浅析预测混凝土弹性模量的几种方法

[摘要]：弹性模量是混凝土一项重要的力学性能，在实践过程中往往需要预测混凝土弹性模量以满足工程要求。本文建立在将混凝土分为粗骨料粒子相和水泥砂浆基体相的二项组成基础上，利用串联模型、并联模型、赫沙模型、康脱模型以及自洽方法对混凝土弹性模量进行预测不与试验测定值进行比较分析，其结果是自洽方法的预测效果最优。

[关键词]：弹性模量；预测模型

混凝土是由粗骨料、细骨料、水泥、水及矿物掺合料等多项材料经混合、搅拌、硬化而成的一种多项复合材料，因为其优良的力学性能而在实际工程中广泛应用。而弹性模量是混凝土各项力学性能中重要的一项，体现的是混凝土受到荷载作用下自身所产生的形变，在地震灾害、需要结构具有抵抗变形能力等情况下要求混凝土具有较高的弹性模量。

近几十年来，各国研究学者在理论预测混凝土的弹性模量领域做了很多研究，以求能够精确预测弹性模量。本文建立在实测混凝土试件弹性模量的基础下，将几种常见的弹性模量模型估算值与试验结果进行比较，分析几种常见的混凝土弹性模量预测方法的准确程度，以供实际工程的预测和运用。

1 试验原材料与方法

1.1 试验原材料

试验采用的水泥为湖南韶峰水泥集团有限公司生产的“韶峰牌”42.5级普通硅酸盐水泥。矿物掺合料主级粉煤灰和硅灰。粗骨料选用石灰石、花岗石，连续级配。细骨料选用来自湘江的河砂，采用第2级配区的中砂，粒径选为0.63mm累计筛余量大于65%，0.315mm累计筛余量大于85%，0.160mm累计筛余量大于98%。

1.2 配合比设计

本文根据计算和试配，混得到凝土的配合比如表一所示。其中粉煤灰掺量为15%，硅灰掺量为5%，水胶比为0.40，砂率为40%。

1.3 试验方法

制作混凝土试件3个150×150×150mm的立方体，6个150×150×300mm的棱柱体。将其放在20±2℃，相对湿度95％以上的标准养护室里分别养护28天。

养护到达28天之后，3个立方体进行混凝土抗压强度试验，以确定混凝土强度等级；而6个棱柱体分为两组，其中3个进行混凝土弹性模量试验的测定，另外3个进行棱柱体抗压强度试验，以确定进行弹性模量试验时施加荷载的范围。

1.4 试验结果

标准养护之后，进行混凝土抗压强度和弹性模量的试验，其试验结果见表二。

2 预测混凝土弹性模量理论方法的介绍

严格意义上说，混凝土是一种包括粗骨料、细骨料、未水化的水泥颗粒、水泥浆体、胶凝孔体、毛细管孔以及骨料与浆体的界面过渡区域等至少7个相的多项复合材料[1]。从细观力学来看，混凝土弹性模量是各相组成材料弹性特性的集合。为了简化细观力学的分析，研究学者一般就混凝土看做二相复合材料，即粒子相和基体相[2]。

粒子相可以使粗骨料或者粗骨料和细骨料的集合，而相应的基体相为水泥砂浆或水泥净浆。这样就可以利用二相分布模型进行弹性模量的细观力学分析，推导混凝土的弹性模量与各组成相自身的弹性模量和体积率的函数关系。

下面，我们假设混凝土弹性模量为E，粒子相弹性模量为Ep，体积率为Vp，相应的基体相弹性模量和体积率分别为Em和Vm，根据二相自身弹性特征来具体介绍预测混凝土弹性模量的并联模型、串联模型、赫沙模型及康脱模型。

B•Paul沿用线弹性力学的极值方法推导出二相复合材料在其泊松比相同的情况下的弹性模量上限和下限。弹性模量上限即为并联模型，其理论依据是假设混凝土在受荷载作用时二相之间的剪切变形相同，模型公式为：

（1）

混凝土弹性模量下限即为串联模型，它是建立在混凝土受荷载作用时二相受到应力相同的前提下推导而成，模型公式为：

（2）

一般情况下混凝土弹性模量E符合下式的预测范围，简称为混凝土弹性模量混合律公式：

（3）

混合律的上限与下限一般跟混凝土弹性模量的实测值相差10%左右，为了更加准确地预测弹性模量，随后T•J Hirsch使用了一个加权因素X将混合律公式的上、下限联系起来，称之为赫沙模型：

（4）

在粒子相和基体相之间若不存在应变粘结的情况下，则二相应力相同，此时X=0，得出混合律下限公式；当X=1时，赫沙模型转化为混合律上限公式。大量试验研究表明混凝土的这个加权因素取0.5时对预测其弹性模量是最佳的[3]。

随后U•J Count在混合律的基础上，进一步对其进行修正，得到康脱模型：

（5）

近几十年来各国学者对混凝土弹性模量的预测有着新的研究，其主要是以平均意义上的细观力学方法为原理来进行估算，较为成熟的方法有Eshelby效夹杂理论、Mori-Tanaka方法、稀疏分布模型、自洽方法等。其中，自洽方法建立在混凝土内部应变能等价的前提下，既满足了应力平衡的条件，又符合二相基体间变形连续性的要求[4]，能更为精确地预测混凝土弹性模量。其模型公式如下：

（6）

式中：E和σ分别代表混凝土弹性模量和所受应力，E1代表砂浆弹性模量，C代表粗骨料体积含量，E2和ε分别代表粗骨料的弹性模量和应变。

3 混凝土弹性模量估算实例与分析

本文试验选择了0.4的水胶比混凝土进行弹性模量试验，并测得0.4水胶比的砂浆基体弹性模量为21.7GPa，采用石灰石、花岗石两种不同种类的粗骨料，之前试验已测得石灰石、花岗岩的弹性模量分别为82.5GPa和68.3GPa，粗骨料体积含量为0.41。假设混凝土砂浆基体相和粗骨料粒子相泊松比均为0.3，下面我们以28天龄期标准养护为准，把各理论方法与试验结果进行比较，试验结果见表三、表四。

由表三、表四我们可以看到，混合律作为混凝土弹性模量预测的上、下限，并联模型超出试验结果10%甚至更高，而串联模型低于试验值20%左右。赫沙模型和康脱模型是在混合律基础上发展而来，其预测值较为精确，但普遍低于试验值的7%左右。自洽方法统一了混合律的两种假设前提，其预测结果最为精确，在试验值的-1%~4%之间。

4 结论

本文通过对混凝土弹性模量的测定和估算，分析和比较了串联模型、并联模型、赫沙模型、康脱模型以及自洽方法对混凝土弹性模量的预测。主要结论如下：

（1）并联模型和串联模型分别作为预测混凝土弹性模量的上、下限，其跨度在试验值的-20%~10%之间。

（2）赫沙模型和康脱模型是在混合律预测公式基础上的改进模型，其预测值普遍偏小，在试验值的-6%~-8%之间。

（3）自洽模型既满足混凝土二相应力相等的力学平衡条件，又符合相体间连续形变条件，其预测结果最为精确，在试验值的-1%~4%之间。

参考文献

[1]沈观林.复合材料.北京：化学工业出版社,2005,1-10.

[2]张双寅，刘济庆，于晓霞.复合材料结构的力学性能. 北京：北京理工大学出版社,1992,1-9.

[3]柏振海，黎文献，罗兵辉.一种复合材料弹性模量的计算方法.中南大学学报.2006.373(3):438―443.

[4]胡更开.复合材料宏观性能的细观力学研究[J].力学与实践,1996,18:6-11.