题小方法多 思维训练广

[摘 要]小题涵盖的知识点较多，针对同一道题阐述几种解题方法，以期提高学生的解题能力.

[关键词]小题 解法 思维能力

“小题不要大作”，这在现实生活中很有道理，可以很好地解决矛盾，有利于社会的和谐发展.但在平时的数学教学工作中，不少教师对填空题、选择题的讲解，也经常遵循“小题不要大作”的思想，仅仅停留在把答案找出来，为解题而解题，长期如此，学生的数学的思维能力很难得到更深程度的训练和提高.因此，在平时的教学中，应注意挖掘一些小题的内涵，想尽办法让学生的思维呈立体状，尽可能地让一道题目变得更丰满，知识容量更大，让小题目也大有文章可作，从而有效地训练学生的解题思维能力.

【例题】 若直线xa+yb=1 与圆x2+y2=1有公共点，则（ ）.

A.a2+b2≥1 B.a2+b2≤1

C.1a2+1b2≥1 D.1a2+1b2≤1

解法1：取a=b=1，排除B和D，取a=b=12，排除A，故选择C.

评析：此解法训练了学生由特殊到一般、由偶然到必然的思维能力，可以大大提高学生答题的速度和准确性.分析历年的高考试题，考查特殊到一般思想的题目比比皆是：有的考查利用归纳推理进行猜想，有的通过特殊点，确定特殊位置，还有的利用特殊值、特殊方程等解决一般问题、抽象问题、运动问题等.

解法2：设圆心到直线xa+yb=1 的距离为d，则由已知得d≤1，即 11a2+1b2≤1 ， 所以有：1a2 +1b2≥1 .

评析：此解法训练了学生用数形结合思想解决问题的思维能力.具备了数形结合能力，则可截迂为直、快速准确、一蹴而就.数形结合思想通过以形助数、以数解形，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于学生掌握数学问题的本质.

解法3：由 xa+yb=1

x2+y2=1 ，得（a2+b2）x2-2ab2x+a2b2-a2=0， 由Δ=a4-a4b2+a2b2≥0，可得正确答案为C.

评析：此解法从方程的角度来观察、分析问题，运用数学语言问题中的条件转化成方程模型加以解决.对于直线和曲线相交问题，经常要转化为方程问题，利用方程的理论加以解决.

解法4：设OA=（x，y），OB=（1a，1b），OA与OB的夹角为θ，则有：xa+yb= OA・OB= |OA||OB|cosθ=1 ，而|OA|=x2+y2， |OB|=1a2+1b2 ，

所以1a2+1b2cosθ=1，故有1a2+1b2≥1.

评析：此解法引入向量来解决问题，向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”.正是由于向量的“双重身份”，所以很多数学知识和问题可利用向量的代数运算性、几何直观性及二者相互转化的简明性，清晰扼要地来描述和解决问题.这不仅有利于学生形成良好的认知结构，有利于学生思维能力和创新能力的培养，而且可提高学生分析和解决数学问题的能力.

解法5：由x2+y2=1，可设x=cosα，y=sinα，代入直线方程得：

1acosα+1bsinα=1，由三角知识可转化为：1a2+1b2sin（φ+α）=1. 其中，sinφ=1a1a2+1b2 ，cosφ=1b1a2+1b2 ，故有1a2+1b2≥1.

评析：此解法引入了参数，利用三角知识解决问题，参数往往与一些隐性变量存在各种关系，因而用灵活的数学观点看待参数，对开启学生解题思路非常有益，能很好地促进学生数学解题能力与数学思维的多元化发展.

高考是一种选拔性考试，数学学科的考查最终落实到数学解题上，数学试题是思维的载体，一道好的试题会让人津津乐道，回味无穷.数学教学的核心是培养学生解决数学问题的能力，教师在数学解题教学的过程中，应把重点放在引导学生对解题思路的探索和对解题方法的概括上，教学不仅要注重结果，更要注重过程，只有关注过程，学生的思维能力才能得到很好的培养.本文从特值法、几何、代数、三角、向量、不等式等多角度求解题目，这样可以抓住数学的本质，更有效地培养学生的解题思维能力.因此，教师在教学中要多列举一些案例，鼓励学生尝试解题，锻炼学生的数学思维能力.