关于一道高中数学习题的教学思考

[摘 要]基于一道高中数学习题，提出一些思考，以期培养学生的思维能力，提高课堂教学效率.

[关键词]高中数学 习题教学 变式 反思

高中数学教学中，习题课是重要的课堂教学模式，对典型习题适当进行拓展、变换，可强化学生的反思意识，帮助学生养成良好的反思习惯，深化对问题的理解，探究解题规律，从而达到举一反三、触类旁通的目的.笔者以高中数学教学中一道常见的关于直线与圆位置关系的题为例，简单谈谈高中数学习题教学.

【例题】 已知圆C：（x-4）2+（y-5）2=8，过点P（2，4）的直线l与圆交于A、B两点，当弦AB最短时，求直线l的方程.

解析：教师让学生结合图像独立研究，容易得到结论：当直线l与CP垂直时，弦AB最短，此时直线l方程为2x+y-8=0.通过直观感受，培养学生思维的灵活性.为了加深学生对问题的认识，可以让学生证明此结论，由关系式d2+（AB2）2=r2，r2=8，d2≤CP2=5可知当d2=5，即CPAB时，弦AB最短，这样通过引导学生推理论证，培养学生思维的缜密性.紧接着让学生思考该题的变式.

变式1 已知圆C：（x-4）2+（y-5）2=8，过点P（2，4）的直线l与圆交于A、B，当ABC的面积最大时，求直线l方程.

分析：适当地引导学生思考三角形的面积可以如何表示，学生通常会选择圆心C到直线l的距离为d或θ=∠ACB来表示三角形的面积，根据学生的学习情况进行分析、研究.

解法1：设圆心C到直线的距离为d（0≤d≤5），

SABC=12AB・d=r2-d2・d= （r2-d2）d2 ≤（r2-d2）+d22=4 ，

当且仅当r2-d2=d2，即d=22r=2 时，ABC的面积最大，此时分两种情况求直线;方程：（1）当直线l斜率不存在时，方程x=2符合题意; （2）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y-4=k（x-2），由d=|4k-5-2k+4|1+k2 =2，求得k=-34，则直线l方程为3x+4y-22=0，所以所求的直线有两条.学生容易将直线l斜率不存在时，直线方程x=2的情况忽略，从而导致出错.

解法2：设θ=∠ACB，SABC=12AC・BCsin∠ACB ，容易得到当∠ACB=90°时，ABC的面积最大，此时d=22r，从而求最值及直线方程.

归纳以上两种解法，让学生找到其中的不同点与相同点.不同点是面积的表示方法不同;相同点是最后都得到d=22r，从而解决问题.通过多种方法解决同一问题，深化学生对问题的认识，培养学生思维的深刻性.

变式2 已知圆C：（x-4）2+（y-5）2=8，过点P（3，4）的直线l与圆交于A、B，当ABC的面积最大时，求直线l方程.

解析：稍微改变题目的条件，学生容易按照上题的解答方法解答，设圆心C到直线l的距离为d，SABC=12AC・BCsin∠ACB ，容易得到当∠ACB=90°时，ABC的面积最大，此时d=22r，从而求最值及直线方程.通过分析发现，产生错误的原因为函数表示中没有注意自变量的取值范围，这里圆心到直线的距离不是0≤d≤5，而是0≤d≤2，∠ACB也取不到90°.当d=2，也就是∠ACB取最小值120°时，ABC的面积最大，求出此时直线方程即可.以上问题解决后再给出以下训练题，巩固对问题的认识，开阔学生的思维.

变式3 已知圆C：（x-4）2+（y-5）2=8，过点P（2，4）互相垂直的直线l1与l2分别与圆交于A、B及E、F，当AB+EF最大时，求直线l方程.

解析：设圆心C到直线l1的距离为d1，设圆心C到直线l2的距离为d2，易得d21+d22=5，结合d21+（AB2）2=r2=8 ，d22+（EF2）2=r2=8 ， 得AB2+EF2=44，（AB+EF）2=AB2+EF2+2AB・EF≤44+AB2+EF22=88 ，当且仅当AB=EF，即d21=d22=52时，AB+EF最大，利用圆心到直线l的距离求出直线方程，这样即可将问题转化为前面几个问题，又培养了学生解决问题的能力和归纳类比的能力.

教材中的典型习题具有较强的代表性、迁移性，是知识发展的源泉.教师在教学过程中应高度重视此类例题的挖掘和推广，加强知识的横向联系，有目的地、有针对性地进行变式教学，提高课堂教学效率;通过拓展延伸、一题多解，培养学生思维的发散性和深刻性，培养学生的探究能力.