时间：2023-10-31 01:42:45
[关键词] 中考 规律探索题 学习能力
近几年来，中考中出现了一类热点题型，它要求学生通过对题目中所给出的一些“数或图形”的特点分析其规律，从而给出结论。这就是所谓的“规律探索题”。
纵观这几年各地的中考试题，这种题型频频出现，让老师和学生很难捉摸，也让很多学生在中考中失分严重。这种题目要通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并能对所做出的猜想进行验证，能进行一些简单的、严密的逻辑论证，并有条理地表达自己的证明。笔者探究发现，这种题可以分为以下几种类型。
一、数字中的规律题
数字规律题给出一个数列，但其中缺少一项或找出其中的通项，要求学生仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的排列规律。在解答数字规律题时需要注意以下两点：一是反应要快；二是掌握恰当的方法和规律。一般而言，先观察前面相邻的两三个数字之间的关系，在大脑中假设出一种符合这个数字关系的规律，并迅速将这种假设应用到下一个数字与前一个数字之间的关系上。如果得到验证，就说明假设的规律是正确的，由此可以直接推出答案；如果假设被否定，就马上改变思路，提出另一种数量规律的假设。另外，有时从后往前推，或者“中间开花”向两边推也是较为有效的。
两个数列规律有时交替排列在一列数字中，是数字规律测验中一种较为常见的形式。只有当你把这一列数字判断为单数项与双数项交替排列在一起时，才算找到了正确解答这道题的方向，你的成功就已经是80%了。由此可见，即使一些表面看起来很复杂的排列数列，只要我们对其进行细致的分析和研究，就会发现，将相邻的两个数相加或相减、相乘或相除之后，它们也不过是由一些简单的排列规律复合而成的。只要掌握它们的排列规律，善于开动脑筋，就会获得理想的效果。
【例1】（2010辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，点A1（1,1），A2（2,4），A3（3,9），A4（4,16），……,用你发现的规律确定点A9的坐标为 。
评析：此时你会发现横坐标是从1开始的自然数，纵坐标是横坐标的平方，这样你就可以得到结果。
【例2】（2010江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）。
A.38 B.52 C.66 D.74
评析：本题你会发现四格按左上—左下—右上是按偶数的顺序排列，但第四项不是，它是由左下和右上的两数乘积减去左上的数得到，由此可以得到，所以选D。
二、字母规律题
这类题其实同上面的差不多，但这里会加上一些字母，还会加上一些数字，所以分析这类题有时要分几条线来思考。
【例3】（2010广东肇庆）观察下列单项式：a，－2a2，4a3，－8a4，16a5，……，按此规律第n个单项式是______。（n是正整数）
评析：这个题目可以先考虑符号为正、负相隔，得到（－1）n－1，再考虑前面的系数，得到2n－1，最后考虑字母，得到an，综合得到（－2）n－1an。也可以分两条线，先考虑前面的数是（－2）n－1，再考虑字母，得到an，综合得到（－2）n－1an。
【例4】（2010浙江衢州）已知a≠0，，，，……，，则 （用含a的代数式表示）。
评析：这题只要试算前面4个（、、、），就会发现与反复出现，也就是说下标是奇数就会得到；下标是偶数就会得到。2010是偶数，所以。
三、几何图形规律
这类题型主要是图形中的一些规律，而做这些题也要把它变成数字，从而在数字中寻找规律。
【例5】（2010湖北荆州）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（ ）。
评析：根据转化为数字有5、8、11……，然后从中寻找规律，从而可以得到第n个图需要的棋子应该为：3n+2。
【例6】（2010福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ）。
A.669 B.670 C.671 D.672
评析：先根据每次操作后得到的图形个数转化为数字4、7、11……，再在这些数字中找到规律，然后得到第n次操作后图形个数为3n+1，最后列出3n+1=2011这个方程，再解出这个方程，得到n=670，从而选B。
【例7】（2010山东日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图。他们研究过图1中的1，3，6，10，……，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，……这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）。
A.15 B.25 C.55 D.1225
评析：这题可以用排除法，先根据满足“正方形数”可以排除A和C，再根据“三角形数”规律（1+2+3+4…n，1+2+3+4+5+6＜25＜1+2+3+4+5+6+7），所以又排除了B，因此只能选D。
综上所述，规律题的探索主要还是要注意数字之间的规律，字母和图形规律题其实也是可以转化为数字之间的规律的。还有，就是要多熟悉一些题型，争取一看到同类的规律就能很快地套用和想到，即使一些表面看起来很复杂的排列数列，只要我们对其进行细致的分析和研究，就会发现其规律。再者，对于规律探索题，学生只有通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思维相结合，才能得出结论，对学生分析问题和解决问题的能力有较高的要求。在考试占主导地位的今天，用于选拔人才，规律探索题因而备受命题者的青睐。在中考中屡试不爽，成为中考的常规题型。因此，笔者认为：作为初中毕业班的教师，不仅要教会学生书本、考纲中的内容，还要注重知识深化和逻辑推理。最重要的是要教会学生利用知识和会思考问题，具有一定的拓展能力。不要只给学生“鱼”，更要给予学生“渔”。不要只是为了考试而教学生，要注意学生的长远发展。让学生平时就善于开动脑筋，以获得理想的效果。
[参考文献]
1.杜志建《2010年全国各省市中考试题汇编》（新疆青少年出版社）
2.高 峰《广东2012中考高分突破》（世界图书出版公司）
3.刘喜丰《中考专题突破高效练习作业本》（世界图书出版公司）
例1观察下列数列：
1，0，－1，0，1，1，0，－1，0，1，1，0，－1，0，1，……
通过观察，用你所发现的规律写出第2006个数字是 ．
分析：通过观察，我们发现第1个数字到第5个数字分别是1，0，－1，0，1这5个数字，而第6个数字到第10个数字则又重复1，0，－1，0，1这5个数字．可见，这些数字是以1，0，－1，0，1这5个数字为一“组”循环反复的．
猜想：这些数字与项数除以5的余数有关．因为：第1项有1＝0……1，余数是1时此项数字为1；第2项有2＝0……2，余数是2时此项数字为0；第3项有3＝0……3，余数是3时此项数字为－1；第4项有4＝0……4，余数是4时此项数字为0；第5项有5＝1……0，余数是0（即整除）时此项数字也为1．
进一步验证：第6项有6＝1……1，余数是1时此项数字也为1；第7项有7＝1……2，余数是2时此项数字也为0；第8项有8＝1……3，余数是3时此项数字也为－1；第9项有9＝1……4，余数是4时此项数字也为0；第10项有10＝2……0，余数是0（即整除）时此项数字也为1，与猜想完全相符．由此判断我们的猜想是正确的．
利用这一猜想即可很容易地求出此数列第2006个数字，因为2006＝401……1，项数除以5的余数是1，此项数字应为1，因此第2006个数字是1．
例2（2006年江苏无锡）根据图中箭头指向的规律，
1256910
……
03478
从2004到2005再到2006，箭头的方向是（ ）
（A） （B）（C） （D）
分析：观察前8个数的箭头指向：先向上（“”）再向右（“”）再向下（“”），又向右（“”），然后重复向上（“”）再向右（“”）再向下（“”），又向右（“”）．可把0、1、2、3这四个数分成一组，把4、5、6、7这四个数分成一组．
猜想：箭头指向与数字除以4（每组四个数）的余数有关．因为： 0＝0……0，余数是0即整除时箭头指向向上（“”）； 1＝0……1，余数是1时箭头指向向右（“”）； 2＝0……2，余数是2时箭头指向向下（“”）；3＝0……3，余数是3时箭头指向向右（“”）．
进一步验证：4＝1……0，余数是0即整除时箭头指向向上（“”）； 5＝1……1，余数是1时箭头指向向右（“”）； 6＝1……2，余数是2时箭头指向向下（“”）；7＝1……3，余数是3时箭头指向向右（“”）．箭头指向与题目所给箭头指向完全一样，猜想正确．
利用这一猜想即可得到问题的解答：
因为2004＝501……0，余数是0即整除时箭头指向向上（“”）； 2005＝501……1，余数是1时箭头指向向右（“”）．因此从2004到2005再到2006的箭头指向是：
20052006
应选A．
2004
例3（2004年青海西宁）观察下列等式：
21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，
25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，
……
通过观察，用你所发现的规律写出21995的末位数字是．
分析：当等式左边幂的指数从1增加到4时，右边结果的个位数字依次是2，4，8，6；而当等式幂的指数从5增加到8时，右边结果的个位数字依次重复2，4，8，6．可见，末位数字是以2，4，8，6这4个数字为一“组”循环反复的．
猜想：末位数字与指数除以4的余数有关．因为：次数是1时，1＝0……1，余数是1时此项末位数字为2；次数是2时，2＝0……2，余数是2时此项末位数字为4；次数是3时，3＝0……3，余数是3时此项末位数字为8；次数是4时，4＝1……0，余数是0（整除）时此项末位数字为6．
进一步验证：次数是5时，5＝0……1，余数是1时此项末位数字为2；次数是6时，6＝1……2，余数是2时此项末位数字为4；次数是7时，3＝1……3，余数是3时此项末位数字为8；次数是8时，8＝2……0，余数是0（整除）时此项末位数字为6，与猜想完全相符．因此可判断我们的猜想是正确的．
利用这一猜想即可求出21995的末位数字，因为次数1995＝498……3，余数是3时此项末位数字为8，因此21995的末位数字应是8．
综上所述，能应用“余数”规律解答的探索规律题，其解法技巧是：快速扫描已给出的条件，仔细观察和分析各数之间的关系，如果可按几个数字分成一“组”，则可大胆提出假设：这些数字应与项数或次数除以“组”中数字的个数的“余数”有关，并迅速将这种假设延伸到后面的数字中，如果能得到进一步验证，即说明找出规律，问题即可迎刃而解．
巩固练习：
1.为了庆祝2008年北京奥运会，市政工人按照1个红色球，2个黄色球，3个绿色球的顺序把气球串联起来装饰街道，则第2008个气球的颜色是（）．
A．红色 B．黄色 C．绿色D．不能确定
2.已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，……，则32007的末位数字是（ ）．
A.1 B.3 C.9D.7
下面我就以2010年江苏省语文高考试题为例，谈谈古典诗歌的解题程序和规律，以及引导学生如何规范古典诗歌的答题要领。
阅读下面这首诗，然后回答问题。（10分）
送魏二
王昌龄
醉别江楼橘柚香，江风引雨入舟凉。
忆君遥在潇湘月，愁听清猿梦里长。
（1）找出诗中点明送别季节的词语。由送别季节可以联想到柳永《雨霖铃》中直抒离别之情的哪两个句子？（2分）
（2）一、二两句诗中“醉别”、“江风引雨”表达了惜别深情，请作简要说明。（4分）
（3）三、四两句诗，明人陆时雍《诗镜总论》云：“代为之思，其情更远。”请作具体分析。（4分）
无论诗歌的命题形式如何变化，整体把握诗歌内容是解题的基础。只有真正理解整个诗歌的思想内容，才能真正做好古典诗歌鉴赏题。那么如何快速地整体把握古典诗歌的思想内容呢？
一、把握诗歌内容
要整体把握诗歌的思想内容，必须从以下几个方面着眼。
1.知人论世
“诗言志”，在鉴赏古诗时，我们应尽可能多地了解诗歌创作时的历史背景、作者的际遇及情感抱负。比如，王昌龄（公元698―756年），盛唐著名诗人，家境贫寒，开元十五年进士及第，授秘书省校书郎。王昌龄是盛唐著名诗人，名重一时，被称为“诗家夫子王江宁”。与当时名诗人交游颇多，交谊很深，除与李白、孟浩然的交游外，还同高适、李颀、岑参、王之涣、王维等都有交谊。他因数次被贬，在荒僻的岭南和湘西生活过，也曾来往于经济较为发达的中原和东南地区，并曾远赴西北边地。丰富的生活经历和广泛的交游，对他的诗歌创作大有好处。王昌龄擅长七言绝句，被后世称为“七绝圣手”。如《出塞》诗：“秦时明月汉时关，万里长征人未还。但使龙城飞将在，不教胡马度阴山。”慨叹守将无能，意境开阔，感情深沉，有纵横古今的气魄，确实为古代诗歌的珍品，被誉为唐人七绝的压卷之作。又如《从军行》等，也都为脍炙人口的名作。反映宫女们不幸遭遇的《长信秋词》、《西宫春怨》等，格调哀怨，意境超群；抒写思妇情怀和少女天真的《闺怨》、《采莲曲》等，文笔细腻生动，清新优美；送别之作《芙蓉楼送辛渐》同样为千古名作。
了解了诗人的相关背景有利于对诗歌思想内容的整体把握。诗人有如此的经历，就不难理解诗中的“醉“凉”“忆君”“愁”等情感了。
2.诗歌标题
标题是文章的眼睛，通过标题可以知道一些文章的内容。从《送魏二》题目直接可以看出这是一首送别诗，而一想到送别诗，学生就应该想到柳永《雨霖铃》、王维《渭城曲》、王勃《送杜少府之任蜀川》、王昌龄《芙蓉楼送辛渐》等脍炙人口的名篇，而这些诗歌表达的情感不外乎就是依依不舍的惜别之情、情深意长的勉励及坦陈心志的告白。
《送魏二》从标题看，也是一首送别诗，体现的必然，诗人和友人之间的送别之情。
3.紧抓诗眼
诗眼是诗歌中最能开拓意旨和表现力最强的关键词句，因而要分析诗眼，展示意境，感受情趣，领悟旨意。在《送魏二》中，“醉别”“忆君”“愁”“梦”这些关键词无非就是诗眼，能准确透露出诗歌本身的情感。诗人和友人为什么“醉别”？“愁”什么？等等，紧紧扣住这些诗眼，反复思考，自然就能揣摩出诗歌的思想内容。
4.意象意境
把握意象，感知意境。意境（或叫“境界”“境”），实际上是一种特殊的形象体系。在这体系中，既有十分鲜明，富有启示性的生命景象的图画，又包含诗人主观情感，两者融合而成的和谐的艺术境界，即所谓意境。简单地说，意境就是作者的思想感情与描绘的生活图景融合而成的一种艺术境界。
感知意境的方法就是发挥想象，补充画面。想象，是形象思维活动，是进行鉴赏性阅读的必要途径。考生在鉴赏过程中，必须通过自己的想象补充和扩大作品的生活画面，使平面的文字变成立体的空间，从而获得完整而丰富的形象美感。
抓住诗中的形象体系，确定意境的基调，理解、感受“此时”“此景”中的“此人”“此情”是什么。情感是读者在进入诗歌意境后的心理反应活动，是鉴赏阅读的重要环节。鉴赏诗歌必须真正进入作品的生活场景中，同作品中的人物或作者共同感受诗歌中的意境美、丰富的情感、生活的哲理或人生的启示，等等。
“江”“楼”“橘柚”“江风”“雨”“舟”“潇湘月”“清猿”等意象，构成了一幅迷离、凄清的秋天的画面，再联系“送别”这一主题，就能理解诗人送别友人时依依惜别的伤感心情。
5.诗歌注释
在高考试卷中，诗歌的注释不可忽略，往往暗示诗歌的内容。有的诗歌鉴赏题没有注释，若有，考生就要引起足够的重视，因为命题者添加注释，无非是为了降低试题的难度，帮助考生更好地理解诗歌内容。
总之，鉴赏诗歌一定要了解作者和背景，阅读标题，走进诗歌意境及揣摩可能有的注释，对诗歌有一个整体认知，再读题目，明确答题的要点，按照题目的要求答题。
二、明确答题要点
审清题目命制的角度，是思想内容的理解，还是艺术技巧的鉴赏呢？要根据要求寻找答题思路的切入点。
审题时要特别注意，题目要求是涉及诗的整体，还是只涉及某一联、某一句或某一词。同时还要注意，无论题目如何要求，答题时都必须建立在整体把握的基础之上。
如《送魏二》题目的要求是这样的：
（1）找出诗中点明送别季节的词语。由送别季节可以联想到柳永《雨霖铃》中直抒离别之情的哪两个句子？（2分）
（2）一、二两句诗中“醉别”、“江风引雨”表达了惜别深情，请作简要说明。（4分）
（3）三、四两句诗，明人陆时雍《诗镜总论》云：“代为之思，其情更远。”请作具体分析。（4分）
第1题，考查学生的筛选信息和识记的能力和学生对教材的熟悉程度，将课内教学和课外考查结合起来，这种命题方式有很好的导向作用，可以引导老师和学生重视教材的学习，扎扎实实地搞好语文课堂教学。
第1题答案：（1）橘柚香。多情自古伤离别，更那堪冷落清秋节。
第2题，涉及对诗歌思想的评价，命题者已经降低试题难度，明确告诉是“惜别深情”。要求做简要说明，实际就是要求考生到诗歌中去找根据，考查考生对诗歌内容的理解。
第3题，借用古人的鉴赏语，实质是考查考生对诗歌意境的理解和评价，“代为之思，其情更远”。这里的“之”指代谁？“情”是什么？第3题的难度明显高于第2题，只有理解了明人陆时雍《诗镜总论》的“代为之思，其情更远”这句话，考生才能答好题。
三、规范答题要领
理解了全诗，审好题，找准答题的切入口，最后就是要组织答案了，答题时一定要扣紧命题要求组织答案。
简答题，其实质就是微型论文，即必须有议论文三要素：论点、论据和论证。就诗歌鉴赏题而言，论点就是对问题的最直接的回答，比如表达了什么情感，运用了什么表达技巧等；论据是适当摘录诗中词句作答，并把摘录的词句用双引号标好，这样才能既条理清晰，又全面周到。
曾经有人将诗歌鉴赏题的答题模式进行归纳，分为分析意象、意境型、分析技巧型、炼字型、一词领全诗型、情感主旨型、评价题型等，但仔细研究就会发现，实际上无论是什么模式，无非包括三个方面，即表现手法、内容描述和概括、诗人情感等。这样理解，就能很好地掌握答题的要领，使得答题更有条理，也更容易接近得分点。
比如：
（2）一、二两句诗中诗中“醉别”、“江风引雨”表达了惜别深情，请作简要说明。
这里，命题者已经告诉考生“醉别”、“江风引雨”表达了惜别深情，观点（论点）已经很明确了，关键是考生结合诗词内容进行说明，如果按照表现手法、内容描述和概括、诗人情感等三个方面进行思考的话，参考答案应是这样的：
表现手法：双关、烘托等；内容概述：秋风秋雨的的凄清，诗人和友人依依惜别，两人借酒浇愁，“醉别”暗示着情谊之深，“江风引雨”气候已变，风雨入舟，“凉”，一语双关，虽是身体的感觉，却也暗示心理的感受，“引”与“入”字呼应，描绘了秋风秋雨的的凄清特点；诗人情感：悲凉一切景语皆情语，烘托了诗人和友人内心的悲凉的依依惜别之情。
标准答案是：惜别知音，借酒浇愁；凄凄风雨烘托悲凉的心情。
又如：
（3）三、四两句诗，明人陆时雍《诗镜总论》云：“代为之思，其情更远。”请作具体分析。（4分）
“代为之思，其情更远”就是观点（论点），还是让考生结合诗歌内容进行具体分析。
表现手法：想象和虚实结合；内容描述和概括：“忆君遥在潇湘月，愁听清猿梦里长”，这里由眼前的实景，想象友人到达潇湘之后的愁苦与孤寂的虚景，虚实结合。诗人情感：惜别深情。
标准答案是：由眼前情景转为设想对方抵达后的孤寂与愁苦，通过想象拓展意境，使主客双方惜别深情表达得更为深远。
一、交变电流的产生、变化规律（表达式、图象）
【考点解读】本章内容是电磁感应知识的应用和延伸，因此运用电磁感应定律来理解交变电流的产生及变压器的原理是关键和核心.交变电流的产生有：线圈绕垂直于匀强磁场的轴匀速转动产生的正弦交变电流；线圈不动磁场做周期性变化产生的正弦交变电流；线圈沿着垂直于匀强磁场的轴做往复运动产生的方波交变电流；单导体棒切割磁感线运动产生的方波形交变电流等等.总之可根据法拉第电磁感应定律E=nΔφΔt，部分导体切割磁感线运动E=BLv，导体旋转切割E=12BL2ω，以及闭合电路的欧姆定律、楞次定律、右手定则来灵活分析交变电流的产生及变化的规律.最终应能做到物理情景、函数关系、图象知其一可以求其二.
【真题体会】（2012年安徽卷）如图1所示，是交流发电机模型示意图.在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的OO′轴转动，由线圈引出的导线ae和df分别与两个跟线圈一起绕OO′转动的金属圈环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R形成闭合电路.图2是线圈的主视图，导线ab和cd分别用它们的横截面来表示.已知ab长度为L1，bc长度为L2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动.（只考虑单匝线圈）
图1图2图3（1）线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t时刻整个线圈中的感应电动势e1的表达式；
（2）线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，如图3所示，试写出t时刻整个线圈中的感应电动势e2的表达式；
（3）若线圈电阻为r，求线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热.（其他电阻均不计）
解析：（1）矩形线圈abcd转动过程中，只有ab和cd切割磁感线，设ab和cd的转动速度为v，则
图4v=ωL22
在t时刻，导线ab和cd因切割磁感线而产生的感应电动势均为
E1=BL1v
由图4可知
v=vsinωt
则整个线圈的感应电动势为
e1=2E1=BL1L2ωsinωt
（2）当线圈由图3位置开始运动时，在t时刻整个线圈的感应电动势为
e2=BL1L2ωsin(ωt+φ0)
（3）由闭合电路欧姆定律可知
I=ER+r
这里的E为线圈产生的电动势的有效值
E=Em2=BL1L2ω2
则线圈转动一周在R上产生的焦耳热为
QR=I2RT
T=2πω
于是得QR=πRωBL1L2R+r2.
【题后思】本题考查正弦交变电流的产生原理，侧重考查电磁感应中部分导体切割磁感线产生感应电动势、右手定则的应用，并综合了闭合电路欧姆定律.本题充分体现了新课标的要求，让学生注重过程与方法，明确学习不仅仅要记住结论，更要知道结论的来源.
【真题体会】（2011年天津卷）在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图5所示，产生的交变电动势的图象如图6所示，则（）
图5图6A．t=0.005s时线框的磁通量变化率为零
B．t=0.01s时线框平面与中性面重合
C．线框产生的交变电动势有效值为311V
D．线框产生的交变电动势频率为100Hz
解析：由图6可知，该交变电动势瞬时值的表达式为e=311sin100πt.当t=0.005s时，瞬时值e=311V，线圈垂直于中性面，此时磁通量的变化率最大，选项A错；当t=0.01s时，e=0V，此时线框处于中性面位置，磁通量最大，磁通量的变化率为零，选项B正确；对于正弦交变电流，其有效值为Emax/2，题给电动势的有效值为220V，选项C错；交变电流的频率为f=1/T=ω/2π=50Hz，选项D错.答案：B.
【题后思】本题考查的是常规的方形线圈绕垂直于匀强磁场的轴匀速转动产生的正弦交变电流的图象与表达式.看到正弦交变电流的图象能写出表达式，能够把表达式及图象中的点与线圈转动的位置对应起来，理解中性面及垂直中性面的位置磁通量、磁通量的变化率、电动势的特征.能从表达式中看出角速度、峰值，会算出有效值与频率.
【真题体会】（2011年安徽卷）如图7所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B.电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴以角速度ω匀速转动（O轴位于磁场边界）.则线框内产生的感应电流的有效值为（）
图7A．BL2ω2RB．2BL2ω2R
C．2BL2ω4RD．BL2ω4R
解析：交流电流的有效值是根据电流的热效应得出的，线框转动周期为T，而线框转动一周只有T/4的时间内有感应电流，则有(BLωL2R)2RT4=I2RT，所以I＝BL2ω4R，选项D正确.
【题后思】本题是一个小扇形线圈绕垂直于匀强磁场的轴匀速转动产生方波形的交变电流有效值的计算问题.考查了非正弦交变电流的产生及变化规律和有效值的计算.
二、交变电流的四值：瞬时值、有效值、最大值、平均值
【考点解读】交变电流的瞬时值、有效值、最大值、平均值是从不同角度表示交变电流大小的物理量，很多学生在学习和复习中对这四个类似但又需要严格区别的物理量分辨不清.理解好这四个值及其关系对于解交变电流相关的习题帮助很大.
图8【真题体会】（2009年天津卷）如图8所示，单匝矩形闭合导线框abcd全部处于磁感应强度为B的水平匀强磁场中，线框面积为S，电阻为R.线框绕与cd边重合的竖直固定转轴以角速度ω匀速转动，线框中感应电流的有效值I=.线框从中性面开始转过π2的过程中，通过导线横截面的电荷量q=.
解析：线框转动中电动势的最大值Em=BSω，电动势的有效值E=Em2，电流的有效值I=ER=2BSω2R；q=IΔt=ERΔt=ΔΦRΔtΔt=ΔΦR=BSR.答案：2BSω2R,BSR.
【题后思】本题考查交变电流的产生和最大值、有效值、平均值的关系及交变电流中有关电荷量的计算等知识.
【真题体会】(2013年海南卷)通过一阻值R=100Ω的电阻的交变电流如图9所示，其周期为1s.电阻两端电压的有效值为（）
图9A．12VB．410V
C．15VD．85V
解析：根据电流的热效应，由题意结合有效值的定义可得I2RT=2I21R25T+I22R110T，将I1=0.1A，I2=0.2A代入可得流过电阻的电流的有效值I=1025A，故电阻两端电压的有效值为IR=410V，本题选B.
【题后思】本题考查非正弦交变电流的有效值的计算.根据电流的热效应进行计算即可.
【真题体会】（2008年山东卷）图10、图11分别表示两种电压的波形，其中图10所示电压按正弦规律变化.下列说法正确的是（）
图10
图11A.图10表示交流电，图11表示直流电
B.两种电压的有效值相等
C.图10所示电压的瞬时值表达式为u=311sin100πtV
D.图10所示电压经匝数比为10∶1的变压器变压后，频率变为原来的110
解析：据交流电的概念，大小和方向都随时间周期性变化的电流叫交变电流，选项A错.图10是正弦交变电流，图11不是，有效值与最大值的关系E=Em2只对正弦交流电适用，二者的最大值一样，所以选项B错.由图10可知，选项C对.变压器变压之后频率不变，选项D错.答案：C.
【题后思】本题考查了交变电流的概念、交变电流的有效值、瞬时值，变压器变电压、变电流但不变频率.有效值与最大值的关系E=Em2只对正弦交流电适用.非正弦交变电流的有效值只能根据电流的热效应计算.
【真题体会】(2009年届安徽省皖南八校高三第一次联考试卷)图12和图13分别表示正弦脉冲波和方波的交变电流与时间的变化关系．若使这两种电流分别通过两个完全相同的电阻，则经过1min的时间，两电阻消耗的电功之比W甲∶W乙为()
图12图13A.1∶2B.1∶2
C.1∶3D.1∶6
解析：电阻通过甲乙电流做功等于其热量，W甲=I2甲 Rt，W乙=I2乙 Rt，据电流的热效应得I2甲RT甲=(I甲m2)2R23T甲、I乙=1A，计算得I甲=33A，所以W甲∶W乙=1∶3.选项C正确.
【题后思】本题考查非正弦交变电流的有效值的计算，图12由完整的正弦交变电流在不同时间内产生的热量等效来求有效值，图13是一个方波的有效值的计算，分段按恒定电流来处理.
三、理想变压器的规律及电压、电流、功率的分析与计算，理想变压器的动态分析
【考点解读】理想变压器的工作原理用到了法拉第电磁感应定律和能量守恒定律及理想化的方法.在应用理想变压器的规律时要从原理入手，不要死记结果，不注意条件.试题重点考查理想变压器的电压关系、功率关系、电流关系，能够运用变压器的制约关系解决变压器的动态分析问题.
1．理想变压器的工作原理
【真题体会】（2012年江苏卷）某同学设计的家庭电路保护装置如图14所示，铁芯左侧线圈L1由火线和零线并行绕成，当右侧线圈L2中产生电流时，电流经放大器放大后，使电磁铁吸起铁质开关K，从而切断家庭电路，仅考虑L1在铁芯中产生的磁场，下列说法正确的有（）
图14A．家庭电路正常工作时，L2中磁通量为零
B．家庭电路中使用的电器增多时，L2中的磁通量不变
C．家庭电路发生短路时，开关K将被电磁铁吸起
D．地面上的人接触火线发生触电时，开关K将被电磁铁吸起.
解析：因原线圈是双线绕法，所以家庭电路正常工作时L1、L2磁通量为0，选项A、B正确；家庭电路短路时，L1、L2磁通量仍为0，选项C错误；地面上的人接触火线发生触电时，两根电线电流不等且变化，开关K被磁铁吸起，选项D正确.答案选ABD.
【题后思】本题考查的是变压器的工作原理.解决变压器问题一定要从变压器的工作原理入手分析.本题也告诉考生如果原线圈或副线圈的绕法发生变化，那一定要根据情况按电磁感应规律来分析.
【真题体会】（2010年四川卷）图15所示电路中，A1、A2、A3为相同的电流表，C为电容器，电阻R1、R2、R3的阻值相同，线圈L的电阻不计.在某段时间内理想变压器原线圈内磁场的变化如图16所示，则在t1~t2时间内（）
图15图16A．电流表A1的示数比A2的小
B．电流表A2的示数比A3的小
C．电流表A1和A2的示数相同
D．电流表的示数都不为零
解析：由Bt图象知在t1~t2时间内，原线圈中磁场先负向减小后正向增大，则副线圈中磁通量是均匀变化的，根据法拉第电磁感应定律在副线圈中产生的感应电流大小不变，再根据楞次定则可判断感应电流的方向不变，则在t1~t2时间内副线圈中的电流为稳恒电流，所以A1和A2的示数相同，A3的示数为0，正确答案为C.
【题后思】本题考查变压器的工作原理和电容器、电感线圈和电阻在恒定电路中的影响，如果原线圈中输入均匀变化的电流或原线圈中磁场均匀变化，在副线圈中输出恒定电流.体会解决变压器问题从变压原理入手，运用电磁感应的知识分析.
2．理想变压器的规律
（1）电压关系：U1U2=n1n2
【典例体会】如图17所示，在绕制变压器时，某人误将两个线圈绕在图示变压器的铁芯的左右两个臂上，当通以交流电时，每个线圈产生的磁通量都只有一半通过另一个线圈，另一半通过中间的臂，已知线圈1、2的匝数之比为N1∶N2=2∶1，在不接负载的情况下()
图17A．当线圈1输入电压220V，线圈2输出电压为110V
B．当线圈1输入电压220V，线圈2输出电压为55V
C．当线圈2输入电压为110V时，线圈1电压为220V
D．当线圈2输入电压为110V时，线圈1电压为110V
解析：由于每个线圈产生的磁通量都只有一半通过另一个线圈，另一半通过中间的臂，线圈1为输入端时，有U1U2=2N1N2=41，线圈2的输出电压为55V，线圈2为输入端时，有U2U1=2N2N1=11，线圈1的输出电压为110V，所以BD选项正确.
【题后思】用变压器的电压关系U1U2=n1n2的前提是通过原副线圈的磁通量的变化率相等，但对“型”的变压器原副线圈中的磁通量的变化率并不相等.应从变压器的原理入手，不能死套公式.
【真题体会】（2011年浙江卷）如图18所示，在铁芯上、下分别绕有匝数n1=800和n2=200的两个线圈，上线圈两端与u=51sin314tV的交流电源相连，将下线圈两端接交流电压表，则交流电压表的读数可能是（）
图18A．2.0VB．9.0V
C．12.7VD．144.0V
解析：如果是理想变压器，由于互感在下线圈两端产生的瞬时电动势为：u=51×200800sin314tV≈9.02sin314tV，故下线圈产生的有效电动势约为9.0V，但由于这是一个直棒铁心，磁路没有闭合，不能按“口”字形理想变压器的规律来解决，应该比9.0V小.所以正确选项为A.
【题后思】本题考查了变压器的变压原理，并不是所有的变压器都可视为理想变压器，一定要注意理想变压器理想化的条件:忽略变压器的漏磁和能量损失.
【真题体会】如图19所示，理想变压器的原、副线圈匝数之比为n1∶n2=4∶1，原线圈回路中的电阻A与副线圈回路中的负载电阻B的阻值相等．a、b端加一定交流电压后，两电阻消耗的电功率之比PA∶PB=．两电阻两端电压之比UA∶UB=．
图19解析：设A、B的电阻均为R，PA∶PB=(I21R)∶(I22R)=I21∶I22=n22∶n21=1∶16，UA∶UB=(I1R)∶(I2R)=I1∶I2=n2∶n1=1∶4.
【题后思】本题学生容易误认为A两端的电压与变压器的输入电压相等，从电压关系入手计算，没有注意到变压器的原线圈与A电阻串联.
（2）功率关系：P入=P出，即无论有几个副线圈在工作，理想变压器的输入功率总等于所有输出功率之和.
（3）电流关系：单个副线圈I1I2=n2n1，多个副线圈n1I1=n2I2+n3I3+…原副线圈中电流变化规律一样，电流的频率相等.
图20【真题体会】(2012年全国新课标卷)自耦变压器铁芯上只绕有一个线圈，原、副线圈都只取该线圈的某部分.一升压式自耦调压变压器的电路如图20所示，其副线圈匝数可调.已知变压器线圈总匝数为1900匝；原线圈为1100匝，接在有效值为220V的交流电源上.当变压器输出电压调至最大时，负载R上的功率为2.0kW.设此时原线圈中电流有效值为I1，负载两端电压的有效值为U2，且变压器是理想的，则U2和I1分别约为（）
A．380V和5.3A
B．380V和9.1A
C．240V和5.3A
D．240V和9.1A
解析：先判断出原副线圈的匝数分别为1100匝、1900匝，由式U2=U1n2n1得U2=380V.负载R上的功率就是变压器的输出功率，因为是理想变压器，故输入功率U1I1等于输出功率2.0kW，从而求出I1=9.1A.答案B.
【题后思】本题考查了变压器的功率关系和电流关系.
【真题体会】(2010年海南卷)如图21所示，一理想变压器原、副线圈匝数之比为4∶1，原线圈两端接入一正弦交流电源；副线圈电路中R为负载电阻，交流电压表和交流电流表都是理想电表．下列结论正确的是()
图21A．若电压表读数6V，则输入电压的最大值为242V
B．若输入电压不变，副线圈匝数增加到原来的2倍，则电流表的读数减小到原来的一半
C．若输入电压不变，负载电阻的阻值增加到原来的2倍，则输入功率也增加到原来的2倍
D．若保持负载电阻的阻值不变，输入电压增加到原来的2倍，则输出功率增加到原来的4倍
解析：若电压表读数为6V，则输入电压为U1=41×6V=24V，是有效值，因此其最大值为242V，A项正确；若输入电压不变，副线圈匝数增加到原来的2倍，则输出电压也增加到原来的2倍，电流表示数应增加到原来的2倍，B项错；若输入电压不变，负载电阻的阻值增加到原来的2倍，则输出电流减小到原来的一半，输入功率等于输出功率即P=UI也减小到原来的一半，C项错；若保持负载电阻的阻值不变，输入电压增加到原来的2倍，输出电压增大到原来的2倍，则由P=U2R可知输出功率增加到原来的4倍，D项正确.
【题后思】本题考查了变压器的动态分析（变压器动态问题）的制约思路.
Ⅰ.电压制约：当变压器原、副线圈的匝数比（n1/n2）一定时，输出电压U2由输入电压决定，即U2=n2U1/n1，可简述为“原制约副”.
Ⅱ.电流制约：当变压器原、副线圈的匝数比（n1/n2）一定，且输入电压U1确定时，原线圈中的电流I1由副线圈中的输出电流I2决定，即I1=n2I2/n1，可简述为“副制约原”.
Ⅲ.负载制约：a.变压器副线圈中的功率P2由用户负载决定，P2=P副1+P副2+…；b.变压器副线圈中的电流I2由用户负载及电压U2确定，I2=P2/U2；c.总功率P总=P线+P2.
动态分析问题的思路程序可表示为：
U1U1U2=n1n2决定U2I2=U2R负载决定I2P1=P2(I1U1=I2U2)决定I1P1=I1U1决定P1
【典例体会】调压变压器就是一种自耦变压器，它的构造如图22所示．线圈AB绕在一个圆环形的铁芯上，CD之间加上输入电压，转动滑动触头P就可以调节输出电压．图中为交流电流表，为交流电压表，R1、R2为定值电阻，R3为滑动变阻器，CD两端接恒压交流电源，变压器可视为理想变压器（）
图22A.当动触头P逆时针转动时，电流表读数变大，电压表读数变大
B.当动触头P逆时针转动时，电流表读数变小，电压表读数变大
C.当滑动变阻器滑动触头向下滑动时,电流表读数变小，电压表读数变大
D.当滑动变阻器滑动触头向下滑动时,电流表读数变大，电压表读数变小
解析：当动触头P逆时针转动时，相当于增加了副线圈的匝数，而原线圈匝数保持不变，根据U1U2=n1n2可知，输出电压增大，其他因素不变时，电压表读数变大，电流表读数变大.当线圈匝数不变化而将滑动变阻器滑动触头向下滑动时,输出电压不变，总电阻减小，则总电流增大，R1两端电压增大，R2两端电压减小，流过R2的电流减小，因此，流过R3的电流增大，电流表示数变大.答案：AD.
【题后思】分析电路动态变化问题，首先要弄清什么量没有发生变化，什么量发生了变化；其次要对各物理量间的制约关系非常清楚.这样才能准确判断变化的物理量会引起另外哪些物理量变化及其变化情况.
四、电能输送
【考点解读】解决远距离输电问题，要首先画出输电示意图，包括发电机、升压变压器、输电线、降压变压器、负载等，在图中标出相应物理量符号，理清电压关系、电流关系、功率关系，特别注意计算电路中电能损失P耗=I2R=PU2R，若用U2R来算时，U必须是降在导线上的电压，不能用输电电压来计算.
【真题体会】（2009年山东卷）某小型水电站的电能输送示意图如图23所示.发电机的输出电压为200V，输电线总电阻为r，升压变压器原副线圈匝数分别为n1、n2,降压变压器原副线匝数分别为n3、n4（变压器均为理想变压器）.要使额定电压为220V的用电器正常工作，则（）
图23A．n2n1＞n3n4
B．n2n1＜n3n4
C．升压变压器的输出电压等于降压变压器的输入电压
D．升压变压器的输出功率大于降压变压器的输入功率
解析：根据变压器工作原理可知n1n2=200U2,n3n4=U3220，由于输电线上损失一部分电压，升压变压器的输出电压大于降压变压器的输入电压，有U2＞U3，所以n2n1＞n3n4，A项正确，B、C项不正确.升压变压器的输出功率等于降压变压器的输入功率加上输电线损失功率，D项正确.答案：AD.
【题后思】本题考查了远距离输电的电压关系和功率关系，电压关系是：U1U2=n1n2,U3U4=n3n4,U2=Ur+U3；电流关系是：I1I2=n2n1,I3I4=n4n3,I2=Ir=I3；功率关系是：P1=P2，P3=P4，P2=P3+Pr.
【真题体会】（2012年天津卷）通过一理想变压器，经同一线路输送相同的电功率P，原线圈的电压U保持不变，输电线路的总电阻为R．当副线圈与原线圈的匝数比为k时，线路损耗的电功率为P1，若将副线圈与原线圈的匝数比提高到nk，线路损耗的电功率为P2，则P1和P2P1分别为（）
A．PRkU,1nB．PkU2R,1n
C．PRkU,1n2D．PkU2R,1n2
解析：根据理想变压器的变压比有
k=U1U
nk=U2U
线路的输送功率不变有
P=U1I1=U2I2
P1=I21R=(PU1)2R=(PkU)2R
P2=I22R=PU22R=PnkU2R
P2P1=I22I21=U21U22=1n2.
答案：D.
【题后思】本题考查了电能的输送，输电线上损失的功率的计算用P=I2R,如果用P=U2R或P=UI计算，U必须是输电线上损失的电压.
【总结感悟】交变电流就是电磁感应的延伸与应用，在解决交变电流问题时抓住本质规律灵活应变，不要死记结论.会灵活的分析交变电流的产生、变化规律，能够区分交变电流的四值：瞬时值、最大值、有效值与平均值，会解决变压器问题及电能的输送问题，做到以上这些，就能轻松应对交变电流的相关问题了.
（1）历年考试题材：
2014年北京市申论考试材料列举了大量有关农民工就业工作、家庭日常生活、社会待遇、城市融入度、城市建设与社会犯罪等诸方面的现状，反映了农民工权益难以得到切实保障、政府对农民工的保障措施难以有效实施等较为严重的社会问题。
2014年北京市申论考试的材料比较复杂，主题是关于网络发展带给社会生活的诸多利弊问题，重点在于青少年网络成瘾给青少年的正常成长所带来的不良影响、社会各界针对该问题采取的措施，同时提及了我国网络游戏的现状、发展空间、发展方向等一系列附属问题。
2014年北京市应届毕业生申论考试材料反映的是各地政府在招商引资、发展经济过程中存在的不良现象，主要暴露出一些地方政府及其职能部门滥用行政权力及普通公民、企业的信任，侵害相对方权利，影响政府权威形象，进而对地方经济发展产生不良影响的问题。
2014年北京市应届毕业生申论考试材料反映的主题是听证会制度。试题列举了关于听证的12段阅读材料，谈到广东价格听证会、立法听证会、美国听证会、听证的原因及历史、听证的四大领域等内容。
2014年北京市申论考试主要是围绕行业协会来命题的，材料给出了行业协会的概念和职能，列举了煤气、拉面协会、彩电价格涨价，牙防组的认证资质，湖北啤酒企业的地方保护主义等现象，暴露出目前我国行业协会自律中存在的一系列问题。
北京市公务员考试申论命题规律
经过对北京市公务员《申论》考试历年真题的研究、分析，总结出申论测试规律如下：
（1）测试形式灵活多样
北京市申论答卷一般由三部分组成：一是概括部分，二是方案部分，三是议论部分。就文体而言，概括部分可能是记叙文、议论文、应用文中的某一种形式，也可能综合了多种文体形式；方案部分，则可能是应用文写作；第三部分则主要是议论文写作了。从这个意义上来说，申论测试既考查了普通文体的写作能力，也考查了公文写作能力，测试形式非常灵活、实用。
（2）测试背景资料涉及面广
申论测试的目的是为了选拔国家公务员，因此十分注重对考生的分析、判断、解决问题的能力等综合素质的测试。为反映这一要求，申论所给定背景资料涵盖了政治、经济、法律、教育等诸多方面的内容，涉及范围极其广泛，且表述比较准确，一般不会出现偏差。
申论的背景资料所反映的问题大部分已有定论，也有一些问题尚无定论或存在争议，需要考生自己去理解、分析和判断，并做出结论。
（3）测试目的针对性强
申论测试考查的目的是明确的，针对性很强，即主要考查考生阅读、分析、概括、解决问题的能力。这些能力主要通过对背景材料的分析、概括、论述体现出来，从所提出的方案对策是否具有针对性和可行性体现出来。从这一角度看，考查的目的与测试的命题是密切相关的有机整体：目的具有针对性，试题也具有针对性；试题为测试的目的服务，目的则是试题设计的指导思想。
（4）测试标准具有先进性和国际性
选拔公务员的申论测试，一开始就借鉴了一些发达国家的先进经验，不仅注重对应试人员能力和素质的考查，而且也注重对应试人员将要从事行政机关工作和岗位职责所需要的能力素质的考查。在科目设置、考试形式上都是按国际标准设计的，在内容上体现了中国特色。
西方一些实行公务员制度时间比较长的国家的公务员考试，是分类分等、定时定期进行的，人员的选拔录用与职位紧密结合，采用不同的试卷，以满足不同岗位、不同职位对人员的不同需求。我国也逐步在申论试卷中，体现出中央国家机关和垂直管理系统在用人上的不同要求，逐步做到分类、分题、定期考试。
（5）没有确定的标准答案
申论测试没有也不可能有一个确切、固定、唯一的标准答案。从资料背景来看，都是有关当前政治、经济、法律、教育等社会问题，有的已定论，有的尚未定论，完全要考生自己来解决。从这个角度来看，无论是提出对策或是对对策进行论证，都不会有一个确切、固定、唯一的标准答案。
以对策部分为例，这部分是要提出解决问题的办法，这个办法要具有针对性和可行性。但是针对性和可行性是相对的，在不同地区以及发展中的不同阶段，解决问题的办法就不可能一样，更何况有的目前还没有一个确切的合理的方案，因此哪一种更为合理，针对性与可行性更强，要对若干方案比较论证后方能确定。又比如论证部分，抓住什么问题、从什么角度论证、采取什么方法与结构，要适合自己的特长，因而也决不会有一个具体唯一的标准。因此论证(作文)部分的评定，也只能是综合的、全面的、等级式的，不可能有确切的唯一的标准。
正因为申论测试没有确定的答案，这给了考生可以发挥的空间，不同的考生完全可以较充分地展示各自不同的能力和水平，同时也有利于选拔者挑选到满意的人才。
（6）测试具有前瞻性
关键词 能量守恒 系统 规律性 优越性
中图分类号：G633.7 文献标识码：A
能量既不能创生，也不能消灭，只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，这就是能量转化和守恒定律，简称能量守恒定律。它是自然界中最普适的一个定律，适用于任何变化过程，不论是机械的、热学的，还是化学的、生物的等等。本文仅在力学范围内探索应用能量守恒定律解题的规律性。
1能量守恒定律的应用对象――系统的内力和外力
能量代表系统在一定状态下所具有的特性，是描述系统状态的物理量，能量守恒定律的应用对象较多的是由几个物体组成的系统。对系统来说，作用力可分为两类：一是系统内各物体之间的相互作用力，称为内力；一是系统外其他物体对系统内各物体的作用力，称为外力。一个力究竟是内力还是外力，是相对于一定的系统而言的，同一个力对某个系统来说是外力，而对范围更大的系统来说却可能是内力。例如，一物体静止于斜面上，取物体和斜面为系统，则物体受的重力是外力；若取物体、斜面和地球为系统，则物体所受的重力就是内力了。在应用能量守恒定律解题时，正确区分内力和外力是很重要的。
2“功是能量转化的量度”内涵的具体化和深化
例1（原创题）、木板A静止在光滑的水平面上，小木块B放于木板A的一端（如图1所示）。现给木块一水平外力F，使木板位移s。第一次F较小，B在A上不发生相对滑动，B、A间的摩擦力为f；第二次F较大，B相对于A滑动了距离Ss，B、A间的摩擦力为f'。求在这两种情况下，A、B系统动能的增量和内能的增量以及摩擦力对A、B系统做的总功。
SEK =FS是否表示外力的功变为系统的动能了呢？不是的。根据能量守恒定律，A、B系统机械能（即动能）增加，必然是外界减少某种形式的能量传递或转化而来的，外界传递或转化给A、B系统的能量量值上等于外力F所做的功。所以，功不是能，也不会变能，功是能量转化的量度。由SEK =FS知，外界通过F做功传递给A、B系统的能量全部增加为系统的动能，因而A、B系统的内能不变。静摩擦力f对B做正功，而对A做负功，因功等值，f对A、B做功代数和为零，等效于不做功。可见，静摩擦力做功不会使系统机械能向内能转化，只起机械能传递作用。
第二种情形：A、B间的摩擦力f$Q是滑动摩擦力，如图3所示。
结论1：外力的功是系统与外界能量交换的量度。
结论2：滑动摩擦力跟受它作用的两物体之间的相对位移大小的乘积是机械能转化为内能的量度。
策略一：列表归纳法
找数式规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律，通常包含序号.所以，把变量和序号放在一起加比较，也容易发现其中的奥秘.
【例1】 观察下列各数：0，3，8，15，24，…试按此规律写出第100个数.
分析：解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个数式规律，计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数（记为N）：0，3，8，15，24，…
序号（记为n）： 1，2，3， 4， 5，…
可以列表为：
n
1
2
3
…
n
N
3
8
…
N
N与n的关系
0=12-1
3=22-1
8=32-1
…
N= n2-1
这样，通过列表的形式，观察特点，很容易归纳出：给出的数都等于它的序号的平方减1.因此，第n个数是n2-1.验证：当n=4时，N=42-1=15；当n=5时，N=52-1=24.因此，探究得出的数式规律是正确的，所以第100个数是1002-1=9999.
策略二：函数分析法
我们知道，给出的数与序号存在一定的对应关系，因此，也可以采用函数分析法来求解.
【例2】 观察下列各数：1，5，9，13，17，…试按此规律写出第100个数.
分析：
给出的数（记为N）：1，5，9，13，17，…
序号（记为n）：1，2，3， 4， 5，…
可以看成序号（自变量n）从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数字规律也就是相应函数的解析式.因此，可描点（1，1），（2，5），（3，9），（4，13），（5，17）.在画图时，为方便起见，在直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同（如图）.
观察图象，容易发现这些点，可连成一条直线.因此，可以设相应函数的解析式为N=kn+b，把（1，1），（2，5）代入N=kn+b，得方程组
k+b=1， 2k+b=5.
解之得，k=4，b=-3，所以N=4n-3, 即第n个数是4n-3.验证：当n=4时，N=4×4-3=13；当n=5时，N=4×5-3=17.因此，探究得出的规律是正确的，所以第100个数是4×100-3=397.
【例3】 观察下列各数：2/3，4/15，6/35，8/63，10/99，…试按此规律写出第100个数.
分析：此例是分式形式的数式规律题，分子要找规律，分母也要找规律，同时还要充分借助分子、分母的关系.可用列表归纳法或函数分析法求出可能的规律.分子：2，4，6，8，10…的数式规律是2n；分母：3，15，35，63，99…的数式规律是4n2-1.因此，第n个数是2n / （4n2-1），所以第100个数是2×100/（4×1002-1）=200/39999.
【例4】 观察下列各数：-3，9，-19，33，-51，…试按此规律写出第100个数.
分析：此例出现符号问题，可采用（-1）的n次方与（-1）的（n+1）次方来调解.然后用列表归纳法或函数分析法求出可能的规律.可以求出3，9，19，33，51，…的数式规律为2 n2+1.因此第n个数就是（-1）的n次方乘以（2n2+1）的积，所以第100个数是2×1002+1=20001.
【例5】 用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第100个图形需要棋子多少枚？
第1个图 第2个图 第3个图
分析：此例是有规律的图形规律题，可以转化为求4，7,10,…的数式规律题.通过用列表归纳法或函数分析法很容易求出数式规律为3n+1.所以第100个图形需要棋子301枚.
一、变化型
找数学规律的题目，都会涉及一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.
例1 如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
……
（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数.
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数.
（3）求第n行各数之和．
解析：（1）所有数均为自然数，每行数的个数为1，3，5，…，很容易得到所求之数.由题意知最后一个数是该行数的平方即64；其他也随之解得：8，15.
（2）第n行最后一数为n2，则第一个数为n22n+2，由题意知每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，故第n行的个数为2n-1.
（3）通过以上两部列公式从而解得第n行各数之和：n2-2n+2+n2n×（2n1）=（n2n+1）（2n1）．
点评：（1）看数的规律，自然数的排列，每排个数1，3，5，…从而求得；（2）最后一数是行数的平方，则第一个数即求得；（3）通过以上两部列公式从而解得．本题看规律为关键，先横看、纵看，然后找出各部分的特征，改写成要求的格式.
二、循环型
有些题目包含着事物的循环规律，找到了这个规律，其他问题就迎刃而解了.
例2 观察下列球的排列规律(其中是实心球，是空心球)：……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个.
解析：从左到右，这些球按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是.每个循环节里有3个实心球.所以我们只要知道2004个球包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数.因为2004÷10=200（余4）.所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球.200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球.所以，一共有602个实心球.
三、比较型
“有比较才有鉴别”.通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律.有些规律题，通常按照一定的顺序给出一系列量，我们根据这些已知的量找出一般规律.通常把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘.如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多.解题的时候，不但要考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素.
例3 已知下列等式：①13＝12；②13＋23＝32；③13＋23＋33＝62；④13＋23＋33＋43＝102 ……由此规律知，第⑤个等式是．”
解析：本题给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化.所以，需要进行比较的因素比较多.就左边而言，从上到下进行比较，发现加数的个数依次增加一个.所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列.所以，第⑤个等式的左边是13＋23＋33＋43＋53.再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数.等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数.比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等.所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为152.