高考平面解析几何全解读

本专题内容主要包含直线的方程、圆的方程，直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程及其几何性质的应用，曲线与方程等知识，是高考考查的重点内容．　平面解析几何知识在历年高考试题中都占有较大的比重，一般选择题、填空题有2题左右，解答题1题，分值大约20分．　选择题、填空题主要考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的定义、方程和其简单几何性质的应用等重要知识，关注基础知识的应用、运算能力和数形结合思想的渗透．解答题大多数以圆锥曲线（主要是椭圆和抛物线）为载体，综合直线、圆、向量、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对坐标法思想、方程思想、数形结合思想、等价转化思想、设而不求思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则．

1．　考纲解读：

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素（两个点、一点和方向）．

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．

（3）根据斜率判定两条直线平行或垂直，根据两条直线平行或垂直的位置关系求直线方程中参数的值．

（4）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）的特点和适用范围；根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；体会斜截式与一次函数的关系．

（5）了解二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．

（6）探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式；会求两条平行直线间的距离．

2．　考场对接：

通过2012年的考点统计可以看出，在高考题中，本节内容主要以选择题、填空题为主要题型，考查两直线的位置关系，属于基础题，难度不大．对直线与方程的考查，还渗透在平面解析几何的解答题中，与其他知识（圆与圆锥曲线）结合出题．

3．　经典例题：

（2012浙江）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）

A．　充分不必要条件

B．　必要不充分条件

C．　充分必要条件

D．　既不充分也不必要条件

失分警示 本题属于基础题，解题时注意判断充分必要条件的步骤，即先验证充分性，再验证必要性，最后综合起来下结论．　在表述的时候要弄清顺序关系，以防发生概念错误．

方法突破 在研究充分和必要条件时，可先求一者的等价条件，再和另一者作比较．

完美答案 当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有■=■，解得a＝1或a＝-2．　故选A．

4．　命题趋势：

直线的方程、两直线的位置关系、距离问题一直是高考考查的热点问题，单纯考查直线的知识一般在选择题、填空题中出现；直线和其他知识的交汇问题一般出现在解答题中，有一定的难度．

1．　考纲解读：

（1）回顾确定圆的几何要素（圆心、半径，不在同一直线上的三个点等），在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；根据问题的条件，选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，会进行互化．

（2）根据给定直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）；根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）．

（3）用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

（4）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“数”与“形”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用．

（5）通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；掌握空间两点间的距离公式及其应用．

2．　考场对接：

圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的重点，在2012年高考试题中，主要在选择题、填空题中考查直线与圆、圆与圆的位置关系，尤其是含参数的问题，考题基本上属于中低档难度的题．

3．　经典例题：

（2012天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y－2=0与圆（x－1）2+（y－1）2=1相切，则m+n的取值范围为（ ）

失分警示 本题属于中档题，考查直线与圆的位置关系，不等式的性质.　注意不要忽略了m，n∈R这个条件，在运用基本不等式时注意其成立的条件，求取值范围时注意不要扩大或缩小范围．

方法突破 由直线与圆相切的条件可以得到一个关于m，n的等式，观察等式的性质，利用基本不等式的形式消除差异，化为关于m+n的不等式，解出其取值范围即可．

完美答案 因为直线（m+1）x+（n+1）y－2=0与圆（x－1）2+（y－1）2=1相切，所以■=1，化简得mn=m+n+1.　又当m，n∈R有不等式mn≤■■成立，所以mn=m+n+1≤■，即（m+n）2－4（m+n）－4≥0，解得m+n≤2－2■或m+n≥2+2■.　故选D．

■ （2012江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2－8x+15=0，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_________．

失分警示 本题属于中档偏难题，解答本题时不要被题中的表面意思所迷惑，要透过现象看本质，认真审清题意，将题意中的关系进行合理的转化．

方法突破 数形结合理解题意，将两圆的位置关系化为圆C的圆心到直线y=kx－2的距离的取值范围问题去处理．

完美答案 圆C的方程可化为（x－4）2+y2=1，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆C上的点到直线上的点的距离的最小值小于或等于1，则圆心C（4，0）到直线y=kx－2的距离小于等或等于2.　所以■≤2，解得0≤k≤■，故k的最大值是■．

4．　命题趋势：

预计2013年高考仍将在选择题、填空题中考查圆方程的求解，直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，特别是含参数的位置关系问题仍将是考查的重点和热点．　而在解答题中，则有可能考查以圆为背景的综合试题，特别是圆与圆锥曲线的整合问题．

1．　考纲解读：

（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

（2）掌握椭圆的定义和几何图形及标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

2．　考场对接：

纵观2012年高考数学试题可以看出，选择题、填空题主要考查椭圆的定义、标准方程和几何性质的理解与应用，椭圆的离心率等相关知识，难度中等；解答题主要考查椭圆的标准方程、几何性质的应用，特别地，直线与椭圆的位置关系问题是考查的热点问题，且有一定的难度．

3．　经典例题：

失分警示 结合图形，审清题意，注意三角形哪个角是底角，细心运算，避免发生运算失误．

方法突破 求解圆锥曲线的离心率（或其范围）的关键是根据已知条件寻求一个关于a，b，c的等式（或不等）关系，再结合a，b，c的固有关系消去b，最后得到a，c的等式（或不等）关系，从而求得离心率（或其范围）．

4．　命题趋势：

椭圆是命题的热点内容，预计2013年的高考仍将在选择题、填空题中考查椭圆的标准方程、离心率的求解等知识，难度中等；将在解答题中重点考查直线与椭圆的位置关系问题，可能还会出现一些创新题型，如新定义题型、探索性问题、定点定值问题等，此类问题难度较大．同时，会加强椭圆与圆，椭圆与双曲线，椭圆与抛物线等知识的交汇问题的考查力度．

1．　考纲解读：

了解双曲线的定义、图形和标准方程，会求双曲线的标准方程；会用双曲线的标准方程处理一些简单的实际问题；了解双曲线的简单几何性质．

2．　考场对接：

分析2012年高考试题可以看出，双曲线的考题基本上以选择题、填空题为主，主要考查双曲线的定义、方程和简单几何性质的应用，且出现了双曲线和圆、椭圆、抛物线等的整合问题，总体难度中等．

3．　经典例题：

（2012浙江）如图1，F1，F2分别是双曲线C：■－■=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．　若MF2＝F1F2，则C的离心率是（ ）

失分警示 本题的解题思路并不难得出，但运算量较大，在认真审题的前提下避免发生运算错误，同时注意双曲线的离心率的取值范围，谨防增根．

方法突破 本题考查双曲线的几何性质的应用，离心率的求解，突破的关键是正确求出P，Q两点的坐标（用a，b，c表示），再求出PQ的垂直平分线的方程，进而用a，b，c表示出M的坐标，由MF2＝F1F2列出等式，最终化为a，c的关系．

4．　命题趋势：

预计2013年高考仍将在选择题、填空题中考查双曲线的标准方程的求法、定义和几何性质的应用，其中离心率的求解和渐近线问题是考查的热点．　此外，仍会加强将双曲线和其他知识（如圆、椭圆、抛物线）进行交汇出题，题目难度中等偏低．

1．　考纲解读：

（1）掌握抛物线的定义、图形和标准方程，会求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

（2）了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单曲线的方程；掌握求直线和圆锥曲线的交点坐标的方法；进一步体会数形结合思想．

2．　考场对接：

透过2012年高考数学试题可以看出，抛物线是考查的热点问题，考题既在选择题、填空题中出现，也在解答题中出现．选择题、填空题重点考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的定义和性质的应用，以及抛物线在实际问题中的应用，同时还出现了抛物线与双曲线的交汇问题，难度中等．　解答题重点考查直线与抛物线的位置关系，抛物线与其他知识（如圆、不等式等）的整合问题，且出现了探索性问题，难度较大．而曲线与方程的考查则渗透在以上各大知识板块之中．

3．　经典例题：

（2012安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若AF=3，则AOB的面积为（ ）

失分警示 本题属于中档题，有一定的思维量，认真审题，找准关系，运算准确，避免发生思维受阻和运算错误．

方法突破 显然AB是抛物线的焦点弦，且已知AF=3，若结合抛物线的定义，则可以求点A的坐标，从而直线AB的方程便可以得到解决，具体见如下的解法一．　本题也可以设角度（见如下的解法二），通过三角关系来表示线段的长度，从而求出三角形的两边及其夹角的正弦值，再求面积．

（1）求抛物线C的方程；

（2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点M的横坐标为■，直线l：y=kx+■与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当■≤k≤2时，AB2+DE2的最小值．

失分警示 本题难度较大，综合性强，涉及的知识点多，属于直线、圆和抛物线的综合问题，解答时要注意数形结合思想的使用，审清题意.　解答第（1）小题难度不算大，但第（2）小题是一个探索性问题，有较大的运算量，需要扎实的运算功底，第（3）小题将直线、圆和圆锥曲线综合起来，难度较大，需要较强的分析问题和解决问题的能力．

方法突破 第（1）小题结合抛物线的定义以及圆的相关性质可以列出一个关于p的方程，求解即可；第（2）小题可先假设存在点M，利用抛物线的切线斜率和直线MQ的斜率相等列等式求解；第（3）小题的解题目标是将AB2+DE2表示为关于k的函数，从而化为求函数的最值问题去处理，但求两线段的长度需要用到直线与圆锥曲线相交弦长公式AB=■，以及直线与圆的相交弦长公式DE=2■等．

完美答案 （1）x2=2y．

4．　命题趋势：

预计2013年高考中，抛物线仍是考查的一大重点，抛物线的标准方程的求法，抛物线的定义和性质的应用，抛物线与其他知识的交汇问题仍将是命题的热点．此外，定值定点问题、探索性问题、轨迹方程问题、最值问题仍将是试题创新的一个方向．