浅析高中数学课程内容主线

【摘要】通过分析高中数学应用主线涉及到的内容、重点问题以及应用内容在教材中的体现，对初、高中数学课程应用内容和应用要求层次的比较，提出了高中数学应用的教学建议。

【关键词】高中数学 应用主线 教学建议

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）11-0206-02

华罗庚在《大哉数学之为用》中叙述数学为“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁”等各方面的应用。数学应用的广泛性使得数学应用在数学课程中的地位越发的重要。2011年数学课程标准：“为了适应时展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。” 注重高中数学应用，分析高中课程内容主线--数学应用，对高中数学应用内容教学有重要作用。高中数学应用主线把高中数学课程所涉及到的数学应用内容有机地紧密联系起来。抓住应用主线所构成的知识网，就可以更好的把握高中数学课程中的数学应用内容，了解实质，提高教学和学习的效率。

一、数学应用的含义

数学应用对发展学生应用意识具有重大意义。 数学应用指用数学的知识与思想方法去解决生产、生活乃至学习中的各种实际问题的过程，它包括数式的运算、推理、分析、制表、绘图、估计、符号变换、优化方案等诸多方面。 数学应用主要体现在两个方面：一是数学的内部应用，即运用已有的数学知识和数学思想方法解决新的数学问题;二是数学在社会生活和生产中的应用。

二、高中数学应用教学现状

数学来源于生活，又运用于生活。我国数学教学中，比较突出的一个问题是忽视数学的应用，忽视数学与其他学科以及与日常生活的联系，忽视培养学生的应用意识，学生的数学应用能力普遍偏低。据调查发现现在高中数学应用教学现状如下：

1.学生对数学应用价值认识不足。有的学生仅仅把数学学科当作一个考试科目。为的是取得好成绩，却忽视了数学的应用价值。

2.解决实际问题时存在障碍，比如，学生在运用已学过的数学思想、方法解决问题方面、在生活语言与数学语言的转化上存在一定的困难。

3.部分老师认为高中课程内容多，时间紧，高考中的比重不大，不强调数学应用。

培养学生数学应用意识不强，开展数学应用意识教学意识淡薄，在教学中不注意联系生活实际体现数学的应用价值。在教学过程中忽视了教学内容在应用主线中的地位与作用。

4.部分老师重视数学应用教学，但采取的措施是强化训练数学应用题，而不是从实际问题转化为数学问题的思想出发，使数学应用模式化。

三、高中数学应用主线的基本内容

高中数学应用主线的基本内容如下：

数学应用与函数、方程（组）、不等式有关的问题，涉及路程、物价、产量、工程造价、土地丈量、利润等，可以通过建立函数或方程、不等式的代数模型解决的实际问题。数学应用与数列有关的问题，涉及到住房、产量、土地、增长率、银行贷款、分期付款等，可以通过建立属数列的代数模型解决的实际问题。与三角函数有关的应用，涉及物理学科中的摆动、振动以及实际测量等，可以建立三角函数的模型解决的问题。数学应用与几何有关的问题，涉及观测、地球的经纬度、面积、体积、容量等立体几何问题，以及油罐车、通风塔、抛物线拱桥、人造地球卫星运行轨道、放光灯、桥梁等实际问题，可以建立几何模型解决。

四、高中数学应用主线中涉及到的知识点在教材中的体现

高中数学应用主线涉及到的核心概念有函数概念、方程概念、不等式概念、古典模型、几何模型、随机抽样等。

必修一：函数的概念、指对幂函数及其应用、函数的应用（模型及应用）

必修二：直线的方程、圆的方程以及它们的实际应用

必修四：三角函数的模型及其简单应用

必修五：数列（可看成是一类函数）、不等式问题 及线性规划

选修1-1：圆锥曲线与方程（实际背景、实际应用）、导数的应用（优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题）

应用这一部分内容贯穿高中数学的整个内容，不管是函数、方程、不等式等内容都是高中学习的重点，并且互相联系。函数、方程与不等式密切相关，利用函数的概念、性质、图象，把方程、不等式问题转化为函数问题来求解，特别在不等式的证明与含参数的范围问题中更有着广泛的应用。高中阶段，模型的思想也是必不可少的内容，在整个高中课本中，涉及到的模型主要有函数模型、方程模型、不等式模型、几何模型等，这些模型在应用主线中均有体现。

五、高中数学应用主线的重点问题分析

高中数学应用主线的重点问题是：数学应用层次，函数模型，方程模型及不等式模型。下面将对数学应用主线的重点问题进行分析。

1.数学应用的层次

（1）知识的背景和对实际问题的数学描述

在高中数学课程中，学习了一些重要的数学概念，例如，函数、数列、算法、统计、概率、向量、线性规划、圆锥曲线、计数原理、导数等等。这些概念都有着丰富的实际背景，了解这些实际背景对于理解和应用这些数学概念是非常重要的，可以使这些抽象的数学概念变得生动、具体。通过一些实际例子，可以帮助我们更深刻的理解数学中的重要概念，有了对于这些重要概念（模型）的本质理解，就可以更好的用这些模型来刻画（描述）实际问题。

（ 2 ）对数学模型的认识和在实际中的直接应用

近年来数学界特别强调模型的思想，对数学模型的认识在数学学习中是非常重要的，例如，在高中阶段，函数是刻画日常生活规律的一个重要模型，指数函数、对数函数、分段函数等等在实际中的广泛应用具体地体现了函数模型的重要性。对高中课程中所体现的重要的数学模型作一个梳理是很有必要的，很多实际中的问题就是这些模型的直接应用。例如，等差等比数列模型就是储蓄贷款中经常用到的数学模型。

（ 3 ）经历数学建模的过程

数学建模是数学学习的一种新的方式，他为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其它学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识;有助于激发学生的数学学习兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。

2.函数模型

常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。不同的学习阶段要求学生对函数模型的认识有不同的层次要求。小学阶段只是要求学生初步的接触在具体情境中用字母表示数，给学生形成简单的未知数的概念。初中学生开始探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解变量和常量的意义。学习一次函数、二次函数、反比例函数，能理解函数表示的是一种对应关系。能用函数解决简单的实际应用问题。高中阶段，加入曲线的方程表示，方程与函数结合起来，加深学生对方程的理解，并运用函数与方程、方程与不等式思想去解决一些实际问题。

3.方程模型

建立方程模型的思想就是根据具体问题中的数量关系，经过必要的抽象，提炼出未知数与已知数之间具有的等量关系，列出方程（组）。方程第一次出现在小学五年级，在这个阶段，主要让学生结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用方程去表示简单情境中的等量关系，并学会用等式的性质去解简单的方程。

初中阶段，学生能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，并开始学习解一元一次方程、分式方程、一元二次方程的解法，进一步深入理解方程的意义。高中阶段，加入曲线的方程表示，方程与函数结合起来，加深学生对方程的理解，并运用函数与方程、方程与不等式思想去解决一些实际问题。

4.不等式模型

不等式模型就是从现实生活中把问题抽象，用不等式的关系刻画出来，然后进行分析，最后运用到现实问题。初中阶段，主要涉及一元一次不等式，结合具体问题，了解不等式的意义，并能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，并且能够解决简单的实际问题。高中阶段，逐步加深对不等式的应用，学会解一元二次不等式和分式不等式等问题。并且要求学生能够根据实际问题列出不等式模型。在高中学习过程中，不等式常与方程、函数联系在一起去解决一些实际问题，这就要求学生除了会单独的应用这些模型之外，还要对结合起来应用的问题理解。

不等式应用题，多以函数面目出现，以最优化的形式展现，解答这一类问题，不仅需要不等式的相关知识（不等式的性质、解不等式、均值不等式等），而且往往涉及函数、数列、集合等多方面的知识，综合性比较强，这就要求学生在掌握函数思想和不等式思想的基础上能够熟练的应用。方程和不等式都是刻画现实世界的重要数学模型，把两者统一起来，使学生不仅加深对方程、不等式的理解，提高解题水平，而且能够从模型的角度去感受数学的统一美。

学生在探索的过程中体验数学模型的应用价值，加大了对相关内容之间的内在联系的认识，加强了知识间横向与纵向的融汇贯通，提高灵活分析和解决问题的能力。

5.高中数学应用教学建议

在教学过程中教师要重视课堂教学，创设应用数学的情境，注意培养学生数学应用的意识。培养学生的数学应用意识并非一朝一夕的事，教师在课堂上要有意识适当地启发学生的应用意识，经过渗透、反复、交叉、逐级递进、螺旋上升、不断深化的过程，可使学生的应用意识逐步由不自觉或无目的的状态，进而发展成为有意识、有目的的应用。

教师还要注重数学知识的来龙去脉，从生活实际引入新知识，有助于学生体会数学知识的应用价值，为学生主动从数学的角度去分析现实问题、解决现实问题提供示范，例如，概念、定理可以通过实际问题或从实物模型中引入。从现实背景出发引入新知识，要让学生经历发现问题、从数学角度分析问题并探索解决途径、验证并应用所得结论的全过程，切忌教师全盘端出，而应该给学生思考的机会。同时，还应注意引导学生结合所学知识探索更多的可以应用的实际问题和场景。

教师应在可能的条件下组织协作学习（开展讨论与交流），鼓励学生积极开展数学建模活动。数学建模就是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程的数学活动，有利于激发学生的学习兴趣。建模过程如下：

数学建模为活动有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识。

以下是对高中课程内容中涉及到数学应用的知识点的教学建议：

（1）必修一：函数的概念、指对幂函数及其应用、函数的应用 （模型及应用）。建议：

a.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质，即引导学生联系实际问题和自己生活经历，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。再通过指对幂函数的具体研究，加深理解。只有通过多次接触、反复体会、螺旋上升，才能真正掌握、灵活应用。

b.函数的应用教学中，教师要引导学生不断的体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。

（2）必修二：直线的方程、圆的方程以及他们的实际应用。建议：

a.在这一部分学习中，教师要引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言。

b.直线与圆的方程在生产生活中有广泛的应用，教师要从学生的认知出发，教会他们如何从实际问题中抽象出数学的方程模型。

（3）必修四：三角函数的模型及其简单应用。建议：

a.在三角函数教学中，教师应根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数的意义。例如，通过单摆、弹簧振子以及音乐、波浪、潮汐等实例，使学生感受周期现象的广泛存在。

b.提醒学生重视学科之间的联系与综合，在学习其它学科的内容（如单摆运动、交流电）时，注意运用三角函数来分析和理解。

（4）必修五：数列（可看成是一类函数）、不等式问题及线性规划。建议：

a.等差数列与等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如教育贷款、人口增长等）使学生理解这两类模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。

b.一元二次不等式教学中应注重使学生了解解一元二次不等式的实际背景。鼓励学生设计求解一元二次方程的程序框图。

（5）选修1-1：圆锥曲线与方程（实际背景、实际应用）、导数的应用（优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题）。建议：

a.引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面）使学生了解圆锥曲线的背景和应用。

b.导数的概念要通过实际背景和具体应用事例去引入。教学中，可通过研究增长率、效率、密度、速度等反应导数应用的实例，体会导数的思想及其内涵。

数学应用更多的是一种隐性的应用意识的渗透，这就要求教师在备课时就要将每一章节中涉及到的思想及模型挖掘到，然后在每一课时中去渗透。

六、结束语

高中数学应用主线贯穿于高中整个学习过程，在教学过程中涉及到应用这部分内容时要围绕着应用主线去展开教学，要弄个清楚教学部分的内容在主线中的地位与作用。把主线中的每一个逻辑关系，每一个细节弄清楚，才能抓住课程的主线，基本脉络，抓住课程的内在联系，形成整体认识。教学过程中要根据学生的学习数学心理特点和认知发展规律有意识地培养学生数学应用意识，认识数学的的应用价值，激发学生的学习兴趣。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社.2012：5-7.

[2]陈聪贤.新课程理念下培养高中学生数学应用意识的策略研究[D].福建师范大学，2007，8：4

[3]郭春艳.高中生数学应用意识的培养研究[D].华中师范大学，2008，5：18

[4]王晓玮.新课程理念下高中数学应用意识的培养[J].考试周刊，2011 ，6：73

作者简介：李春梅（1989-），女，广西梧州人，硕士研究生，研究方向：数学教育教学研究.

基金项目：广西研究生教育创新计划资助项目（JGY2014092，JGY2015102）; 新世纪广西高等教育教学改革工程项目（2011JGB067）;2014年校级教学方法改革专项立项项目; 2014年广西师范学院新增博士授权教育学学科建设资助校级科研项目; 2014年度校级精品视频公开课立项项目. 2015年度校级课堂改革专项课题。通讯作者：任北上