时间：2023-11-21 10:56:45
五年级线上教学教案
授课学科： 数学
授课内容： 《因数与倍数》
授课日期： 2020年4月10日
一、教学目标：
1.理解因数和倍数的意义以及两者之间相互依存的关系，掌握找一个数的因数和倍数的方法。
2.在探究的过程中体会数学知识之间的内在联系，在解决问题的过程中培养学生思维的有序性和条理性。
3.培养学生的探索意识以及热爱数学学习的情感。
二、教学重、难点：
1.理解因数和倍数的意义以及两者之间相互依存的关系
2.掌握找一个数的因数和倍数的方法
三、准备教学：
教学课件
四、教学过程：
（一）创设情境，引入新课
人与人之间存在着许多种关系，你们和爸爸（妈妈）的关系是？
（父子、母子、母女关系）我和你们的关系是？（师生关系）
在数学中，数与数之间也存在着多种关系，这节课，我们一起研究两数之间的因数与倍数关系。
（二）探究新知-理解因数和倍数的意义
教学例1：
1．观察算式的特点，进行分类。
（1）仔细观察算式的特点，你能把这些算式分类吗？
（2）交流学生的分类情况。（预设：学生会根据算式的计算结果分成两类）
第一类是被除数、除数、商都是整数；第二类是被除数、除数都是整数，而商不是整数。
2．明确因数和倍数的意义。
（1）同学们，在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，12÷2=6，我们就说12是2的倍数，2是12的因数。12÷6=2，我们就说12是6的倍数，6是12的因数。
（2）在第一类算式中找一个算式，说一说，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？
（3）强调一点：为了方便，在研究倍数与因数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）。
3．理解因数和倍数的依存关系。
（1）独立完成教材第5页“做一做”。
（2）我们能不能说“4是因数”“24是倍数”呢？表述时应该注意什么？
4．理解一个数的“因数”和乘法算式中的“因数”的区别以及一个数的“倍数”与“倍”的区别。
（1）今天学的一个数的“因数”与以前乘法算式中的“因数”有什么区别呢？
课件出示：
乘法算式中的“因数”是相对于“积”而言的，可以是整数，也可以是小数、分数；而一个数的“因数”是相对于“倍数”而言的，它只能是整数。
（2）今天学的“倍数”与以前的“倍”又有什么不同呢？
“倍数”是相对于“因数”而言的，只适用于整数；而“倍”适用于小数、分数、整数。
（3）交流汇报。
（三）探究新知-找一个数的因数
教学例2：
1．探究找18的因数的方法。
（1）18的因数有哪些？你是怎么找的？
（2）交流方法。
预设：方法一：根据因数和倍数的意义，通过除法算式找18的因数。
因为18÷1=18，所以1和18是18的因数。
因为18÷2=9，所以2和9是18的因数。
因为18÷3=6，所以3和6是18的因数。
方法二：根据寻找哪两个整数相乘的积是18，寻找18的因数。
因为1×18=18，所以1和18是18的因数。
因为2×9=18，所以2和9是18的因数。
因为3×6=18，所以3和6是18的因数。
2．明确18的因数的表示方法。
（1）我们怎样来表示18的因数有哪些呢？怎样表示简洁明了？
（2）交流方法。
预设：列举法，18的因数有：1，2，3，6，9，18。
集合图的方法（如下图所示）。
3．练习找一个数的因数。
（1）你能找出30的因数有哪些吗？36的因数呢？
（2）怎样找才能不遗漏、不重复地找出一个数的所有因数？
（四）探究新知-找一个数的倍数
教学例3：
1．探究找2的倍数的方法。
（1）2的倍数有哪些？你是怎么找的？
（2）想方法：利用乘法算式找2的倍数。
因为2×1=2，所以2是2的倍数。
因为2×2=4，所以4是2的倍数。
因为2×3=6，所以6是2的倍数。……
（3）2的倍数能写完吗？你能继续找吗？写不完怎么办？
（4）根据前面的经验，试着表示出2的倍数有哪些？（预设：列举法、集合图的方法）
2．练习找一个数的倍数。
你能找出3的倍数有哪些吗？5的倍数呢？
（五）我的发现-因数与倍数的特征
举例子，找规律，勾画知识点，读一读。
预设：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。1是所有非零自然数的因数。
（六）智慧乐园
1．在练习本上完成下列填空题。（独立完成后，师订正答案）
一个数的最大因数是17,这个数是( ),它的最小的因数是( )。
一个数的最小倍数是17,这个数是( ),它( )最大的倍数,17的倍数的个数是( ).
一个数既是12的因数，又是12的倍数，这个数是（ ）。
2.在练习本上完成下列判断题。（独立完成后，师订正答案）
（1）在算式6×4=24中，6是因数，24是倍数。 （ ）
（2）15的倍数一定大于15。 （ ）
（3）1是除0以外所有自然数的因数。 （ ）
（4）40以内6的倍数有12、18、24、30、36这5个。 （ ）
（5）34的最小倍数是34；34的最小因数是17。 （ ）
（6）1.2是3的倍数。 （ ）
（七）全课总结，交流收获
这节课我们学了哪些知识？你有什么收获？
（八）布置作业
1.使学生进一步理解、掌握倍数和因数的有关概念，沟通知识之间的联系，构建相关的知识链和知识系统。
2.在开放的情境中让学生亲身经历知识的梳理过程，培养学生辨析、比较、归纳及解决实际问题的能力，提高学生的探究意识，获得积极的情感体验，发展学生的个性。
3.使学生初步学会用数学的眼光去看待生活问题，感受数学学习的意义与乐趣。
【教学重难点】
沟通知识之间的联系，构建相关的知识链和知识系统。
【教学方法】
发现法、讨论法、归纳法
【教学用具及媒体设计】
学生的座号卡及多媒体课件
【内容和过程】
一、创境激趣，引出课题
1.出示童谣，师生共吟
在我们学校举行的新童谣征集活动中，老师写了一首数学童谣，请看：
数学是个大王国，整数是其一家庭。
有一成员自然数，乘除引出倍因数。
2的倍数叫偶数，除此之外是奇数。
因数只俩是素数，还有第三是合数。
自然数1最特别，非素数来非合数。
大王国里奥秘多，欢迎你来多探索，
多――探――索！
让我们在掌声的伴奏下读一读。
2.师生谈话，揭示课题
数学王国中确实有很多奥秘等着我们去探索，今天我们就以这首数学童谣为出发点一起复习“倍数和因数”的有关知识。
[点评]以学生喜闻乐见的童谣引入课题，让学生在欢快的气氛中感受学习数学的乐趣，激起探索数学奥秘的热情。
二、问题引领，梳理辨析
1.结合童谣，引出问题
从这首童谣中，你发现了哪些数学知识？
让学生自由说说所发现的知识，可以说概念的含义，也可以举例说明。如：
4×3＝12，12是4的倍数，12也是3的倍数，4和3都是12的因数。
是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
一个数，如果只有1和本身两个因数，这样的数就是素数（或质数）。如果除了1和本身还有别的因数，就是合数。（让学生举例）
……
适时让学生写出18的因数，8的倍数，并说说怎样做到速度快又不遗漏。
2.梳理问题，再现知识
依据学生的回答，形成系统化的板书：
3.变形练习，辨析概念
A.座号游戏：看谁反应快。
（1）请座号是奇数的同学站起来。
（2）请座号是偶数的同学站起来。
（3）请座号是素数的同学坐下。
（4）请座号是合数的同学坐下。
（5）谁能说一句话让1号同学坐下？
（6）座号是3的倍数的同学站起来。3的倍数有什么共同特征？
（7）请座号在20以内既是2的倍数，又是3的倍数的同学坐下。
（8）请座号既是3的倍数，又是5的倍数的同学坐下。
（9）谁能说一句话让剩下的同学坐下？
B.男女生对抗赛：选择两个或两个以上概念，说一句话。
因数、倍数、偶数、奇数、素数、合数
C.找出与众不同的数，并说说自己的理由。
（1）1、13、15、29
（2）你能写出一组数，让同桌找出最特别的数吗？
[点评]教师结合学生的回答有重点地让学生通过讲述、举例等方式，放手让学生自主梳理概念、构建知识系统，使学生的主体意识得到充分张扬。再利用学生座号开展游戏，让学生在既紧张又愉快的复习过程中，对似是而非、混淆不清的知识加深理解。同时，在这些开放的情境中，不同层次的学生有自由选择的余地，学生的思维可以自由驰骋，个性得到充分张扬，体现“不同的学生学习不同的数学”和“人人都能成功”的教学理念。
三、实践运用，拓展问题
1.强化练习，提高运用能力
（1）这里有0、3、5、6四张数字卡片，请按要求写数。
选择两张数字卡片，组成一个素数：______ ；选择两张数字卡片，组成一个既是偶数，又是3的倍数的数：________ ；选择三张数字卡片，组成一个尽可能大的既是奇数，又是5的倍数的数：__________ 。
（2）播放录音：北京奥运会是第29届奥运会，于2008年8月8日开幕，24日结束，历时16天。本届奥运会共有31个比赛场馆，其中有6座位于其他的协办城市，包括香港、青岛、天津、沈阳、上海和秦皇岛。
在以上资料出现的数字中，
偶数有：____________________________奇数有：________________________________
素数有：____________________________ 合数有：________________________________
既是奇数又是素数的有：______________
既是偶数又是合数的有：________________
____________是____________的倍数，__________________________ 是____________ 的因数。
2.深化练习，发展综合能力
破译电话号码：ABCBDEF
A是小于10的最大偶数；
B是奇数中最小的素数；
C与B是连续的奇数，C＞B ；
D的最大因数是6，最小倍数也是6；
E是小于10的最大合数；
F是所有自然数的因数。
[点评]让学生从综合练习中发现不论是写数还是破译电话号码，都要根据概念的特点进行判断。通过学生自主练习、汇报交流，学生的思维得到发展，综合运用知识的能力得以提高，个性得到张扬，真正体现“不同的人学习不同的数学”。
四、课堂总结，延伸问题
今天我们从一首童谣中复习整理了倍数和因数的有关知识，数学王国中还有很多很多的奥秘期待着大家去研究，比如，为自己的座号、门牌号、电话号码等设置密码，让其他同学破译。希望同学们今后努力学习，继续探索！
[整体点评]该教学设计的最大亮点就是，打破了复习课教师讲、学生听，教师抄、学生练的传统教学方式，以《数学课程标准》理念为指导，以“问题解决”课题精神为依据，着力体现复习目标充实、复习过程扎实、复习方式灵活、复习效果厚实的特点，有效地让学生通过自主探索、相互质疑、合作交流等过程，实现对复习内容相关知识链和知识网的构建。改变了传统复习课给人留下的枯燥乏味的印象，使课堂充满了生机与活力，令人耳目一新。
关键词：数学活动经验；提升；迁移；倍数；因数；教学
【中图分类号】G623.5
目前随着社会的发展教学方式的不断推进和深入，在义务数学教育过程中教师掌握数学教学技能和基本知识等方面很重要，这也是数学课程教学的重要目标之一。在当前教学环境下，教师帮助学生不断的积累经验和学习方式已经在数学课堂上重要的教学内容。首先教师要有一定的责任心，并在教学过程中不断的研究和创新新的数学教学方式，帮助学生积累更多的新的学习方式，逐步增强这种教学意识。本文主要探讨的是数学活动经验的提升和迁移，研究的主要内容以《倍数和因数》为例进一步讲解如何帮助学生提升数学教学活动经验和迁移。
1、将数学活动经验深化为数学思想
首先是教师在实际教学过程中要让学生先对倍数和因数的基本概念做以详细的了解和深入的理解，学生对这些基本概念有了初步的认识之后让学生自己说出一组数据，并说明谁是谁的因数，谁是谁的倍数。也或是教师先给学生讲概念部分给予大体的讲解，然后再举例说明，这样学生在自己举例说明的过程中会更加的明确如何分辨因数和倍数。如3是12的因数，12是4的倍数，同时也可以用公式进行表达如，9x2=1818÷3=618÷9=2等等，可以看出18的因数有9，2，3，6。教师在教学过程中可以帮助学生先进行提问，然后让学生自己根据自己背的乘法口诀作出正确的判断，找出相关数的倍数和因数。教学过程中教师以引导的方式让学生随之说出其他的相关因数或是倍数，这样可以让学生自己在思考过程中发现数学学习的乐趣，在引导过程中让学生对学习的方法以及基本的概念做以回顾和探索，学生在回顾过程中进一步的发现学习倍数和因数新的方法，对提高雪生自主创新学习的能力有很大的帮助和提高。在教师引导下的学习是一种将活动经验逐渐转变为有序的思考，形成一种数学学习的基本教学思想。在小学数学教学过程中关于数学学习方式的经验的积累需要在做题过程中不断的思考和观察，并对教师布置的作业认真的操作，并对作出的题进一步的验证等，将数学教学果冻真正的联系到一起。数学教学活动经验具有一定的联系性，而且最主要的是实践性比较强。因此数学教师在教学过程中要为每一节课设计一个良好的教学活动，并引导学生积极参与教学活动，确保每位学生都参与其中，并设置每一位学生都有能力作答的问题，这样在一定的程度上提高学生的自信心，对将继续努力学生数学课程有了兴趣和耐心。所以教师的正确引导和合理的教学设计方案对提高学生学习教学的积极性和自信心有很重要的促进作用，同时教师也在活动过程中与学生之间形成良好的交流，并观察学生作答问题时出现的问题及时给与纠正，让学生在教学活动中真正体验到学习的乐趣，从中获取一些学习方式，并进一步提升教学活动经验。
2、将教学活动经验逐步升级为学习方法
一般教学活动中隐含的知识或是学习方法等都需要学生亲自参与到活动中去才能深切感受到，因此在活动过程中教师要学会引导学生对活动进行评价，并根据自身参与其中作出反思。在教学活动经验中不断的提炼或是创新新的学习方法，将教学活动经验逐步升级为学习方法。如在教学过程教师可以向学生提问，2和3的倍数，并在自己知道的数中找出最小的数和最大数，但是一个数的倍有无数个，因此教师可以引导学生对一个数的倍数特点作出总结。让学生参与倍数具体的写倍数的活动中，并组织学生对这一组倍数进行观察，并研究倍数的特点，让学生更加清楚的对倍数作出认识和学习。这样学生在回顾过程中能对这一节内容的学习方式有了新的探索或是研究，也对学生自主学习有了更大的帮助和提高。如果在教学过程中只是一味的单调的传授概念，进入答题，做题等学习中，往往会让学习产生反感或是不愿意学习的心态，并且对学生学习能力的提高也没有明显的效果，因此数学教学过程中教学对教学课程的设计以及合理安排很重要。
3、在迁移数学活动中探究新的知识，主动反思学些过程积累学习经验
在数学活动过程中，教师在帮助学生积累经验的同时，还应该引导学生在活动中创新新的教学活动，给学生创造机会，投入到是实践学习中去。教师在引导学生发现倍数特点时也要相应的对因数的特点作出探讨，形成一种有序的思考，将数学活动经验转变为数学思想，并在新的知识探索过程形成一种有效的迁移。在数学教学过程中对于数学学习经验的获取其实是一个循环的过程，同时也是迁移的提升，加强迁移应用的一个过程，因此在数学活动中学习经验的获取很重要。虽然学生在活动中已经获取了不少的经验，但是往往属于模糊的状态，所以需要教师正确的引导，将模糊的经验逐渐清晰化，有调理化，从而让学生更好的将学习经验固化在脑中。数学教学活动中每一节内容都是相互联系的，因此教师在设计新的课程活动时，要注意对上一节内容的回顾，逐渐引出新的内容。这种的教学方式是在迁移的过程中逐渐的积累经验，掌握数学技能和数学思想，让学生形成主动表达的学习，从而提高数学学习能力。
4、结束语
数学活动经验教学主要是为了帮助学生不断的学习积累经验，也是提升和迁移的一个过程，所以教师对教学内容的设计很重要，也很关键。合理有效的教学方案才能让学生在活动中不断创新学习方法，积累学习经验，达到提高自身数学学习的素养。
参考文献
[1]宋煜阳.过程性：数学活动经验积累的应然之道――由等积变形问题引发的思考[J].教学与管理.2012（12）
[2]江.经历・内化・迁移――数学活动经验积淀的过程与策略[J].教学月刊：小学版.2012（6）
[3]蒋萍.巧借陶泥，积累数学活动经验――“圆柱与圆锥”单元教学一得[J].教学月刊：小学版.2012（9）
[4]提秀雷，贲友林.物无声地积淀数学活动经验――统计与可能性教学设计与评析[J].教育研究与评论：小学教育教学.2011（10）
法库县包家屯小学
徐凤
一、教材分析
本节内容是认识倍数与因数,以及找一个数的倍数的方法。“倍数与因数”是整数学习中的重要概念,也是分数学习中的重要基础知识。教科书利用整数乘法认识倍数与因数,设计了四个递进的问题。第一问题根据情境写出乘法算式;第二问题认识倍数与因数;第三个问题结合乘法算式,判断倍数与因数;第四个问题结合给定的数,探索找7的倍数的方法。
二、学情分析
本单元是在学生学过整数的认识,整数的四则运算、小数、分数、负数的认识等知识的基础上展开学习的,是以后学习公倍数与公因数、约分、通分、分数四则运算等知识的重要基础。通过这部分知识的学习,一方面,使学生获得一些有关整数的知识;另一方面,有助于发展学生的抽象思维。
三、教学目标
1、结合具体情境,认识自然数和整数,联系乘法认识倍数和因数。
2、探索找一个数的倍数的方法,能在1-100的自然数中,找出10以内某个自然数的所有倍数。
3、积极参与数学的学习活动,初步养成乐于思考的良好品质。
四、教学重点难点
重点:体会倍数与因数的意义,学会找一个数的倍数的方法。
难点:理解倍数与因数之间的关系,积极参与数学的学习活动,培养主动探索的意识和归纳总结的能力。
五、教学过程
（一）创设情境，激趣导入
一、认识数的世界
创设“水果店”的情境,呈现了生活中的数有自然数、负数、小数。在比较中认识自然数、整数,使对数的认识进一步系统化。
先让学生观察情境图,说说图中有哪些数,并给它们分类。
学生汇报观察结果,通过比较认识自然数、整数,使学生对数的认识进一步系统化。
二、导入新课
1、课件出示教材第31页情境图,引导学生列出两个乘法算式:
9×4=36(人)
5×7=35(人)
师引导:9×4=36,我们就可以说36是9和4的倍数,9和4是36的因数。(板书课题:倍数与因数)根据5×7=35,你能说出哪个数是哪个数的倍数,哪个数是哪个数的因数吗?
学生口述练习。
导入新课:了解了倍数与因数的意义,接下来我们就继续业探究倍数与因数的知识吧!
活动2【讲授】探索新知
（二）探究新知
1、理解倍数与因数的意义。
(1)根据算式说一说哪个数是哪个数的倍数,哪个数是哪个数的因数?
25×3=75
18×7=126
师引导学生明确:我们只在自然数(零除外)范围内研究倍数与因数。
(2)强调:倍数与因数是相互依存的。
(3)出示算式:75÷25=3
师:你能根据这个算式说一说哪个数是哪个数的倍数,哪个数是哪个数的因数?
(4)同桌相互写一算式(一人写乘法,一人写除法),相互说一说。
2、找一个数的倍数的方法。
(1)出示:7、14、17、25、77,找一找哪些数是7的倍数,与同学交流你的想法。
师:请同学们先独立地找一找,然后与小组内同学交流你找的方法。
生独立试做,小组交流,教师巡视,及时了解学生的方法。
师:谁来说一说哪些数是7的倍数?你是怎么找到的?
生汇报,教师在白板上出示。
小结:可以通过乘法算式或除法算式来判断倍数。
(2)7的倍数还有哪些呢?你能用什么方法找到?
引导学生理解可以用乘法来找一个数的倍数的方法,还可以用依次加7的方法来找。
师:请同学们再试着找一找6的倍数的有哪些?9的倍数有哪些?同学们自己再多举几个数字来找一找它们的倍数。
师引导:在找一个数的倍数的过程中,你发现一个数的倍数有什么特征呢?
师引导学生理解:一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
（三）巩固练习
指导完成“练一练”中的1、2、3、5题。
第1、2题进一步认识倍数与因数,学生先独立完成,再全班交流。
第5题可以先让学生自己找一找4的倍数和6的倍数,并用不同的符号做好记号,然后全班交流,说说找倍数的方法,最后,说说哪些数既是4的倍数,又是6的倍数。
（四）总结
你有什么收获?
（五）布置作业
教材“”练一练“”第6题
【板书设计】
倍数与因数
9×4=36
36是4和9的倍数
一、借“形” 引出概念
师课件出示：运动会上两个班的同学分别排出下面两种队形，算一算各有多少人？
生：图1中的人数为9×4=36（人）；图2中的人数为5×7=35（人）。
师：在9×4=36中，以前把9和4取名为乘数（生说），36取名为积。在排队中，9是每行的数量，4是行数，36是总数。
师：根据今天学习的课题――“倍数与因数”，请同学们猜一猜在图1的算式中什么是什么的因数，什么是什么的倍数。
生：4和9是36的因数，36是4和9的倍数。
板书：
师：请同学们结合图2的每行数量、行数和总数，说说在5×7=35中，什么是什么的因数，什么是什么的倍数？
生：每行的数量5与行数7是总数35的因数；总数35既是每行的数量5的倍数，也是行数7的倍数。
【分析】“倍数与因数”是研究两个非0自然数的倍比关系，即为非0自然数的乘数与积的倍比关系，可见它与学生熟悉的乘法算式有关。根据排队问题，列出乘法算式，说说什么是什么的因数，什么是什么的倍数，很自然地把旧知与新知紧密地联结在一起，既使学生的新知学习步入“随风潜入夜，润物细无声”的境地，又为学生理解“倍数”中的各数是“非0自然数”这一规定埋下伏笔。
二、用“形”抽象概念
师：倍数与因数这两个概念非常重要，是学好分数运算的基础，望同学们务必与它们成为好朋友。
师：根据前面的方法，并结合图3，请同学们写出2～3个不同的算式，并在点子图中圈一圈，然后与同桌说一说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。（先同桌交流，再指定1～2名学生向全班汇报同桌的作品）
学生汇报后，师课件出示：下面是淘气所写的算式和所圈的图（见图4），你们觉得对吗？如果是对的，请说说在每个式子中哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。（学生判断后交流）
师：这样的例子多吗？（多）谁能用一个算式表达所有同学所举的例子？
生：用字母式表示。
师：这个建议非常好！如果用a，b，c表示3个数，那么表示因数、倍数的乘法算式应怎样表达？
生：a×b=c（a，b，c都是大于1的整数），c是a和b的倍数，a和b是c的因数。（板书）
【分析】上述环节先设计了开放的“圈一圈、写一写与说一说”，旨在丰富学生倍数与因数的现实模型，即在点子图中每行的数量与行数是总数的因数，总数是每行的数量与行数的倍数。再出示淘气的作品：有行数是1的，有行数大于每行数的。这样，既提供了相同的例子让学生感悟，又弥补了学生容易疏忽的特例――行数1。在此基础上，让学生抽象概括出字母表达式就水到渠成了。
不难看出，第一部分的情境以及上述环节起始的“圈一圈、写一写与说一说”，只是从情境、图形、语言和操作层面上让学生理解概念，最后抽象出字母表达式是在符号表征的层面上让学生更好地理解概念。那么，用这么多的表征来理解概念有没有必要呢？
美国学者莱许等曾借助如下的图形（见图5）来说明数学概念的发展过程：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表达方式，如图像、书面语言、现实情境等同样也发挥了十分重要的作用。”这一论述为概念教学指明了方向：在教学中不应唯一地强调其中的任一方面，而应更加重视对于各个方面的联结，并帮助学生逐步学会能够依据情况与需要在这些成分之间灵活地作出转换。
三、“形” 助理解规定
师：以前学习的“倍”，可以用除法算式c÷a=b（abc≠0）表示，这里a，b，c可以是整数、小数，也可以是分数，只要不为0。今天学习的“倍数”可以用乘法算式a×b=c表示，这里的a，b，c可以取什么数呢？
生：可以是任何数。
生：不对！这里的a，b，c必须是非0自然数。
师：说说你的理由。
生：我们是在点子图中学习倍数与因数的，每行的数量、行数与总数都是非0自然数。（全班学生都认为这位同学的观点是正确的）
师：“倍数”与“倍”有什么相同点和不同点呢？
通过讨论，学生认为相同点是：都研究两个数的倍比关系；不同点是：“倍”中的“数”可以是整数、小数，也可以是分数，只要不为0；而“倍数” 中的“数”一定是要非0自然数。
【分析】 “倍数”是什么呢？要使学生清楚这一问题，仅有范例是不够的，还需要与相近的概念“倍”进行对比分析。通过对比分析，使学生明晰它们之间的联系――都是表示两个数之间的倍比关系，都可以用乘法或除法算式来表示；并且使学生明白研究对象的取值范围的不同点――“倍”中的数可以是整数、小数，也可以是分数，只要不为0，而“倍数”的数仅指非0自然数。通过对比分析后的追问，促进学生在点子图中积累的内隐经验向外显转化，即借助直观有意义地理解和接受了“0除外的自然数”这一规定。
四、依“形”建构模型
师：点子图帮助我们理解了倍数与因数的概念，找一个数的倍数同样可以借助点子图。请同学们先想想在点子图中找一个数的倍数，实际上是先确定什么，再找什么？
生：先确定一行的数量，再找每行的数量与行的数量的积。
师：下面请同学们根据刚才这位同学的想法，在点子图上圈一圈，并在圈出的点子图右边写上相应的7的倍数。
学生独立操作后交流。学生一边汇报，课件一边呈现，最后形成图6。
师：通过刚才的圈一圈、找一找，你认为找一个非0自然数a的倍数方法是怎样的？
生：a×1，a×2，a×3……
小结：依次找a的1倍、2倍、3倍……
师：根据自然数的主要特征：个数无数个，最小的数是0，没有最大的数，相继两个自然数的差是1。想一想，一个数的倍数有什么特征呢？
小结：一个数的倍数有无数个，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，相继两个倍数的差就是它本身。
【分析】笔者让学生通过“在点子图上圈一圈，并在圈出的点子图右边写上相应的7的倍数”的活动，一方面，使他们感悟到找一个数的倍数的方法，其实就是圈点子图，每行的个数就是这个数，每行个数与行数的积就是这个数的倍数，即找一个数的倍数的方法――从这个数的1倍开始找起，接着找它的2倍、3倍……另一方面，便于发现一个数的倍数的特点：一个数的最小倍数必定是它本身乘1，即它本身，没有最大的倍数，相邻两个倍数的相差值是它的本身，一个数的倍数的个数是无限的。
（浙江衢州市衢江区教研室 324000
一、感受课
感受课就好像浅池戏水，对知识的要求上不封顶，下不保底。感受课可以根据教材和学生的实际情况设计为“对整册教材的感受”“单元感受”和“课时感受”。比如对整册教材的感受，新学期开学的第一天，不要急于新授课，而是帮助学生构建知识的结构。首先让学生把厚书读“薄”，感受本册教材包括几方面的内容，用几句话概括全书的内容；其次要把“薄书”读“厚”，把零碎的知识进行整理纳入已有的知识体系中，增强记忆的准备性和迅速有效提取信息的能力。感受课的关键是让学生感受单元知识的结构和知识之间的内在联系，为新知识的学习提供广阔的知识背景。
二、认识课
认识课是建大楼的第二道程序，要求学生从自己已有的知识经验中，提取有关的认识，通过同学之间的学习交流，对知识的理解由抽象到具体，由简单到丰富。比如五年级上册《找最小公倍数》，教材知识呈现了通过列举法找两个数的最小公倍数。但是学生通过多种渠道的自学，研究出了四种找最小公倍数的方法。比如找6和8的最小公倍数。
生1：我是用列举法找两个数的最小公倍数的，先分别列出6和8的倍数，然后再找出公倍数当中最小的。
生2：我觉得你的方法太麻烦，有局限性，比如找出36和45的最小公倍数时，你用列举法就很繁琐，我是用短除法来找最小公倍数的。
生3：我是用分解质因数的方法。先分别把6和8分解质因数，然后找出它们公有的因数，用公有的因数乘6和8独有质因数就是它们最小的公倍数。
生4：我与你们的方法都不一样，我是用试算法，先找出大数的倍数。比如6和8，先从8的最小倍数找起，8的2倍16不是6的倍数，再找它的3倍是24正好是8的倍数，也是6的倍数，这就是它们的最小公倍数。
第4位学生刚讲完，就赢得了其他学生雷鸣般的掌声。
生5：我来总结找最小公倍数的几种情况：如果两个数是倍数关系，比如8和24，大数就是它们的最小公倍数，小数就是它们的最大公约数；如果两个数是互质关系，比如7和8，它们的最小公倍数是……
三、练习课
练习课就是针对学生学习知识的巩固和提升。练习的设计要有基本练习和提升练习。
四、知识整理和复习课
以前的整理和复习都是老师牵着学生把学过的知识进行梳理，老师滔滔不绝，唯恐漏点一个知识点。知识整理课不但要形成知识的结构，而且是对整个单元知识的提升和总结。比如五年级下册第二单元《因数和倍数》的整理和复习。
组1：我们来给大家交流因数和倍数。比如3×4=12，那么3和4都是12的因数，12是3和4的倍数，因数和倍数必须在整数的范围内。
组2：我有补充，比如a÷b=c（a、b、c为非零自然数）这样整除算式，b和c是a的因数，a是b和c的倍数。倍数和因数是两个互相依存的概念，不能谁是12是倍数，3和4是因数，必须说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
组3：我还有补充，一个数的因数的个数是有限，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
组4：你的发言引起了我的思考，我有一个问题，请你解决。一个数最大的因数是15，最小的倍数也是15，请问这个数是多少？……
学生通过相互补充，把因数和倍数的有关知识阐述得淋漓尽致。
五、评研课
就是针对学生本单元容易出错的题目出一份评研小研究。“一千个读者就有一千个哈姆雷特”，教师要善于捕捉学生暴露出来的错误资源，让学生在分析错误、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，使核心知识在学生的想、说、争、辩中越来越清晰，越来越明朗。
比如判断题和选择题要让学生写出判断和选择的理由。比如有这样一道选择题:13的倍数可能是：A.质数 B.合数 C.奇数 D.可能是素数也可能是合数。
生1：我做这道题是采用排除法。13的倍数比如13的2倍是26，其既不是质数也不是奇数，因此排除A和C，因为13的最小倍数是13，是质数但不是合数排除B，所以只能选择D。
生2：我有更简捷的选择方法。因为13是质数，它的倍数还包括13，而除13以外的其他倍数都是合数。因此我选择D。
……
评研课一定要让学生充分展示自己的想法，让学生通过自主学习、交流、思维碰撞、争辩，对知识的脉络理解得越来越深刻，这样对于疑难知识才能通透明亮。
总之，“感受课”“认识课”“练习课”“整理和复习课”和“评研课”五种不同功能的课型的学习符合人的认识规律，整体―部分―整体，使学生对知识的学习由初步感知到理解深化再到整体建构，形成一个完整的系统，有效地解决了学生数学学习零敲碎打的现象，实现教师上课――轻松、自如、胸怀全局；学生学习――积极、优质、高效。
参考文献：
［1］严建英.对小学数学整体感知教学的探索.小学数学教育，2009（01/02）.
［2］叙树东.新课程下教师应该怎样备课.小学数学教育，2008（12）.
［3］郭思乐.教育走向生本.人民教育出版社.
［4］郭思乐.教育激扬生命.人民教育出版社.
［5］郭思乐.给教师的建议.人民教育出版社.
教学目标：1.系统整理本单元的知识，形成一定的知识网络。
2.能灵活用这部分知识解决生活中的实际问题。
3.培养学生合作、交流的意识，渗透事物间互相联系、互相依存的辨证思想。
教学重点：归纳和整理知识点，形成知识网络。
教学难点：辨析和理解知识间的区别和联系。运用所学的知识解决实际问题。
教具准备：多媒体课件。
教学过程：
一、检查预习，明确目标
1.谈话交流，引入新课
师：同学们还记得“温故而知新”这句话吗？
生齐：记得。
师：说说这句话是什么意思。
生1：温习旧的知识，得到新的理解和体会。
生2：也指回忆过去，能更好地认识现在。
生3：对学过的知识要抓紧时间复习，才能有利于后面的学习。
生4：教我们学习的方法。
师：同学们说得非常好！对所学的知识进行及时的复习是非常重要的，能够提高学习效率，做到事半功倍。今天我们一起来进行本册书的总复习。请同学们把书翻到138页，我们一起来看看总复习中有哪些复习内容。
（生看书汇报。）
生1：总复习中的内容有：因数与倍数、分数的意义和性质、分数的加法和减法、空间与图形、统计。
生2：还有和这些知识相关的一些练习。
师：同学真了不起，不但会看书，而且会抓住重点进行汇报，总复习中绿色的字就是本册教材的知识点，这节课我们来复习第一个内容：因数与倍数。（板书课题。）
2. 检查预习，明确目标
师：课前我们进行了预习，在预习中你还有哪些困惑，请把你的困惑到组内交流，由组长统计，然后汇报。
（学生交流，达成共识。）
师：同学们交流得很认真，现在哪个小组有问题可以汇报。
组1：这一单元的概念多，应用的时候，有时候容易混淆。
组2：这单元的知识点我们全找到了，可是它们之间的联系不是很清楚。
组3：老师，我们就是感觉到在做题的时候，容易错题。
…………
师：同学们真棒！提出了自己预习中的困惑，说明你们思考了，在思考中才能促进一个人不断的进步。今天这节课我们就重点解决你们学习中的困惑。1.通过小组合作能系统整理本单元的知识。2.能灵活用这部分知识解决生活中的实际问题。
二、整理知识，展示汇报
1.小组内整理
师：同学们，怎样整理才能简洁、有序地体现出这些知识间的联系呢？老师给大家一个整理建议：（1）想一想这些知识点之间有什么联系。（2）用你喜欢的方式把这些知识点按一定的顺序连起来，形成一个知识网络。
2.小组汇报展示
师：同学们现在把你整理的因数和倍数的知识到小组内进行交流，并选取一份组长组织进行补充和完善。也可以重新整理到小黑板上。（教师巡视。）
师：现在我们进行小组展示，其他组员可以补充。汇报时，声音要响亮，语言要简练。每个同学都要认真倾听，做好补充和评价的准备。
第一组汇报（手持小黑板）。
组长：这一单元的主要知识点有因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数，还有2的倍数的特征，5的倍数的特征和3的倍数的特征。这就是我们组建立的知识网络图，下面请其他组员接着汇报。
组员2：我来说说什么是因数，什么是倍数。4×9 =36 ，4和9是36的因数，36是4和9的倍数。
组员3：我来说说什么是奇数，什么偶数。自然数中是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。最小的偶数是0，最小的奇数是1。
组员4：一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数或者素数。一个数除了1和它本身之外，还有其他的因数，这样的数叫做合数。
组员5：最小的质数是2，最小的合数是4。
组员6：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。个位上是0或5的数都是5的倍数。
组员7：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
组员1：我们小组汇报完毕，请其他小组补充。
生1：老师，我给他们组提点建议，按自然数是否是2的倍数分为奇数和偶数，按一个数因数的个数的多少我们把自然数分为质数和合数还有1。应该把她们的知识网络图改一下。
师：你们认为他说得有道理吗？
生齐：有。
师：请你帮助改一下。（好）请继续补充。
生1：我补充一个数因数的个数是有限的，其中最大的因数是它本身。一个数倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
师：谁能举个例子说说怎样求一个数的因数和倍数呢？（请学生到黑板前。）
生2：8的因数有1、8、2、4共4个因数。我用的方法是用8除以1得8，得到1和8两个因数，再用8除以2，得到2和4两个因数。
生3： 8的倍数有8、16、32、40……用8乘1、乘2、乘……就能求出8的倍数。8的倍数有无数个。
师：谁能说说怎样判断一个数是质数还是合数？
生1：找这个数因数的个数，只要除了1和它本身，还能找到一个因数，这个数就是合数，如果找不到就是质数。
生2：要牢记2、5、3倍数的特征，还有特殊数字如7、13、17、19的倍数。
生3：最好记住100以内的质数。
生齐背：二三五七一十一，十三 十九又十七 ……
师：真棒！100以内的质数都记住了！哪位同学对这一单元的知识还有补充，请继续。
生4：老师，看到倍数，我想到了与倍数有联系的知识点是公倍数，几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。
生5：我想到了与因数有联系的知识点是公因数。几个数公有的因数叫做它们的公因数。其中最大的叫做它们的最大的公因数。
师：同学们太了不起了！老师把这两个知识点也补充进来。
生4：在整理知识点时我们组发现1是所有自然数的因数。
生5：我们组也发现了自然数中不是奇数，就是偶数。
生6：我也发现了自然数中不是质数就是合数。
（生抢着说：不对！）
师：不同意见的同学请你说说理由。
生1：自然数中还包括1呢，1既不是质数也不是合数。所以这句话是不对的。
生2：应该说自然数除了1以外，不是质数就是合数。
师：第一小组的同学能简洁、明了地按知识之间的联系绘制成知识网络图，值得我们大家借鉴。
师：哪个小组愿意展示你们整理的知识网络图？
（请其他小组的同学展示。）
3.师生共同整理
师：同学们用不同形式表现了自己小组的整理思路，请同学们来讨论一下你比较欣赏哪个组的整理。（学生各抒己见。）
生1：我喜欢第一小组的整理，他们的整理清晰、很容易看出知识之间的关系。
生2：我觉得树冠型的也挺有创意的，不但体现了知识之间的联系，也非常形象。
师：同学们说得很好，无论是那种形式，只要能简洁、清晰地体现出知识间的联系就可以了。现在请同学们看大屏幕我们一同再来温习这一单元的知识。
三、综合应用，提高能力
师：通过同学们的共同努力，已弄清了倍数和因数等概念之间的联系，下面就让我们运用这些知识来解决一些问题吧，有信心吗？
生：有。
师：请看第一关：
1.抢答
（1）最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ），最小的素数是（ ），最小的合数（ ）。
（2）10的所有的因数有（ ），50以内5的倍数（ ）。
（3）15的最大因数是（ ），15的最小倍数是（ ）。
（4）在5×6=30中，（ ）是5的倍数，（ ）和（ ）是30的因数。
（5）在7、9、12、15、43、99中，奇数有（ ），偶数有（ ），素数有（ ），合数有（ ）。
生1：（1）最小的奇数是（ 1 ），最小的偶数是（ 2 ），最小的素数是（ 2 ），最小的合数（ 4）。
生2：（2）10的所有的因数有（ 1，10、2，5 ），50以内5的倍数（5、10、15、20、25、30、35、40、45、50 ）。
生3：（3）15的最大因数是（15），15的最小倍数是（15）。
生4：（4）在5×6=30中，（30 ）是5的倍数，（ 5）和（ 6）是30的因数。
生5：（5）在7、9、12、15、43、99中，奇数有（7、9、15、43、99 ），偶数有（12），素数有（7、43），合数有（9、12、15、99）。
师：通过本节课的复习同学们对这部分知识的概念掌握的很好顺利闯过第一关，下面我们进入第二关。
2.判断下面的说法是不是正确，说明理由
（1）所有的偶数都是合数。
（2）两个不同质数的公因数只有1。
（3）一个数的因数一定比它的倍数小。
（4）两个数的乘积一定是它们的公倍数。
（5）最小的质数是1。
（6）一个数越大，它的因数个数越多。
师：先独立思考判断，然后到组内交流自己的想法，把自己弄不懂的在组内解决。
生1：（1）所有的偶数都是合数。是错的，因为2是偶数但不是合数。
生2：（2）两个不同质数的公因数只有1。是对的，因为质数只有1和它本身的两个因数。
生3：（3）一个数的因数一定比它的倍数小。是错的，比如3的最大因数是3，它的最小倍数也是3，所以这种说法是错的。
生4：（4）两个数的乘积一定是它们的公倍数。是对的。
生5：（5）最小的质数是1，这是错的。1既不是质数也不是合数。
生6：（6）一个数越大，它的因数个数越多。错，如97只有两个因数，8有4个因数，所以这句话不对。
师：同学们不但能准确判断，而且理由也说的很清楚，下面我们进入第三关。
3.猜一猜，谁是与众不同的数，并说说理由
（1）1，3，7，8，19
（2）4，16，27，28，11
（3）11，13，5，21，23
师：请同学们在本子上独立解决后再汇报。
生1：（1）中8是与众不同，它是偶数，其他都是奇数。
生2：（2）中11是与众不同的数，它是质数，其他的都是合数。
生3：（3）中21是与众不同的数，它是合数，其他的都是质数。
师：同学们可真聪明，智慧老人想和你们交个朋友，智慧老人还留了一个要同学们破译的电话号码，只要同学们把它破译出来，就能打电话给智慧老人了。
4.猜电话号码
A B C D E F G
提示：A——5的最小倍数
B——最小的自然数
C——5的最大因数
D——它既是4的倍数，又是4的因数
E——它的所有因数是1，2，3，6
F——它的所有因数是1，3
G——它只有一个因数
这个电话号码是：5054631
四、课堂总结，完善提高
师：同学们，时间过的真快呀，马上就要下课了，让我们一起来回忆一下，通过整理和复习，你有什么收获？
生1：我学会了新的整理方法。
生2：我学会了整理网络图。
生3：我对这些知识认识更加清楚了。
师：同学们都很爱学习，也很会学习，从课前的自主整理，到课上的合作交流，再到我们一起整理成有条理的网络图，每位同学都在积极参与、主动进步，你们的表现的确很棒！下面我们进行今天的当堂检测。
五、当堂检测
1.选一选
（1）最大公因数是较小的数的一组是（ ）。
A.2和12 B.36和21 C.17和18
（2）1是下面（ ）的最大公因数。
A.3和21 B.5和48 C.21和42
（3）在下面各数中，（ ）是能同时被3和5整除的奇数。
A.75 B.95 C.90
（4）两个质数的积一定是（ ）。
A.质数 B.合数 C.奇数
（5）x是整数，2x + 1是（ ）。
A.奇数 B.质数 C.偶数
2.解决问题
（1）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是多少？
（2）食品店运来85个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？
教学目标：
① 通过学习，使学生掌握求一个数的倍数的方法。
② 使学生掌握一个数的倍数的特点。
③ 通过不完全归纳法得出一个数的倍数的特点，培养学生一定的归纳总结能力。
教学重点：掌握求一个数的倍数的方法
教学难点：掌握求一个数的倍数的方法 ；理解在有范围规定时一个数的倍数的个数是具体的，这时就不用省略号。
教学准备：课件 答题卡
教学过程
一、复习引入
1、找一找10的因数有哪些？因数和倍数的关系。
2、谈话导入新课，板书课题
二、探究新知，预习反馈
1、教学一个数的倍数的求法
（1）出示P14例2：你能找出多少个2的倍数？
反馈问题：你想怎样找2的倍数？
（2）学生反馈：只要把2与一个非0自然数相乘，所得的积就是2的倍数。
全班一起找2的倍数，得出2的倍数有：2、4、6、8、10……
你能找出多少个2的倍数？（无数个）因为2的倍数有无数个，写不完，所以后面用省略号表示。 （重点放在理解省略号的含义上）
用集合图表示2 的倍数 。
（3）让学生尝试找一找7的倍数
（4）尝试练习。找一找3的倍数（重点放在为什么不用省略号上）；
单独找一找5的倍数。
完成P14页的“做一做”，学生独立圈、写，集体订正。
（5）观察，为什么它们的倍数的个数是无限的呢？这些数的倍数中最小的倍数是多少？你发现了什么？学生讨论交流得出：一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数的倍数的个数是无限的。
三、巩固新知 （教材P15习题）
1、第3题，先说说什么是倍数？再找出8和9的倍数
2.第4题，自己找出下列个数的因数和倍数，再说说因数和倍数有什么区别？
3.第5题，学生自己判断，并说出理由。
4、第6题，猜数游戏。
四、思维拓展
根据提供的信息破译老师的QQ号码。（巩固应用新知解决问题）