Unscented卡尔曼滤波对目标位置预测

摘 要： 采用一种针对目标位置预测只能测量角度信息的卡尔曼滤波算法，实现对目标的位置、速度和加速度的估计。由于是纯方位目标运动分析，所以一般的线性滤波方法不能使用，主要使用UKF滤波算法，并给出了具体步骤。通过仿真运算与以前的方法进行比较，发现该算法实现方便，并在滤波精度、稳定性和收敛时间等方面有了很大提高。

关键词： 纯方位目标运动； 非线性滤波； UKF； EKF

中图分类号： TN953?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）01?0034?04

0 引 言

在现实的目标运动分析中，目标运动方程的建立一般都不是线性的，特别是针对红外寻的制导导弹，导引头仅能够测量角度或角速度信息，无法测量出弹目相对距离、相对速度和目标加速度等先进制导律所需要的制导参数问题。尽管有些可以近似看成线性系统，但是大多数的系统不仅不能用线性微分方程描述，而且其非线性因素还不能忽略。此外有时为了更加精确地得到滤波结果，也必须应用反映实际系统的非线性模型，因此对于非线性系统的滤波是一个必须要解决的问题。

由于一般的非线性系统在理论上难以找到严格的递推滤波公式，因此目前只能采用近似方法研究，而线性化是用近似方法来研究非线性滤波问题的重要途径之一，这就是扩展卡尔曼滤波算法（EKF）。但是EKF线性化过程中忽略了二阶以上的分量，因此在滤波精度上存在着较大误差。为了弥补EKF方法的不足，人们希望通过对非线性函数的概率密度分布近似，来代替对非线性函数的近似，这样就可以利用采样逼近的方法来解决非线性问题。1997年，Juliear S.J.和Uhlman J.K.提出了一种新的非线性滤波方法——Unscented卡尔曼滤波（UKF）。UKF不需要对非线性系统的状态方程和观测方程进行线性化，而是利用Unscented变换（UT）方法来近似非线性函数的概率密度分布，因此UKF方法在计算精度上要高于EKF方法，并且不需要计算状态转移矩阵的雅可比矩阵，这使得其应用范围更加广泛。

1 UT

UT是UKF的基础，UT的思想是用固定数量的参数去近似一个高斯分布，这比近似任意的非线性函数或变换更容易。

UT的具体公式如下：

[χ0=x] （1）

[χi=x+（n+λ）Pxi， i=1，2，…，n] （2）

[χi=x-（n+λ）Pxi， i=n+1，…，2n] （3）

式中：[λ=α2（n+k）-n]是一个比例因子。[α]决定[x]周围[χ]点的分布状态，调节[α]以使高阶项的影响达到最小，通常选择[0≤α≤1。]对高斯分布的情况，当状态变量为单变量时，选择[k=2；]当状态变量为多变量时，选择[k=3-n。][（n+λ）Pxi]是矩阵[（n+λ）Px]的第[i]列（当[P=]ATA时，取[（P）i]的第[i]行；当[P=AAT]时，取[（P）i]的第[i]列）。[χ]点的选取就是选取尽可能代表[X]分布的点，而这些点的分布程度取决于[n+λ]的大小。

[y]的均值和方差可以通过下述公式获得：

[yi=f（xi）， i=1，2，…，2n] （4）

[y=i=02nWmiyi] （5）

[Py=i=02nWpi（yi-y）（yi-y）T] （6）

[Wm0=λ/（n+λ）] （7）

[Wp0=λ（n+λ）+1-α2+β] （8）

[Wmi=Wpi=12（n+λ）， i=1，2，…，2n] （9）

其中[Wmi]和[Wpi]分别对应着计算[y]的均值和方差的加权系数，要求[i=02nWmi]=[i=02nWpi]=1。

2 UKF滤波算法

设非线性系统的状态方程和观测方程为：

[x（k+1）=φ[x（k），w（k），k]] （10）

[z（k+1）=h[x（k+1），v（k+1），k+1]] （11）

式中：[x（k）]为[n]维状态向量；[z（k）]为[m]维的观测向量；[w（k）]为系统噪声，[v（k）]为观测噪声，假设它们是均值为零的高斯白噪声，且互不相关；[φ（?）]为[n]维向量方程，是[x（k）、][w（k）]和[k]的非线性函数；[h（?）]为[m]维向量方程，是[x（k+1）、v（k+1）]和[k+1]的非线性函数。具体算法如下：

（1）设置初值

[x（0）=E[x（0）]]

[P（0）=E{[x（0）-x（0）][x（0）-x（0）]T}]

（2）当[k>1，]计算[2n+1]个[χ]点：

[χ（k-1）=x（k-1），x（k-1）+（n+λ）P（k-1）i， x（k-1）-（n+λ）P（k-1）i， i=1，2，…，n]

（3）时间更新

[χk（k-1）=φ[χ（k-1）]]

[x（k）=i=02nWmiχ（k（k-1））]

[P（k）=i=02nWpi[χ（k（k-1）-x（k）][χi（k（k-1））-x（k）]T+Qk]

[z（k（k-1））=H[χ（k（k-1）]]

[z（k）=i=02nWmizi（k（k-1））]

（4）测量更新

[Pz（k）z（k）=i=02nWpi[zi（k（k-1））-z（k）][zi（k（k-1））-z（k）]T+Rk]

[Px（k）z（k）=i=02nWpi[χi（k（k-1））-x（k）][zi（k（k-1））-z（k）]T]

[K（k）=Px（k）z（k）P-1z（k）z（k）]

[x（k）=x（k）+K（k）[z（k）-z（k）]]

[P（k）=P（k）-K（k）Pz（k）z（k）KT（k）]

扩展卡尔曼滤波是通过对非线性方程进行线性化变化得到线性部分，经过泰勒展开式可以得出这种方法的精度为一阶水平，而UKF算法则可以使均值精确到非线性部分泰勒展开式的三阶水平，方差精确到二阶水平。

3 UKF对目标位置预测的应用

3.1 模型

对目标飞机的运动进行建模时，可以将目标飞机看成一个质点，由于假设目标作直线运动的论文比较多，在此本文主要做目标机动的建模仿真。飞机最常见的机动动作是盘旋，而飞机匀速圆周运动的定常盘旋最具有代表性，故以此来建模仿真。其速度与过载的关系如下：

[XT=VTx=VTcosθcosψYT=VTy=VTsinθZT=VTz=-VTcosθsinψ] （12）

式中：[VT]表示目标飞机速度；[θ]表示倾角；[ψ]表示偏角；[XT，YT，ZT]为目标飞机在地面坐标系中的位置。

飞机在遭遇导弹攻击以后，一般会进行机动飞行来逃避导弹攻击，下面建立飞机等过载机动模型：

[ny=Constantnz=Constantnx=sinθ] （13）

式中：[nx]表示飞机切向过载；[ny，nz]表示法向过载在[y]轴和[z]轴上的分量。

3.2 仿真及结果分析

3.2.1 不同过载下目标机动

设目标飞机以0.6 Ma≈200 m/s的速度做[nf=2]到[nf=9]的盘旋机动，跟据公式（12）计算出匀速状态下飞机各个过载的盘旋半径和周期，观测噪声的方差矩阵[R=][0.01]，滤波误差的协方差初始矩阵为[P（0）=][2 500，0，0；0，2 500，0；0，0，0.000 1]，离散时间[T=0.1]s，分别进行仿真，仿真结果如图1～图7所示。在UKF中[α=0.5，][β=2。]

从图1，图2中可以看到使用EKF和UKF都能对目标的位置进行预测，但是当误差稳定时，UKF的误差要小于EKF的误差，同时从图2中还能看到UKF的收敛速度要高于EKF。

图1 [nf]=2时弹目[x]轴距离

图3～图6分别是飞机在过载为4和过载为7的盘旋条件下进行的弹目仿真。从图上可以看到随着飞机的过载加大，飞机的机动性增强，机动半径减小，机动时间缩短，跟踪算法由于目标的机动性增大而相应误差增大，跟踪时间变长，但是UKF算法在飞机做大机动的前提下仍优于EKF算法。飞机在不同过载下分别被跟踪的数据见表1。

图2 [nf]=2时两种算法误差

图3 [nf]=4时弹目[x]轴距离

图4 [nf]=4时两种算法误差

从表1中可以看到，随着过载的增大，EKF和UKF的跟踪效果都在降低，主要原因在于目标机动的过载变大，时间变短，机动的半径变得较小，跟踪误差增大。但是两种算法相比较，UKF仍优于EKF算法。

3.2.2 测量干扰较大的目标机动

从上述的实验仿真确定了在相同的条件下UKF算法的精度和收敛速度要高于EKF算法。但是在现实中，导弹的探测信息中存在多种噪声，如视线角速度的量测误差，导引头量测误差，失调角零位的测量误差等等，这些因素都会引起信号量测值的波动。因此算法的抗干扰能力对于导弹的跟踪效果显得尤为重要。假设目标以0.6 Ma的速度匀速盘旋，观测噪声方差阵[R=][0.01]，陀螺回转中心与位标器质心不重合引起的漂移服从[0.01*N（0，1），]滤波误差的协方差初始矩阵[P（0）=][2 500，0，0；0，2 500，0；0，0，0.000 1]，离散时间[T=]0.1 s，仿真如图7所示。

图5 [nf]=7时弹目[x]轴距离

图6 [nf]=7时两种算法误差

图7 EKF和UKF误差对比

从图7中可以看到UKF算法的抗干扰能力更强，更适合在干扰较强的环境中运用。

4 结 语

本文介绍了UT和UKF的概念，并将其应用到飞行目标的跟踪，在观测值为角度的情况下，对目标的状态进行了较好的估计，同时在比较UKF和EKF算法中，反映出UKF能对所有高斯输入向量的非线性函数进行近似，均值精确到三阶，方差精确到二阶，并且不需要计算雅可比矩阵来对非线性函数作近似变换，能处理非可导的非线性函数，计算量与EKF相当。理论分析和仿真结果均表明，UKF算法对于目标方位跟踪领域较其他以往的滤波算法更加稳定，精度更高。

参考文献

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