时间：2023-11-11 03:03:51
老师不教我们了！外面的秋雨下个不停，我却傻笑着：什么？于老师不教我么了？眼泪也如外面的秋雨洒个不停，只是从心里淌出的泪水要比雨热了一些，留到嘴里是咸的，而我的心是苦的、酸的！内心的痛苦只有自己才懂得。
您为我们操碎了心，皱纹多了，头发白了。这次教师节我们为您买了一些东西，不多，才几十元，每人几元凑的，也没买什么拉花等。当别的班用拉花什么东西装饰教室为老师庆祝教师节时，您还说，弄成那样好像老师不教了似的。一句随意的话却成了不可改变的现实，并发生在我们身上——您因病不教我们了。
那次在商场，您不教我们后，张心月和廉洁在商场遇见您了，您没有多说，只说了一句话：你们要好好学习。当我听说后，这句话让我铭记在心，想起来您的尊尊教导和循循善诱，我又掉下了伤心与思念的泪水。
现在这件事已经成了现实，已不可挽回，虽然成为现实，但是我也想挽回，那撕心裂肺的痛，那一滴滴很咸很咸的泪水那一缕缕一丝丝对您的思念，让我甚至不想上学，一直想去陪您。
今天，我抱着“宝贝”伴着泪水，想了好多好多——我想请求您教我们吧！求您了！不要让那份长长的思念一直延长下去了，好吗？
那么，作为教师应如何进行数学概念的教学呢？
一、注重概念的本源，概念产生的基础。
每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思维呈依赖，这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力，因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。如，在立体几何中异面直线距离的概念，传统的方法是给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，引导学生思考这些距离有什么特点，发现共同的特点是最短与垂直。然后，启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离是最短的？如果存在，应当有什么特征？于是经过共同探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段存在，在此基础上，自然地给出异面直线距离的概念。这样做，不仅使学生得到了概括能力的训练，还尝到了数学发现的滋味，认识到距离这个概念的本质属性。
二、概念的教学中注重思维品质的培养
如何设计数学概念教学，如何在概念教学中有效地培养和开发学生的思维品质，是我们在教学中经常遇到并必须解决的问题.本文试图以“两条异面直线所成的角”一课的教学设计为例，谈谈概念教学中各个阶段上培养思维能力，优化思维品质的一点粗浅体会.
1.展示概念背景，培养思维的主动性，思维的主动性，表现为学生对数学充满热情，以学习数学为乐趣，在获得知识时有一种惬意的满足感. 2.创设求知情境，培养思维的敏捷性思维的敏捷性表现在思考问题时，以敏锐地感知，迅速提取有效信息，进行“由此思彼”的联想，果断、简捷地解决问题. 3.精确表述概念，培养思维的准确性思维的准确性是指思维符合逻辑，判断准确，概念清晰。新概念的引进解决了导引中提出的问题.学生自己参与形成和表述概念的过程培养了抽象概括能力. 4.解剖新概念，培养思维的缜密性思维的缜密性表现在抓住概念的本质特征，对概念的内涵与外延的关系全面深刻地理解，对数学知识结构的严密性和科学性能够充分认识. 5.运用新概念，培养思维的深刻性。6.分析错解成因，培养思维的批判性。思维的批判是指思维严谨而不疏漏，能准确地辨别和判断，善于觅错、纠错，以批判的眼光观察事物和审视思维的活动.
三、针对概念的特点采用灵活的教学方法
一、回顾已有相似概念，创设类比发现的问题情景
中学数学中有许多概念具有相似的属性，对于这些概念的教学，教师可先引导学生研究已学过的概念属性，然后创设类比发现的问题情景，引导学生去发现，尝试给新概念下定义，这样新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建。
例1、异面直线的距离的教学。
1.展示概念背景：向学生指出：刻划两条异面直线的相对位置的一个几何量──异面直线所成的角，这只能反映两异面直线的倾斜程度，若要刻划其远近程度，需要用另一个量──异面直线之间的距离。
2.创设类比发现的问题情景：先引导学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如点与点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离，并概括出它们的共同点：各种距离概念都归结为点与点间的距离；每种距离都是确定的而且是最小的。
3.启迪发现阶段：指出定义两异面直线的距离也必须遵循上述原则，然后引导学生讨论：异面直线a、b上哪两点之间的距离最小？为什么？进一步诱导：过直线a上一点B作AB直线b，垂足为点A，则线段AB的长为异面直线a，b间的距离，对吗？因为过A作AC直线a，垂足为C，在RTABC中有AB>AC，即AB不具有最小性。再过C作CD直线b，如此下去……，线段只垂直于a、b中的一条时，总是某直角三角形的斜边，不可能是a、b上任两点间距离的最小者，那么，异面直线a、b上任两点间距离的最小者到底应该是哪条线段的长呢？学生会发现：可能是与异面直线a、b都垂直相交的线段。
4.表述论证阶段：最后引导学生发现：异面直线a、b的公垂线段MN的长度具有最小性，又公垂线是唯一的，所以，可以把线段MN定义为异面直线a，b之间的距离。
以上通过引导学生研究已有“距离”概念的本质特点，即产生新的概念的“生长点”，以类比方法获得异面直线距离的概念，学生觉得这一概念是已有距离概念的一种自然发展，不感到别扭。这类数学概念形成的问题情景创设一定要抓住新旧概念的相似点，为新的数学概念的形成提供必要的“认知基础”，通过与熟悉的概念类比。
二、由已有相关概念的比较，创设归纳发现的问题情景
有些数学概念是已有概念的扩充，若能揭示概念的扩充规律，便可以水到渠成地引入新概念
例2、复数概念的教学。
先回顾已经历过的几次数集扩充的事实：正整数、自然数、非负有理数、有理数、实数，然后教师提出以下问题：
1.上述数集扩充的原因及其规律如何？实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行，数集的扩充过程体现了如下规律：⑴每次扩充都增加规定了新元素；⑵在原数集内成立的运算规律，在数集扩充后的更大范围内仍然成立；⑶扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。
有了上述准备后，教师提出问题：负数不能开平方的事实说明实数集不够完善，因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性。那么，怎样解决这个问题呢？
2.借鉴上述规律，为了扩充实数集，引入新元素i，并作出两条规定。这样学生对i的引入不会感到疑惑，对复数集概念的建立也不会觉得突然，使学生的思维很自然地步入知识发生和形成的轨道中，为概念的理解和进一步研究奠定基础。
这类数学概念形成的问题情景创设的关键是揭示出相关概念的扩充发展的背景及其规律，从而引发新的数学概念的产生。
三、通过学生实验，创设观察、发现的问题情景
有些数学概念可以通过引导学生从自己的亲自实验或通过现代教育技术手段演示及自己操作（如几何画板提供了很好的工具）去领悟数学概念的形成，让学生在动手操作、探索反思中掌握数学概念。
例3、椭圆概念的教学。
可分下列几个步骤进行：⑴实验获得感性认识，要求学生用事先准备的两个小图钉和一长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，画得图形为椭圆；⑵提出问题，思考讨论。椭圆上的点有何特征？当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？当细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？你能给椭圆下一个定义吗？⑶揭示本质，给出定义。象这样，学生经历了实验、讨论后，对椭圆的定义的实质会掌握得很好，不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的距离的错误。
这类数学概念的形成一定要学生动手操作实验，仔细观察，并能根据需要适当变换角度来抓住问题的特征以解决问题。培养学生敏锐的观察力是解决这类问题的关键。除了真实的实验外，还可以充分利用现代教育技术设计一些仿真实验，实验的设计不能只是作为教师来演示的一种工具，而是要能由学生可以根据自己的思路进行动手操作的学具，让学生通过实际操作学会观察、学会发现！
以上列举的几种方法不是独立的，而是相互联系的，有些数学概念的产生与形成过程需要综合运用多种方法才能创设出利于学生发现的问题情景。
参考文献
1 章建跃.关于课堂教学中设置问题情景的几个问题.数学通报
一、 创设数学概念形成的问题情景的途径
数学概念有些是由生产、生活实际问题中抽象出来的，有些是由数学自身的发展而产生的，许多数学概念源于生活实际，但又依赖已有的数学概念而产生。根据数学概念产生的方式及数学思维的一般方法，结合学生的认知特点，可以用下列几种方法来创设数学概念形成的问题情景。
（一）回顾已有相似概念，创设类比发现的问题情景
中学数学中有许多概念具有相似的属性，对于这些概念的教学，教师可先引导学生研究已学过的概念属性，然后创设类比发现的问题情景，引导学生去发现，尝试给新概念下定义，这样新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建。
例1 异面直线的距离的教学
（1）展示概念背景：向学生指出：刻划两条异面直线的相对位置的一个几何量——异面直线所成的角，这只能反映两异面直线的倾斜程度，若要刻划其远近程度，需要用另一个量——异面直线之间的距离。
（2）创设类比发现的问题情景：先引导学生回顾一下过去学过的有关距离的概念（点与点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离），并概括出它们的共同点：各种距离概念都归结为点与点间的距离；每种距离都是确定的而且是最小的。
（3）启迪发现阶段：指出定义两异面直线的距离也必须遵循上述原则，然后引导学生讨论：异面直线a、b上哪两点之间的距离最小？为什么？
进一步诱导：如右图，过直线a上一点B作
AB直线b，垂足为点A，则线段AB的长为异面直线a，b间的距离，对吗?因为过A作AC直线a，垂足为C，在RTΔABC中有AB>AC，即AB不具有最小性。再过C作CD直线b，如此下去…，线段只垂直于a、b中的一条时，总是某直角三角形的斜边，不可能是a、b上任两点间距离的最小者，那么，异面直线a、b上任两点间距离的最小者到底应该是哪条线段的长呢？学生会发现：可能是与异面直线a、b都垂直相交的线段。
（4）表述论证阶段：最后引导学生发现：异面直线a、b的公垂线段MN的长度具有最小性，又公垂线是唯一的，所以，可以把线段MN定义为异面直线a，b之间的距离。
以上通过引导学生研究已有 “距离”概念的本质特点，即产生新的概念的“生长点”，以类比方法获得异面直线距离的概念，学生觉得这一概念是已有距离概念的一种自然发展，不感到别扭。这样的概念还有很多，如复数的模与实数的绝对值类比、二次方程与一次方程的类比、空间的二面角与平面的角类比等等。
这类数学概念形成的问题情景创设一定要抓住新旧概念的相似点，为新的数学概念的形成提供必要的“认知基础”，通过与熟悉的概念类比（类比的形式多样，如平面与空间的类比、高维与低维的类比、有限与无限的类比，还有方法类比、结构类比、形式类比等等），可使学生更好地认识、理解、掌握新的数学概念。当然要注意类比得出的结论不一定正确，应引导学生修正错误的类比设想，直到得出正确结果。
（二）由已有相关概念的比较，创设归纳发现的问题情景
有些数学概念是已有概念的扩充，若能揭示概念的扩充规律，便可以水到渠成地引入新概念。
例2 复数概念的教学
先回顾已经历过的几次数集扩充的事实：
正整数 自然数 非负有理数 有理数 实数，然后教师提出以下问题:
（1）上述数集扩充的原因及其规律如何？
实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行，数集的扩充过程体现了如下规律：
① 每次扩充都增加规定了新元素；
② 在原数集内成立的运算规律，在数集扩充后的更大范围内仍然成立；
③ 扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。
有了上述准备后，教师提出问题：负数不能开平方的事实说明实数集不够完善，因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性。那么，怎样解决这个问题呢？
（2）借鉴上述规律，为了扩充实数集，引入新元素i，并作出两条规定。（略）
这样学生对i的引入不会感到疑惑，对复数集概念的建立也不会觉得突然，使学生的思维很自然地步入知识发生和形成的轨道中，为概念的理解和进一步研究奠定基础。
这类数学概念形成的问题情景创设的关键是揭示出相关概念的扩充发展的背景及其规律，从而引发新的数学概念的产生。
（三）联想相关数学概念，创设引发猜想的问题情景
许多数学概念间存在着一定的联系，教师若能将新旧概念间的联系点设计成问题情景，引导学生建立起新旧概念间的联系，便可以使学生牢固地掌握新的概念。
例3 异面直线所成角的概念教学
（1）展示概念背景：教师与学生一起以熟悉的正方体为例，请学生观察图中有几对异面直线？接着提问：从位置关系看，同为异面直线，但它们的相对位置，是否就没有区别？教师紧接着说：既然有区别，说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置显然是不够的。在生产实际与数学问题中，有时还需要进一步精确化，这就提出了一个新任务：怎样刻划异面直线间的这种相对位置，或者说，引进一些什么数量来刻划这种相对位置？
(2)情境设计阶段：我们知道平面几何中用“距离”来刻划两平行直线间的相对位置，用“角”来刻划两相交直线间的相对位置，那么用什么来刻划两异面直线的相对位置呢？我们还知道两异面直线不相交，但它们又确实存在倾斜程度不同，这就需要我们找到一个角，用它的大小来度量异面直线的相对倾斜程度。为了解决这个问题，我们研究一道题：一张纸上画有两条能相交的直线a、b（但交点在纸外）．现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出a、b所成的角的大小？
(3)猜想发现阶段：解决上述问题的方法是过一点分别作a，b的平行线，该方法能否迁移到两异面直线的倾斜程度呢？经学生研讨后能粗略地得出异面直线的倾斜程度可转化为平面内两条相交直线的角（即过一点分别作a、b的平行线，这两条平行线所成的角）
(4)表述论证阶段：教师提问，这角（或平行线）一定可以作出来吗？角的大小与作法有什么关系？（以上即是存在性和确定性问题）通过解决以上两个问题得到：两异面直线所成角的范围规定在（0， 内，那么它的大小，由异面直线本身决定，而与点O（一线的平行线与另一线的平行线的交点）的选取无关，点O可任选．一般总是将点O选在特殊位置．至此，两异面直线所成角的概念完全建立了，在这个过程中渗透了把空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法。
这类数学概念形成的问题情景创设一定要抓住新、旧数学概念间的本质属性，为新概念的产生创设适当的固着点，使其孕育新的数学概念的形成。
（四）提供感性材料，创设抽象与概括的问题情景
有些数学概念源于现实生活，是从生产、生活实际问题中抽象出来的，对于这些概念的教学要通过一些感性材料，创设抽象与概括的情景，引导学生提炼数学概念的本质属性。
例4 数轴概念的教学
教师先出示下列问题：小张家向东走20米是书店，向西走30米是少年宫。若规定向东走为正，向西走为负，那么，小张从家出发，走到书店应记作什么？走到少年宫记作什么？温度计显示零上20 C，零下3 C，你如何用有理数表示。
教师接着要求学生将上述两个问题分别用简单形象的图示方法来描述它们，并进一步引导学生提炼出它们的共同属性：
（1）能用图线表示事物的数量特征（可用同一直线上的线段来刻划）（2）度量的起点（0 C和小张家）（3）度量的单位（温度计每格表示1 C）（4）有表示相反意义的方向（向东为正，向西为负；零上为正，零下为负）
这样就启发学生用直线上的点表示数，对于“表示相反意义的方向”用箭头“ ”表示正方向，从而引进 “数轴”的概念。这样做符合学生的认识规律，给学生留下深刻持久的印象，同时也有助于激发学生的学习兴趣，促使他们积极参与教学活动，有利于学生思维能力的培养和素质的提高。
这类数学概念形成的问题情景创设一定要遵循认识规律，从感性到理性，从具体到抽象，通过学生熟悉的实际例子，恰当地设计一些问题，让学生经过比较、分类、抽象等思维活动，从中找出一类事物的本质属性，最后通过概括得出新的数学概念。
（五）通过学生实验，创设观察、发现的问题情景
有些数学概念可以通过引导学生从自己的亲自实验或通过现代教育技术手段演示及自己操作（如几何画板提供了很好的工具）去领悟数学概念的形成，让学生在动手操作、探索反思中掌握数学概念。
例5 椭圆概念的教学
可分下列几个步骤进行：（1）实验 获得感性认识（要求学生用事先准备的两个小图钉和一长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，画得图形为椭圆）（2）提出问题，思考讨论。椭圆上的点有何特征？当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？当细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？你能给椭圆下一个定义吗？（3）揭示本质，给出定义。象这样，学生经历了实验、讨论后，对椭圆的定义的实质会掌握得很好，不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的距离的错误。
这类数学概念的形成一定要学生动手操作实验，仔细观察，并能根据需要适当变换角度来抓住问题的特征以解决问题。培养学生敏锐的观察力是解决这类问题的关键。除了真实的实验外，还可以充分利用现代教育技术设计一些仿真实验，实验的设计不能只是作为教师来演示的一种工具，而是要能由学生可以根据自己的思路进行动手操作的学具，让学生通过实际操作学会观察、学会发现！
以上列举的几种方法不是独立的，而是相互联系的，有些数学概念的产生与形成过程需要综合运用多种方法才能创设出利于学生发现的问题情景。
二、 数学概念形成阶段教学应注意的问题
在创设问题情景时，还应创设师生共同研究问题的良好氛围。教师要积极鼓励学生独立提出问题、独立分析、解决问题，还要鼓励学生之间互相研讨问题，大胆向教师提问题或提出创见性的观点，努力营造一种师生之间平等共同研讨、分析解决问题的民主气氛，形成师生间和谐良好的人际关系，使课堂教学充满活力。在教学中要注意以下问题：
（一） 注意问题的呈示方式
有了合适的问题情景，还必须注意问题的呈示方式。我们认为：问题的呈示要以学生主体的充分发挥为前提，重视知识的发现和探索过程，重视学生的内心体验。通过问题的呈示能使学生充分地展开思维活动（包括动手、动脑），教师应留给学生一定的思考时间和空间，不要急于将答案告诉学生，应把发现问题的机会，大智若愚地让给学生，让学生的思维得到充分的暴露，教师根据学生出现的一些问题，有针对性地组织讨论、辨析，并在关键处予以点拨，真正使学生体验到新的数学概念的形成过程。
（二） 教学形式要多样化
课堂教学从本质上说是一种“沟通”与“合作”的活动，是教师主导与学生主体相互作用以实现学生有意义学习的过程，要使这个过程顺利进行，必须充分发挥师生双方的积极性和主动性。为了充分调动学生的积极性，教学形式应尽可能多样化。教学不能只是教师的讲授，还应包括学生的独立自主探究，集体研究，小组讨论或先学生独立研究再相互交流，或带着问题自学等多种方式。这样有利于激发学生的学习积极性。至于如何确定教学形式，这要考虑所研究问题的难易程度及学生的知识和思维水平。一般来说，要尽可能让学生参与数学活动，只要学生有能力通过活动解决的问题，就应该让学生独立完成。对有一定难度的问题，可先让学生独立研究，再组织小组交流（教师参与小组研究，并在关键处作适当点拨），最后师生一起探索得出结论。
（三） 渗透数学思想方法
数学概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结果，而飞跃的实现要依据数学思想方法，经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工而成。因此教师应注意将在解决问题的过程中所涉及的数学思想方法显化，对解决问题的思维策略进行提炼，让学生学会思维，提高自我探索、发现创造的能力。如例5中学生根据操作过程类比圆的概念产生这样的定义：平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫椭圆。怎样使学生意识到这一定义不完备呢？如何让学生完善这一定义呢？可让学生将两个定点由近到远地多画些椭圆，当学生将此操作进行至极限（即细线的长等于两定点之间的距离时）时发现画出的是一条线段。这样的过程能够使学生独立地发现和完善椭圆的定义。这种不断实验、观察、进而得到发现的“科研”方法要让学生通过学习逐步掌握。学生掌握这些方法将受益终身！
一、鼓励学生一题多解，活跃思维
数学的学习对于大多数高中生来说，是一门比较枯燥、乏味、困难的学科.但是由于高中数学在高考中占有很大的比例，学生也只能硬着头皮拼命地做题，通过做题量提高做题巧妙性和灵活性.这样往往会使学生越做越烦、越反感.我认为，学生可以对一道题扩展思维，思考多种解题方法，通过一道题对比钻研学会解答一类题型，锻炼学生的思考能力，培养学习数学的兴趣爱好.
在高中数学教学中，教师可以在课堂上或课堂结束后出一个题目，空一段时间让学生思考解答，要求学生用多种方法解答.思考解答完后，由一个学生回答自己所想出的解答方法或者直接写在黑板上，教师再鼓励有其他解法的学生说自己的解法，这样可以充分发挥学生的积极性，同时可以与全班学生交流解题方法和思维.
在考场紧张状态下，常规方法可以提高准确度.这道题的解法有许多种，可让学生试试用更多的方法解答.
二、利用启发式教学，引导学生形成发散思维
数学基本概念、公式的学习对后续数学习题解答具有重要作用，基本概念、公式、定理的的学习是保证顺利解答数学习题的基础.传统的教育常常是教师灌输概念，按照课本给出的概念进行讲解然后让学生背会，学生对其来龙去脉一知半解.目前高中教学不注重基本概念的教学，认为概念会用能做题就行，不需要弄懂，导致多数教师对习题方法的解答重视，这样不利于数学思维的培养.为了改善这种情况，教师如果把概念、定理、公式等内容的教学设计成探究性教学模式就可以让学生自己去发现问题，检验、论证、推广结论，更有利于学生对数学知识的构建.
例如，在讲“双曲线的定义”时，把第一定义与第二定义进行结合、探讨学习.①双曲线的第一定义：把平面内与两个定点F1，F2 的距离的差的绝对值为常数，并且这个常数小于│ F1F2 │，即小于这两个定点的距离，这些点形成的轨迹就叫做双曲线.定点是双曲线的焦点，焦点间的距离叫做双曲线的焦距.②双曲线的第二定义：平面内到定点F（c，0）的距离与到定直线l的点的轨迹叫双曲线.定点 F为双曲线的焦点，定直线l叫做相应焦点的准线.通过把双曲线的第一、第二定义放在一块对比教学，既然这两个定义是等价的，接下来教师就引导学生向学生提出问题，双曲线的第一定义怎样推出第二定义，两种表达形式又是怎样互推的？教师的这种提问引导促使学生思考，学生通过思考进行发散思维，为什么能用双曲线的第一定义也就是基本定义推导出第二定义，教师引导学生从双曲线的定义本质入手，双曲线的第二定义是说双曲线上的点到定点的距离是到定直线的距离的e倍，e就是双曲线的离心率，双曲线有两条准线，两条准线间距离的e倍也就是定值，它等于到两定点的距离差，也就是第一定义，通过简单的说明，双曲线的定义就会变得简单明了.
三、在教师讲、学生听的模式中，加入师生互动交流模式
高中数学学生素质差别较大，因为高中数学难度很大，知识点又多.为改变这些现状，教师应多主动听取学生意见，师生多互动.
雾里看花，楼头望月，芳草更芳，月亮更亮，地平线在远处反不觉远，长距离生发美感受，生发诱惑，生发想象，生发无穷的期盼与追求；鱼翔水里，蜂落蕊中，轻轻地贴着你的脸，融入你的心房，零距离使人融洽，使人亲切，使人幸福，使人与人产生爱的火花，使心与心产生情的雨露，产生真实可掬的美妙感觉。
你看我时很远，我看你时很近。一堵厚实的墙让人无法进入，一张薄透的纸也让人终生相隔，咫尺天涯，对面沟壑，相邻也常是天堑；相逢常是美丽的错误码率，距离短短，将人生拉得迢迢又远远；短短距离，将情感推得长长又遥遥。
君住长江头，我住长江尾，这端与那端，流水滔滔， 白云悠悠。手与手不能相牵，梦与梦却日日相连；眼与眼不能对望，心与心却时时交错。关山千万重，阻不断绵绵的思念；水路千万里，隔不开苦苦的挂牵。距离是思念与牵挂的生产线，大批量地生产人生最真挚最热烈的爱怨交织与悲欢交集的情感。
距离是一块橡皮，拉长，感情才有绷紧的张力；距离是一张弦弓，拉长，感情才有冲动的欲望；距离是一根弹簧，拉长，感情才有接近的期求。如果人对鲜花已经熟视无睹，那么鲜花，你不必四季开放，你可以隔着冬夏，待到养大才灿烂开放；如果人对鲜花已经举伞躲避，那么鲜花，你不必日日光临，你可以隔着风雨，隔着霜雪，待到冬后才倾情明媚。在爱情缺乏少许情的时候，你该要的也许不是接近，而是疏远；在亲情乏至的时候，你应该也许不是厮守，而是分开。
零距离让人亲密，也产生摩擦；长距离产生思念，也让人遗忘。距离是烦人的鬼怪，距离也是撩人的精灵；距离是碰伤感情的恶魔，距离也是愈合伤口的天使。走吧，熟悉的地方没有景色，远方才有梦想；来吧，陌生的地方没有感情，故乡才是门宿。
从此岸到彼岸，是路程的距离，我们不倦跋涉，在跋涉中感受风景，感受生活，感受酸甜苦辣；从此时到彼时，是岁月的距离，我们不倦奔走，在奔走中体验过去，体验现在，体验悲欢祸福；从此心到彼心，是心灵的距离，我们不倦往来，在往来中品尝苦恼，品尝人生，百般滋味皆备的喜怒哀乐。
有一种距离，我们渴望抵达，那就是爱与爱的距离；
有一种距离，我们渴望出发，那就是梦与梦的距离；
有一种距离，我们渴望拉长，那就是生与死的距离；
基于此，如何在概念教学中有效地培养和开发学生的思维品质，显然应该是数学教育教学必须关注的问题.本文将依托自身的教学经历简述笔者在这一方面的粗浅体会.
1 揭示概念的产生形成过程，创设求知情境，培养思维的主动性
思维的主动性，是各种思维品质的基础和先决条件.表现为学生在获得数学知识时充满热情，积极主动地思考，学生的主体作用可以通过思维的主动性表现出来.
在数学概念教学过程中向学生揭示概念的产生形成过程，展示概念产生的背景，激发学生的好奇心，达到让学生主动思考的目的，从而培养思维的主动性.
案例1 在学习直线的倾斜角与斜率概念时，教师提出问题：“如何确定一条直线？”学生一般能回答出：“两点确定一条直线.”
接着，教师呈现如下两幅图象：
这样引入概念，揭示了倾斜角、斜率出现的背景，让学生感受到数学概念的产生不是凭空想象的，而是有实际意义作基础.
同时，这种做法将数学的思维活动展示给学生，使学生沉浸在对新知识的期盼探求的情境之中，积极的思维活动得以触发.
2 创设不同学科知识联系，培养思维的灵活性
数学思维的灵活性是指学生思维活动的灵活程度，以多向思维为基础，善于从多种角度，其他学科去思考问题.
数学概念教学尽可能联系实际，利用其他学科知识促进理解概念，从而培养思维的灵活性.
案例2 在引入弧度概念时，最好能先启发学生思考物理中一些量的不同测量方式，例如.测量大气压时，可以用气压计直接读出大气压的值，也可以用水银柱的高度来表示大气压.在物理学中，有好多量可以有不同的表示方法.在启发学生思考这些之后，再引入弧度——告诉学生刻画角度还有一种方法就是用弧度来刻画，这样学生的思维就很容易跟着动了，而不是教师强制让学生接受弧度这个概念.
3 反思概念实质，培养思维的深刻性
思维的深刻性主要表现在理解力强，能抓住概念、定理的核心及知识的内在联系.
通过对概念的不断反思与不断探讨，理解会更深刻，思维也更深刻.
案例3 已知定义在R上的奇函数（ ）f x，当0x >时，（ ）32f xx=+；求当0x
这是一道考查函数概念及转化思想的常见题.
通过对以上4个函数奇、偶性的分析，学生对奇、偶函数的定义域必须关于原点对称这一条件定会有更深刻的认识，从而养成要判断函数奇、偶性，先必须考察函数定义域的良好习惯.
案例5 判断动点（）P x y，轨迹.
（1）动点（）P x y，到定点（3 0）F，的距离与它到定直线：4l x =的距离之比为1.
（2）动点（）P x y，到定点（3 0）F，的距离与它到定直线：3l x =的距离之比为1.
通过对以上两个动点（）P x y，的轨迹分析，找出了抛物线定义所没有强调的定点F与定直线l的位置关系，只有当Fl？时，轨迹是抛物线；而当Fl∈时，轨迹却是直线.
在讲述一个概念后，设计几个带有陷阱的判断，先让学生跳下去，然后让学生自己爬出来，这也是培养学生思维严谨性的好方法.
5 探索概念公式不同论证，培养学生思维的广阔性
思维的广阔性，表现为思路宽广，善于多方探求，多方位，多角度地思考问题.
在数学概念教学中，离不开数学公式，定理的推导，因为数学公式，定理是在数学概念的基础上继续获得新知的必由之路.可以将某些概念，定理，公式，法则设置为探究性问题，引导学生自己去发现，检验论证.在这一过程中，鼓励学生多角度去联想、思考、探索，这样既加强知识间联系，又培养了学生思维的广阔性.
案例6 高中数学必修2 第106页“点到直线的距离”教学.教学过程中遇到的困难是：思路顺畅的运算很繁，而运算较简单的思路又不自然.为了学生的思维得到应有的训练，学生的主体作用充分体现出来，避免采用“满堂灌”、“注入式”，笔者试着按“具体到一般”原则，引导学生怎样去“想”，设计如下的教学程式：
（1）让学生从多角度去探求点（1 1）P，到直线：210l xy+？=的距离.引领学生思考和讨论，得出如下解题思路：
思路1 过点P作l的垂线，设垂足为D，转化为求两点间距离.
案例7 在教学异面直线概念时，揭示概念定义后，可以通过如下三个问题进行辨析：
（1）在两个不同平面内的直线是异面直线吗？
（2）没有公共点的两条直线是异面直线吗？
（3）平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线吗？
反例能进一步突出异面直线的本质特征，有效防止误解加深认识，有效培养思维的批判性.
或者说是，没有最好，只有更好。
论最好的，要看你的喜好了。
我个人比较喜欢泰戈尔。
世界上最遥远的距离
不是生与死的距离
而是我就站在你面前你却不知道我爱你
世界上最遥远的距离
不是我就站在你面前你却不知道我爱你
而是想你痛彻心脾却只能埋藏心底
世界上最遥远的距离
不是想你痛彻心脾却只能埋藏心底
而是明明知道彼此相爱却不能在一起
世界上最遥远的距离
不是明明知道彼此相爱却不能在一起
而是明明无法抵挡这种思念却还得装着毫不在意
世界上最遥远的距离
不是明明无法抵挡这种思念却还得装着毫不在意
而是用自己冷漠的心给爱你的人掘了一条无法跨越的沟渠
世界上最远的距离
不是树与树的距离
而是同根生长的树枝
却无法在风中相依
世界上最远的距离
不是树枝无法相依
而是相互了望的星星
却没有交汇的轨迹
世界上最远的距离
不是星星之间的轨迹
而是纵然轨迹交汇
却在转瞬间无处寻觅
世界上最远的距离
不是瞬间便无处寻觅
而是尚未相遇
便注定无法相聚
世界上最远的距离
是鱼与飞鸟的距离