3]-3wiwTi(k + 1)wi(k + 1)wi(k + 1)

(9)

该算法也被称为FastICA。实际应用时,E[z(wTi(k)z)3]需用各时刻的统计均值代替,收敛后得到的wTi是矩阵中的一行,所以yi(t) =wTiz(t)就是分离出的混合混沌信号中某一个源信号si(t)。原理上,可以多次运行算法而获得多个源信号,但这并不可靠。要应用极大化非高斯原理,以估计更多的源信号时利用:在白化空间中,不同的源信号对应向量wi是正交的。因此,当估计多个源信号时,需将上述一元算法运行多遍,而为了避免不同的向量收敛至同一个极值点,必须在每次迭代后将w1,w2,…,wm进行正交化。

在正交化时一般采用并行正交化,其可以使源信号能够并行估计,同时被分离出来。W的对称正交化可以通过矩阵平方根的方法来实现。

W(WWT)-12W

(10)

式中:(WWT)-12可通过对WWT进行特征值分解得到。

(WWT)-12=ED-12E

(11)

式中:E为WWT的特征向量的正交矩阵,D是相应的特征向量的对角矩阵,D-12=diag(d-121,d-122,…,d-12m)。

3 仿真实验

下面,应用基于峭度的FastICA分离法对混合混沌信号的分离进行仿真实验。仿真中定义分离性能指标为:

PI=1n(n-1)∑ni=1∑nk=1gikmaxjgij-1+

∑nk=1gkimaxjgij-1

(12)

分离出的估计信号y(t)与源信号s(t)波形完全相同时,PI=0;实际上当PI=10-2时说明算法分离性能已经相当好。

实验1:两个不同模型的混沌信号混合的分离

两个混沌信号分别为logistic map与henon map,

其中:logistic map 映射方程为x(n)=μx(n-1)[1-x(n-1)],式中μ=4,初始值为0.2。henon map 映射方程为x(n)=y(n-1)+1-ax(n-1)2,y(n)=bx(n-1);式中a=1.4,b=0.3。取10 000个观测点,舍去前3 000个点(确保系统进入混沌状态)再取其后连续的150个点进行分离仿真。混合信号中一路观测信号与源信号明显不同,另一路波形与logistic map相似,但幅值有明显变化。经11次迭代后收敛,分离后不影响对信号的最终识别(见图2)。该实验分离指数为PI=0.063 4。

图2 分离logistic与henon两个不同模型的混沌信号

实验2:logistic map与均方差为1的高斯白噪声(GWN)的混合 在仿真中logistic map采用实验1的映射方程,式中μ=4,初始值为0.2,高斯白噪声的能量为1。同样,当确保进入混沌状态后,再取150个连续的点进行仿真。一路混合信号形似噪声,此时混沌信号被“淹没”在噪声中,经FastICA法分离,11次迭代后,将混沌信号从噪声中“抽取”出来(见图3)。分离性能指数为PI=0.050 4,表明很好地将信号分离出来。

图3 logistic map与标准高斯白噪声的分离

实验3:混沌信号与谐波信号混合的分离 混沌信号为logistic map,其映射方程为 x(n)=μx(n-1)[1-x(n-1)],式中μ=4,初始值为0.2。谐波信号为Asin(2πft+φ),式中A=0.02,归一化频率f=0.3,初相位φ=1。混沌信号与谐波信号混合时,微弱的谐波信号“隐藏”在强混沌信号中,应用本文的方法可快速有效地将其从中分离出来。此外在强谐波信号背景中,混沌信号“淹没”在其中时,也可很好地将混沌信号从中分离出来。同样,在本实验中经11次迭代后收敛(见图4),分离性能指数为PI=0.074 5,同样表明,可以很好地将混合混沌信号分离开来。

将上述实验时FastICA法分离性能列表,见表1。

图4 混沌信号与谐波信号的分离

表1 FastICA 法进行分离时分离性能指数

混合混沌信号logistic与henonlogistic与高斯白噪声logistic与谐波

可分离性0.063 40.050 40.074 5

4 结 语

本文提出基于独立分量分析的方法对混合混沌信号进行分离,利用各源信号独立,基于极大非高斯性原理,应用FastICA法对此类信号进行分离,在未知混合情况时,实现此类信号的盲分离,通过实验仿真,分离性能指数均可达10-2,表明该方法可以很好地将此类信号分离开来。

参考文献

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[3]Aapo Hyvarinen,Juha Karhunen Erkki Oja.Independent Ccomponent Analysis[M].John Wiley and Sons,2001.

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[5]杨福生,洪波.独立分量分析的原理与应用[M].北京:清华大学出版社,2006.

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