不等式章节思想归纳

数学思想是数学研究的终极要求，不等式章节的要求也毫不例外，下面就将本章的数学思想做一归纳，以供学习提高.

1.数形结合思想

数形结合思想在本章中的应用非常广泛，理解一元二次不等式的解集，感受“二次”的关系、图解法求解线性规划问题等.

例1.已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2

思路分析： 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合 ，利用数形结合，建立关于a的不等式.

解析： 易得A＝{x|1≤x≤4}

设y＝x2－2ax＋a＋2 (*)

4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．

(2)若 ，则抛物线（*）的图像必须具有如图特征：应有 从而有

方法点拨：一元二次不等式属于一元二次函数的一部分，因此处理问题时可借助一元二次函数来求解一元二次不等式，并结合二次函数图象进行求解，展现数形魅力.

2.转化思想

不等式的证明，实质上就是利用不等式的性质对不等式进行转化.一元二次不等式恒成立可以转化为相应的不等式组，也可以利用函数最值进行转化求解.二元线性函数的最值又可以转化成直线在y轴上的截距，总之转化思想在本章中处处可见.

例2.设实数 满足 请比较 的大小.

思路分析：运用作差法进行逐次比较，然后排序.

解析：

又

故

方法点拨：（1）在本题解答过程中，根据问题的特点运用了 这一变形技巧.使用一些技巧解答问题，有事半功倍的作用；（2）由 利用了不等式的传递性这一性质求解的.

3.函数与方程思想

函数、方程、不等式三者密切相关，从求解一元二次不等式的过程中即可看出，在不等式问题中，很多可以从函数的角度进行求解.

例3.

A .b>a>c B .c>a>b C. a>b>c D .c>a>b

思路分析: 注意函数方程之间的对应关系，方程根的问题化为两函数图像的交点问题，特别对含指数和对数的方程的问题，尤其注意这一点，将大小的比较化为图像交点的横坐标的位置问题，利用对数图像的分布规律寻求简化的思维切入点.

解析: 在同一坐标系下画出 其图像如图5，注意对数函数图像的分布规律和交点的意义及位置，则

方法点拨： 利用方程和函数的对应关系，将方程根的问题转化用图像法研究函数位置关系问题求解，这是数学思想和方法的具体应用.特别对于出现超越方程（指数或对数方程）的有关问题，更应当想到数形结合法，化归图像位置关系简化求解.利用函数图像和性质寻求简捷的思维方法，这是函数方程思想的具体应用，更体现等价转化思想，又应用数形结合的思想和方法，反映了学习图像的价值，应引起我们的高度重视.

4.分类讨论思想

应用分类讨论思想解决数学问题的一般步骤：（1）确定讨论对象和需要分类的全集；（2）确定分类标准；（3）确定分类方法；（4）逐项进行讨论；（5）归纳小结.含参问题的不等式是分类讨论思想展现的主战场.

例4．解 关于 的不等式 ．

思路分析：根据根的大小关系进行分类讨论求解.

解析：由于对应的方程的根含有字母 ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．

原不等式可化为 ．

(1) 当 （即 或 ）时，不等式的解集为： ；

(2) 当 （即 ）时，不等式的解集为： ；

(3) 当 （即 或1）时，不等式的解集为： ．

方法点拨：对于不等式的分类问题先可以按不等式的求解步骤直接进行，走到出现问题的步骤再进行分类讨论处理.

（陕西省洋县水初级中学）