一种新型离散指数混沌映射的实现及其研究

摘 要： 针对Logistic映射参数简单、混沌区间范围小的缺点，提出一种新型的离散指数混沌映射。通过引入指数项和增加参数个数，进而扩大映射的混沌区间。利用常规的动力学分析方法，对指数混沌映射进行了动力学特性分析，包括Lyapunov指数图、分岔图等。在此基础上，对Logistic映射和离散指数混沌映射进行了特性比较。最后对由该离散混沌映射产生的序列进行NIST测试，测试结果表明序列性能更良好。

关键词： 指数混沌； Logistic映射； 动力学特性； 序列性能分析

中图分类号： TN918?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）01?0083?03

0 引 言

混沌信号应用于保密通信，是目前信息安全研究领域的热点之一[1?3]。考虑到模拟混沌系统在通信中同步不易实现，并且离散混沌系统有着运算简单速度快的特性，可以选用离散混沌映射应用于保密通信中。

1976年，生物学家R. May在《Nature》，提出了Logistic映射。它向人们表明简单的确定论数学模型竟然也可以产生看似随机的行为。在Logistic映射提出后，许多专家学者对其进行了研究。但是Logistic映射存在参数少，并且混沌区间范围较小的缺点，这就导致Logistic映射产生的伪随机序列用于加密时的密钥空间小。

为了克服Logistic映射的上述缺陷，本文提出了一个新的一维离散指数混沌映射，并对该映射进行了基本动力学特性分析，包括Lyapunov指数图和分岔图等。最后对由该映射产生的混沌伪随机序列进行NIST测试，测试结果表明序列随机性能良好。

1 指数混沌映射的构造

一维离散混沌映射主要以Logistic映射为代表，该方程是一个具有重要意义的非线性迭代方程，具体表示如下：

[xn+1=μxn（1-xn）=μxn-μx2n， 0≤μ≤4，xn∈[0，1]] （1）

当[μ=4]时，映射称为满映射。为了研究满映射的情况，将方程（1）拆分为一个线性项和一个二次曲线项，令[y1=4x，y2=4x2，]则[y1-y2]代表的是[MN]线段的长度，也就是映射的迭代值，且[MN][∈][0，1]，如图1（a）所示。线段[MN]在[x=]0和[x=1]处的长度均为0，代表映射过（0，0）和（1，0）点。[MN]与[MN]代表不同的迭代值。

在Logistic映射的基础上，通过引入指数项和二次曲线项，构造如下离散混沌方程：

[xn+1=exn-a（xn-b）2+c] （2）

类比以上方法，令[y1=ex，][y2=a（x-b）2-c，][MN]代表映射的迭代值，如图1（b）所示。令[y=ex-a（x-b）2+c，]则对[y]求导得[y′=ex-2a（x-b）。]假设[MN]线段在[x=0]和[x=1]处长度都为0，即映射过（0，0）和（1，0）两点，并且取[x]值时映射值为1。因此可以得到以下方程组：

[1-ab2+c=0e-a（1-b）2+c=0ex-2a（x-b）=0ex-a（x-b）2+c=1] （3）